復式行星齒輪傳動系統綜合動力學模型及振動特性研究

楊富春，周曉軍，鄭津洋

(1.浙江大學 化工機械研究所，杭州 310027;2.浙江大學 機械系，杭州 310027)

與其他行星齒輪傳動［1－3］相比，復式行星齒輪傳動傳動比更多、功重比更高，因此在對結構緊湊性和傳動比要求高的場合，如車輛、航空、機械工業等領域尤其是車輛自動變速器領域，獲得了廣泛應用［4－6］。目前車輛用復式行星齒輪傳動多為簡單的拉威娜式結構，隨著車輛自動變速器從低檔位向高檔位的快速發展，更加復雜的復式行星傳動將獲得更多應用。而在實際應用中，行星傳動的振動和噪聲是影響系統可靠性、壽命及操作環境的關鍵因素，復式行星傳動系統的振動問題較普通行星傳動更為嚴重［5］。因此，建立復式行星齒輪傳動系統綜合的動力學模型，對其振動特性進行研究具有重要意義。

2001年Kahraman［5］首次建立了雙行星輪和三行星輪復式行星齒輪傳動的純扭轉振動模型，并分析了其自由振動特性。Dhouib等［6］在Kahraman的基礎上建立了雙行星輪復式行星傳動平移扭轉振動模型并對振動模態進行了分類。楊富春［7］建立了含雙行星輪的復式行星傳動系統多自由度動力學模型，并研究了其固有振動特性。Kiracofe等［8］建立了復合即多級行星齒輪傳動系統動力學模型，并對系統的振動模態進行分類和完整性研究。上述研究［5－7］僅針對某一特定結構的復式行星傳動進行，未建立復式行星傳動綜合的動力學模型;Kiracofe等［8］建立的復合行星傳動模型中雖然含級聯、雙行星齒輪，但未考慮變換中心構件時嚙合副的方向問題，無法適用于復式行星傳動系統的研究。此外，文獻［6－9］等對普通行星齒輪傳動和復式行星傳動固有振動特性的分類僅以中心構件的振動特性進行，未考慮行星輪的振動特點。

本文建立了復式行星齒輪傳動綜合動力學模型，模型考慮了各構件的平移和扭轉振動及靜態傳遞誤差。系統分析了復式行星齒輪傳動系統的固有振動特性，研究了其固有頻率分布特點，根據中心構件及行星輪的振動特點對振型進行了分類。

1 動力學模型

復式行星齒輪傳動系統結構多樣，根據行星輪特點可分為寬行星輪式(圖1(a))、級聯式(圖1(b))及其組合形式(圖1(c))。圖1中的結構僅為典型結構，其他結構形式可在此基礎上擴展。復式行星齒輪傳動各種結構均包含一個行星架、多個中心輪和多個行星輪，其中將結構參數完全相同的一組行星輪稱為行星組。以c、gm、pijn表示行星架、中心輪和行星輪，下標m=1，2，…，Ng，i=1，2，…，Nps，j=1，2，…，Np，n=1，2，…，Npt，Ng、Nps、Np、Npt分別表示中心輪數目、行星組數目、每一行星組中行星輪數目及一個級聯行星輪中嚙合副數目;其中下標j和n可根據情況予以省略。

圖1 復式行星齒輪傳動結構圖(為表達簡單，僅給出了稱軸以上部分)Fig.1 Structure of complex compound planetary gear set(only parts above axis are illustrated here)

系統中齒輪均為直齒輪，模型中考慮了各構件的兩個平移和扭轉振動，共3(1+Ng+NpsNp)個自由度。由于系統只有一個行星架，因此系統坐標系選擇為隨行星架旋轉的動坐標系，行星架和中心輪的x軸正方向由行星架理論中心指向任一選定行星輪理論中心，y軸方向由右手法則確定，行星輪平移自由度以η、ζ表示，正方向分別為行星架的逆時針切向和徑向。行星架、中心輪和行星輪的扭轉自由度θ均以順時針為正方向。

