橫向補(bǔ)給系統(tǒng)高架索在一重和雙重內(nèi)共振下的面內(nèi)振動(dòng)

張良欣，何學(xué)軍，任愛(ài)娣

(海軍工程大學(xué) 后勤指揮與工程系，天津 300450)

高架索在橫向干貨補(bǔ)給過(guò)程中，由于受到集中質(zhì)量(貨物)在高架索上的位置的變化、高架索兩端高度差以及船舶運(yùn)動(dòng)引起的索端的激勵(lì)等因素的影響，使得高架索系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為異常復(fù)雜。目前對(duì)于橫向干貨補(bǔ)給系統(tǒng)的高架索研究還主要局限于靜力學(xué)、結(jié)構(gòu)計(jì)算及優(yōu)化設(shè)計(jì)等方面［1－4］，對(duì)于作為橫向補(bǔ)給高架索系統(tǒng)的控制設(shè)計(jì)基礎(chǔ)的動(dòng)力學(xué)特性的研究還很少。橫向補(bǔ)給高架索系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型可以近似簡(jiǎn)化為具有集中質(zhì)量的傾斜懸索，其動(dòng)力學(xué)特性研究可借鑒類似懸索的動(dòng)力學(xué)研究成果。陳自力，唐駕時(shí)［5］針對(duì)工程客、貨運(yùn)索道系統(tǒng)，利用δ函數(shù)來(lái)體現(xiàn)集中載荷對(duì)懸索的影響，建立了外激勵(lì)作用下、具有移動(dòng)集中載荷的兩端固定的水平懸索的動(dòng)力學(xué)模型;通過(guò)利用Galerkin離散與多尺度方法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行漸近分析，得到了系統(tǒng)主共振/次共振分岔點(diǎn)的解析解、分岔點(diǎn)位置以及相應(yīng)分岔圖，還分析了系統(tǒng)的分岔和穩(wěn)定性。Lin和Perkins［6］建立了具有若干集中質(zhì)量懸索的三自由度線性振動(dòng)模型，提出了可用于求解任意垂度懸索特征解的半解析半數(shù)值的方法，拓展了以往分析懸索—質(zhì)量系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)受限于模態(tài)階數(shù)的理論方法。Rega等［7］對(duì)傾斜懸索的動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行深入研究，研究表明其面內(nèi)振動(dòng)的模態(tài)頻率與水平懸索存在本質(zhì)區(qū)別，傾斜懸索不存在對(duì)稱和反對(duì)稱模態(tài)，其模態(tài)形式為混合型(非對(duì)稱)模態(tài)。模態(tài)頻率與彈性—幾何參數(shù)關(guān)系也不象水平懸索那樣對(duì)稱與反對(duì)稱模態(tài)頻率存在交叉點(diǎn)，而是各階模態(tài)頻率曲線分離。Takahashi［8］參照Irvine［9］水平懸索線性頻率計(jì)算公式，考慮懸索傾斜角度的影響，推導(dǎo)出用于計(jì)算傾斜懸索頻率的改進(jìn)的Irvine公式，并與Galerkin離散結(jié)果、Irvine理論結(jié)果比較，結(jié)果表明，改進(jìn)的Irvine公式具有很高的精度。本文綜合上述文獻(xiàn)的建模思想，考慮到集中質(zhì)量等因素的影響，建立了高架索的面內(nèi)振動(dòng)理論模型。利用Galerkin方法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行了離散，得到了高架索系統(tǒng)的前3階模態(tài)振動(dòng)的標(biāo)準(zhǔn)控制方程。借助Mathematica軟件，分析了集中質(zhì)量在高架索上的位置對(duì)系統(tǒng)各階模態(tài)頻率的影響;同時(shí)，利用數(shù)值方法對(duì)1∶1∶2雙重內(nèi)共振及1∶2內(nèi)共振兩種情況下系統(tǒng)的面內(nèi)振動(dòng)特性進(jìn)行分析。

1 控制方程建立及簡(jiǎn)化

綜合文獻(xiàn)［4］－文獻(xiàn)［9］，考慮到集中質(zhì)量在高架索上的位置對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為的影響，高架索系統(tǒng)平面內(nèi)振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)模型為:

圖1 高架索系統(tǒng)的示意圖Fig.1 The schematic model of highline cable

為了研究高架索系統(tǒng)的面內(nèi)橫向振動(dòng)，將高架索的軸向運(yùn)動(dòng)做為激勵(lì)簡(jiǎn)化高架索面內(nèi)控制方程。考慮參數(shù)激勵(lì)情況，根據(jù)邊界條件［10］u(0，t)=0，u(l，t)=lF(t)，對(duì)方程(1a)分別進(jìn)行邊界積分，得:

將式(2)代入式(1b)，可得高架索系統(tǒng)的面內(nèi)橫向振動(dòng)的控制方程:

式中F(t)=f sin(Ωt)為高架索的索端無(wú)量綱參數(shù)激勵(lì)，f為無(wú)量綱常數(shù)，Ω為激勵(lì)頻率。

其中λn為材料彈性－幾何參數(shù)，考慮到集中質(zhì)量及高架索傾角的影響［8］，其具體表達(dá)式為:

由式(7)可見(jiàn)，高架索系統(tǒng)的材料彈性－幾何參數(shù)與集中質(zhì)量的位置、模態(tài)振型因素有關(guān)，這也是高架索系統(tǒng)與無(wú)集中質(zhì)量的懸索的重要區(qū)別之一。通過(guò)上述各表達(dá)式可見(jiàn)，集中質(zhì)量對(duì)高架索系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為的影響，不僅僅體現(xiàn)在對(duì)系統(tǒng)慣性質(zhì)量的影響，同時(shí)還與高架索系統(tǒng)的頻率方程、振型方程中的系數(shù)有關(guān)，進(jìn)而影響系統(tǒng)的模態(tài)振型和模態(tài)頻率，這種強(qiáng)耦合特性，大大增加高架索系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為研究的難度。

2 高架索系統(tǒng)面內(nèi)振動(dòng)的模態(tài)頻率分析

由上述初步分析可見(jiàn)，高架索系統(tǒng)的模態(tài)頻率、振型將隨集中質(zhì)量的在高架索上的位置變化而變化，只有明確了系統(tǒng)模態(tài)頻率、振型的變化趨勢(shì)，才能更好地為后續(xù)的高架索系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)研究的開(kāi)展鋪平道路，因此，必須首先確定系統(tǒng)模態(tài)頻率與集中質(zhì)量的位置的關(guān)系。

由式(5)、式(6)以及式(7)可見(jiàn)系統(tǒng)模態(tài)振動(dòng)的振型及模態(tài)頻率是相互關(guān)聯(lián)的，表達(dá)式εn、λn中均含有集中質(zhì)量在高架索上的位置xm這一基本參數(shù)。但是，即使給定xm的值，也無(wú)法確定系統(tǒng)振動(dòng)模態(tài)振型及頻率，因此稱xm為局部參數(shù)。φn(xm)對(duì)應(yīng)特定集中質(zhì)量位置的n階模態(tài)振型幅值，體現(xiàn)了集中質(zhì)量對(duì)系統(tǒng)質(zhì)量的貢獻(xiàn)，如果先不考慮 xm的取值，直接給定φn(xm)的值，就可以確定參數(shù)εn、λn及高架索系統(tǒng)振動(dòng)的模態(tài)振型和模態(tài)頻率，因此稱之為系統(tǒng)的全局參數(shù)。

本文通過(guò)待定局部參數(shù) xm，而給定全局參數(shù)φn(xm)的方式來(lái)確定參數(shù) εn、λn，進(jìn)而由式(5)、式(6)得到高架索系統(tǒng)振動(dòng)的n階模態(tài)頻率ωn及模態(tài)振型φn，再由式(5)反過(guò)來(lái)確定局部參數(shù)xm的值。通過(guò)改變?chǔ)課(xm)的值，重復(fù)上述步驟，即可以得到高架索系統(tǒng)面內(nèi)振動(dòng)的n階模態(tài)頻率與集中質(zhì)量位置的關(guān)系，為系統(tǒng)后續(xù)的動(dòng)力學(xué)行為研究提供基礎(chǔ)。其中，φn(xm)的取值范圍為(0，1)。借助Mathematica程序，得到了高架索系統(tǒng)的前3階模態(tài)頻率與集中質(zhì)量位置的關(guān)系曲線，如圖2所示

圖2 高架索系統(tǒng)的前3階模態(tài)頻率與集中質(zhì)量的位置的關(guān)系及各階模態(tài)振型(xm=5 m)Fig.2 The first three modal frequencies influenced by the lumped mass of highline cable and modal shapes when xm=5 m

由圖2可見(jiàn)，高架索系統(tǒng)各階模態(tài)頻率受集中質(zhì)量的位置變化的影響很大，當(dāng)xm≈4 m～6.6 m時(shí)，高架索系統(tǒng)的第1、3階模態(tài)頻率存在類似滯回非線性的特性，即同一位置對(duì)應(yīng)多個(gè)模態(tài)頻率、振型。說(shuō)明集中質(zhì)量在特定位置時(shí)，系統(tǒng)將會(huì)存在幾種不同的振動(dòng)形式。此外，數(shù)值分析表明，當(dāng)xm≈4.5 m ～5.5 m 時(shí)，系統(tǒng)的第1、2、3階振動(dòng)存在1∶1∶2雙重內(nèi)共振情況;圖2給出了xm=5 m時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生1∶1∶2雙重內(nèi)共振及1∶2內(nèi)共振情況的振型圖，后續(xù)的數(shù)值分析就是針對(duì)該情況進(jìn)行的。本文通過(guò)選取不同的第1階模態(tài)頻率產(chǎn)生1∶1∶2 雙重內(nèi)共振及1∶2 內(nèi)共振情況。系統(tǒng)發(fā)生1∶1∶2雙重內(nèi)共振時(shí)，第1階模態(tài)振型(O1(r))、3階模態(tài)振型(O3(u/r))呈現(xiàn)近似的反對(duì)稱特征，第2階模態(tài)振型(O2(u/r))為典型的混合(非對(duì)稱)模態(tài);而發(fā)生1∶2內(nèi)共振時(shí)，系統(tǒng)的第1階模態(tài)振型(O1(u))為近似的對(duì)稱模態(tài)，第2、3階模態(tài)振型與雙重共振情況相同。