將旋轉坐標θ轉換為平移坐標u=rθ，r為各個構架的半徑，其中rc為行星架中心到各行星輪中心距離中最短距離，其他行星輪中心到行星架中心的距離與rc的比值設為δR，pij。m表示各構件質量，M表示各構件轉動慣量的等效質量M=I/r2，I為各構件的轉動慣量，r為半徑，其中行星架的轉動慣量僅指行星架本身的轉動慣量 Ic，行星架的半徑為 rc。kcb，x，kcb，y表示行星架與基礎間的支撐剛度;kgmb，x，kgmb，y表示中心輪與基礎間的支撐剛度;kcgm，x，kcgm，y表示行星架與中心輪間的支撐剛度;kcpij，x，kcpij，y表示行星架行星輪間的支撐剛度;kgmgl，x，kgmgl，y表示中心輪 gm和 gl間的支撐剛度;kcb，u，kgmb，u表示行星架和中心輪與基礎間的扭轉剛度的等效線性剛度;kgmpijn，kpijnpi'jn表示中心輪和行星輪及行星輪與行星輪間的嚙合剛度;以e表示各個嚙合副的靜態傳遞誤差，下標與嚙合剛度下標含義相同。ψpij表示行星輪中心與行星架中心連線和x軸正向沿逆時針方向間的夾角;βpij表示行星輪ζ正方向與相嚙合的兩行星輪中心連線間的夾角，部分符號如圖2所示。Tc和Tgm表示行星架和中心輪所受的外加扭矩。模型中行星架和任一中心輪均可設定為輸入、輸出和固定構件。嚙合剛度按照石川法計算，并將其展成傅里葉級數的形式;同理，將靜態傳遞誤差展成傅里葉級數的形式，兩者的具體形式可參照文獻［7］。

圖2給出了中心輪(以太陽輪為例)－行星輪嚙合副及行星輪－行星輪嚙合副的動力學模型，根據牛頓第二定律得中心輪的動力學方程為:

圖2 太陽輪－行星輪及行星輪－行星輪嚙合副模型Fig.2 Model of sun-planet and planet-planet meshes

同理可得行星架和行星輪的動力學方程為:

式中，αgmpijn，αpijnpi'jn分別表示中心輪與行星輪以及行星輪與行星輪間嚙合副的壓力角;δu，gmPijn表示級聯式結構中與中心輪gm嚙合的行星輪pi與行星輪p1的半徑比;δu，pi'jnpijn表示級聯式結構中與行星輪pi'嚙合的行星輪pi與行星輪p1的半徑比;

其中，以中心輪、行星輪在嚙合線上壓縮等效彈簧時的位移為正。

將上式整理可得復式行星傳動系統的綜合動力學方程為:

式中，M、Kb、Km、q、F 分別表示系統的質量矩陣、支撐剛度矩陣、嚙合剛度矩陣、系統的位移向量、激勵力向量。該模型適用于寬行星輪式、級聯式及其組合形式的直齒復式行星齒輪傳動系統。

2 固有特性分析

由式(1)可得到復式行星排的無阻尼自由振動方程為:

與之對應的特征值問題為

式中，K=Kb+Km，ωk、φk分別為系統的第 k階固有圓頻率和振型，k=1，2，…，N。

表1 圖1(c)中復式行星齒輪傳動系統參數表Tab.1 Parameters of example system

以圖1(c)中組合式復式行星齒輪傳動系統為例研究復式行星齒輪傳動的固有特性，各參數如表1所示，其中 Ng=7，Nps=3。

由于圖1(c)以不同中心輪和行星架為輸入、輸出及固定構件共可獲得種功率流，數量較多，因此本文僅以行星架為輸出構件，中心輪依次為輸入構件，后續中心輪依次為固定構件，共21種功率流為例對其固有特性進行分析，該結構包含了級聯行星輪及多行星輪結構形式，具有顯著代表性。Np即行星輪個數分別為3，4，5時復式行星齒輪傳動系統的特征值，如圖3所示。

圖3 Np=3，4，5時系統固有頻率Fig.3 Nature frequencies of system(Np=3，4，5)

由圖3可以看出，由于具有多種傳動結構，復式行星齒輪傳動系統的固有頻率呈現帶狀分布，即同一階固有頻率由于功率流的的改變而不同，其中一階固有頻率為0表示系統的剛體運動。圖4為g1輸入、g2固定，Np=3，4，5時系統的固有頻率及同階固有頻率變化率圖，由圖可以看出，行星輪數目的增加引起了系統固有頻率的變化，其中低價固有頻率變化較小，高階固有頻率變化較大。圖5為Np=3，21種功率流情況下系統的各階固有頻率，由圖可以看出同樣行星輪數目情況下，系統功率流的變化將大大改變系統各階固有頻率的范圍。以某一階固有頻率中的最大值與最小值的差值與最小值的比值表示固有頻率的變化率，從圖5右圖中可以看出，各階固有頻率的變化率大多大于50%，說明與普通行星齒輪傳動相比，復式行星齒輪傳動系統設計時要避開共振區域更加困難，因此需綜合考慮各種功率流，合理設計系統參數。

圖 4 系統固有頻率(Np=3，4，5，g1輸入，g2固定)Fig.4 Nature frequencies of system(Np=3，4，5，g1 was input，g2 was fixed)

圖5 系統固有頻率(Np=3)Fig.5 Nature frequencies of system(Np=3)

根據系統特征值的重根數、中心構件的振型特點將復式行星齒輪傳動系統的振型分為三類:中心構件平移振動模式、中心構件扭轉振動模式和行星輪振動模式;其中特征值為重根的情況對應中心構件平移振動模式或行星輪振動模式，特征值為單根的情況對應中心構件扭轉振動模式或行星輪振動模式。以g1為輸入，g7固定為例，三種振動模式振型如圖6所示(圖中橫坐標自由度從左到右順序為行星架、中心輪、行星輪;Np=3中對應的固有頻率分別為3階661 Hz和2階609 Hz;Np=4中對應的固有頻率分別為2階628 Hz、4階643 Hz和8階1439 Hz;Np=5中對應的固有頻率分別為2階601 Hz、4階662 Hz和8階1438 Hz)。

圖6 復式行星齒輪傳動系統振型Fig.6 Modals of complex compound planetary gear set

上述分類未考慮行星輪的振動特點，從分類完整性角度考慮，需對系統各個構件的振型進行分析，以得到所有構件的振動規律。由圖3和圖6分析可知，中心構件平移振動模式下，對應的系統固有頻率為重根，中心構件無扭轉振動，只存在兩個平移振動，而各行星輪振型振幅均較大，說明該振動模式下行星輪振動劇烈，但各個行星輪間的振型無明顯規律，表現為隨機振動特點;中心輪扭轉振動模式下，中心構件無平移振動，僅有扭轉振動，這種模式下各個行星輪的振動呈現出明顯的規律性，即同行星輪組中所有行星輪各自由度的振動方向和振動幅值相同，如圖6所示;行星輪振動模式在行星輪個數大于3個情況下存在，該模式下中心構件不存在振動，行星輪個數為4時行星輪振動存在明顯的規律性，即同組行星輪中相對的行星輪振動方向和振幅相同，相鄰的行星輪振動方向相反，振幅相同如圖6所示;行星輪個數為5時，相鄰兩行星輪振動方向相反，振幅不同，由于行星輪個數為奇數，故有兩個相鄰行星輪振動方向相同，可將其視為與4個行星輪時規律一致。

因此，在綜合中心構件和行星輪振動特點的基礎上重新將復式行星齒輪傳動系統振型分為三類，即中心構件平移－行星輪隨機振動模式、中心構件扭轉－行星輪相同振動模式、中心輪靜止－相鄰行星輪反向振動模式。

3 結論

本文建立了包含級聯式、寬行星輪式及其組合式的復式行星齒輪傳動系統綜合動力學模型，模型考慮了平移、扭轉振動及靜態傳遞誤差。系統分析了系統的固有頻率，指出復式行星齒輪傳動系統固有頻率呈現帶狀分布，與普通行星齒輪傳動系統相比避開共振區域更加困難，需根據具體結構合理設計系統參數;深入研究了中心構件和行星輪的振型特點，將系統振型分為三類:中心構件平移－行星輪隨機振動模式、中心構件扭轉－行星輪相同振動模式、中心輪靜止－相鄰行星輪反向振動模式。本文建立的綜合動力學模型及固有特性的研究為復式行星齒輪傳動系統參數靈敏度、動態響應、減振降噪等的研究提供理論基礎和依據。

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