3 數(shù)值分析

參照實(shí)際情況，高架索系統(tǒng)的基本參數(shù)取值如下:

E=1.8 × 1011Pa;A=4.9 × 10－4m2;ρ≈7800kg/m3;l=50 m;xm=5 m;M=600kg;T=20 kN;f=0.01;θ=π/6。

Ω為高架索的索端激勵(lì)頻率，選取Ω=2ω1，為一類典型參激共振情況。下面就針對(duì)1∶1∶2雙重內(nèi)共振(ω3=2ω1≈2ω2)及 1∶2 內(nèi)共振情況，對(duì)高架索系統(tǒng)在平面內(nèi)的橫向振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行數(shù)值分析。

情況1 1∶2 內(nèi)共振情況(ω3≈2ω1)

由上述的高架索系統(tǒng)的模態(tài)頻率的計(jì)算，發(fā)生1∶2內(nèi)共振時(shí)系統(tǒng)的各階模態(tài)頻率及小參數(shù)取值為:ε1=0.0461;ε2=0.0578;ε3=0.1505;ω1=5.3707 rad/s;ω2=6.3252 rad/s; ω3=12.5482 rad/s;

由圖3、圖4可見(jiàn)，對(duì)于1∶2內(nèi)共振情況，高架索系統(tǒng)面內(nèi)振動(dòng)以第1階模態(tài)振動(dòng)為主的周期運(yùn)動(dòng);高架索系統(tǒng)的第2、3階模態(tài)振動(dòng)的振幅迅速衰減，與第1、2階模態(tài)振動(dòng)相比，系統(tǒng)的第3階模態(tài)振動(dòng)完全可以忽略不計(jì)。

情況2 1∶1∶2 雙重內(nèi)共振情況(ω3=2ω1≈2ω2)

系統(tǒng)各階頻率及小參數(shù)取值為:

ε1=0.0818;ε2=0.0578;ε3=0.1505;ω1=6.2745 rad/s;ω2=6.3252 rad/s;ω3=12.5482 rad/s。

由圖5、圖6可見(jiàn)，對(duì)于1∶1∶2雙重內(nèi)共振情況，高架索系統(tǒng)的振動(dòng)以前兩階模態(tài)振動(dòng)為主，第2、3階模態(tài)振動(dòng)的振幅比1∶2內(nèi)共振情況大得多。由于此時(shí)系統(tǒng)的前兩階模態(tài)振動(dòng)頻率十分相近，使得系統(tǒng)第1、2、3階模態(tài)發(fā)生1∶1∶2雙重內(nèi)共振時(shí)，第2階模態(tài)也處于近共振狀態(tài)，從而導(dǎo)致系統(tǒng)的振動(dòng)出現(xiàn)第2階模態(tài)振幅較大的情況。同時(shí)，系統(tǒng)的各階模態(tài)振動(dòng)也不再是簡(jiǎn)單的周期運(yùn)動(dòng)，高架索系統(tǒng)的第1、2階振動(dòng)為周期2運(yùn)動(dòng)，而第3階振動(dòng)更為復(fù)雜，為周期5運(yùn)動(dòng)。

綜上所述，當(dāng) xm≈4.5 m ～5.5 m 時(shí)，高架索系統(tǒng)將存在1∶1∶2雙重內(nèi)共振及1∶2內(nèi)共振兩種振動(dòng)形式，系統(tǒng)在擾動(dòng)下可能會(huì)在這兩種振動(dòng)之間跳躍，從而影響到系統(tǒng)的作業(yè)效率，甚至導(dǎo)致系統(tǒng)的穩(wěn)定性。因此，對(duì)于該高架索系統(tǒng)而言，在該區(qū)間作業(yè)時(shí)，應(yīng)盡量保持高架索系統(tǒng)張力及貨物運(yùn)行速度的恒定，避免在該區(qū)域內(nèi)調(diào)節(jié)貨物輸送的速度。

4 結(jié)論

考慮集中質(zhì)量在高架索上的位置變化對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響，建立了橫向補(bǔ)給系統(tǒng)的高架索面內(nèi)振動(dòng)的連續(xù)體模型，利用Galerkin方法將連續(xù)模型離散為標(biāo)準(zhǔn)的動(dòng)力學(xué)控制方程。引入全局和局部參數(shù)的概念，分析了集中質(zhì)量的位置對(duì)系統(tǒng)的前3階模態(tài)頻率的影響，得到了他們的關(guān)系曲線。對(duì)1∶1∶2雙重內(nèi)共振和1∶2內(nèi)共振情況下高架索系統(tǒng)的參激振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行研究，結(jié)果表明，高架索系統(tǒng)在發(fā)生1∶1∶2雙重內(nèi)共振時(shí)，系統(tǒng)振動(dòng)的第2、3階振幅值較1∶2內(nèi)共振情況大得多，且存在復(fù)雜的周期2、周期5運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象。

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附 錄