零售商主導型供應鏈的期權回購契約協調策略

莫降濤，毛 宏，陳桂梅，范 婷

(廣西大學數學與信息科學學院，南寧 530004)

在現代供應鏈管理中，下游成員越來越占住主導地位。傳統以生產商為主體的“生產→銷售”模式，即“推”的模式，逐漸被以零售商為主體的“銷售→生產”模式，即“拉”的模式所取代。零售商在供應鏈中逐漸占據主導地位，如沃爾瑪、家樂福、國美電器等［1］，對其的研究也越來越受到重視。另外，隨著商家服務水平的提高，允許顧客退貨可以起到吸引顧客購買的效果，但是，顧客退貨和不確定的需求增加了零售商的風險;同時，生產商在銷售期末對零售商剩余產品進行回購，不僅可以維護自己的品牌和促進新產品的營銷，還可以激勵零售商多訂貨。因此，考慮顧客退貨和回購的供應鏈協調問題具有一定的意義。

目前，供應鏈協調主要是采用供應鏈契約來協調的，如常見的收入共享契約、回購契約、數量彈性契約、期權契約等，其研究成果詳見Cachon［2］和楊德禮等［3］的綜述文獻。期權契約規定，買方承諾除在未來購買一定的貨物量外，還向賣方以一定的價格購買一定數量的期權。這個期權允許買方在未來根據市場需求情況，按照規定的期權執行價格購買不超過期權購買量的產品。通過期權的購買，買方就獲得了調整未來訂單的權利，將部分需求風險轉移給了賣方，賣方也從期權購買中獲得了一定的補償［4］。Barnes-Schuster等［5］研究了期權契約的彈性問題，論證了期權契約不僅具有彈性，而且能提高供應鏈的整體利潤。張正祥等［6］在現貨市場環境下考慮了零售商占主導地位的供應鏈協調問題，研究了期權契約對雙方收益的影響。Wang等［7］也利用期權契約研究了零售商占主導地位的供應鏈協調問題。但這些利用期權來進行研究的文獻，只考慮了商品的單向流動，沒有考慮到商品的逆向流動。回購契約是供應商對零售商期末未售完的商品全部或部分進行回購，主要是為了減少不確定的需求給零售商帶來的風險［8］。Pasternack［9］首先提出回購契約概念，隨后諸多學者對它進行了研究。允許退貨可以增強顧客購買信心、減少購買風險、刺激需求，現已成為市場競爭的一個重要手段，國內外學者對顧客退貨已進行了一些相關的研究［10－11］。

本文是在文獻［7］研究的基礎上，考慮了銷售期內允許顧客退貨、生產商回購銷售期末零售商的剩余產品的問題，建立了相應的期權回購契約協調模型。采用與文獻［7］類似的思想方法，分析得出:選取適當的期權價和回購價，可以提高供應鏈的利潤，并可將增加的利潤在成員之間合理分配，使每個成員的利潤都增加，供應鏈達到完全協調。傳統期權契約的期權執行價只與期權價相關，但在采用期權回購契約時，期權執行價由期權價和回購價決定。本文提出的期權回購契約為供應鏈管理提供了一種新的策略。

1 符號說明與模型假設

考慮由一個生產商和一個零售商組成的銷售單一商品的供應鏈。假設市場需求x∈［0，B］是隨機分布的，其均值、概率密度函數、分布函數分別為μ、f(x)、F(x)，其中:F(x)連續可微、遞增，且F(0)=0;B為需求可能最大值。假設:銷售期內顧客退貨率r(0≤r＜1)為一常數，并且退回的貨物不能再次銷售，退貨價為零售價p，即全額退款;零售商和生產商的市場信息是對稱的，且雙方均是風險中性和完全理性的。

在銷售期前，根據市場預測，零售商與生產商通過協商制定期權回購契約(β，b，e)，其中:β為期權價格;b為回購價;e為期權執行價。零售商是供應鏈主導者，據此契約以批發價w首次訂購Q數量的商品;生產商是追隨者，根據契約和Q生產不小于Q的商品Qm，單位生產成本為c。零售商期權購買量為Qm－Q。在銷售期臨近時，若需求大于首次訂購量，零售商則以單價e再次購買Q1，且Q1≤Qm－Q。銷售期結束后，生產商對零售商未售出和顧客退回的商品以單價b回購。商品殘值為v。零售商缺貨而導致自身和生產商的單位懲罰成本分別為gr和gm，令g=gr+gm。為了符合實際和簡化計算，還假設p＞w＞c＞v，0≤β＜c－v，e＞b，v≤b＜w+v－c。

2 集中式供應鏈

供應鏈中零售商和生產商集中決策。供應鏈系統的期望利潤=銷售收入－成本+殘值－缺貨損失，其數學表達式為

因為∏c(Q)″=－［p(1－r)+vr+g－v］f(Q)＜0，即∏c(Q)是凹函數，所以由一階最優性條件得最優訂購量

因集中決策只有一次訂購機會，所以生產商的生產量為Qc。

3 分散式下無契約協調的供應鏈

此時，零售商以最大化自己的利潤進行訂購。

零售商的期望利潤=銷售收入－成本+殘值－缺貨損失，其數學表達式為

經計算得

由最優性一階條件得最優訂購量

由于零售商占主導地位，生產商按照零售商的訂購量進行生產，即此時生產商的期望利潤為

由于w＞c＞v和g＞gr，易證為了實現供應鏈協調，必須選擇適當的契約來激勵生產商的生產量等于集中決策下的最優生產量。

4 分散式下契約協調的供應鏈

零售商第2次期望訂購量為

生產商期末未售出期望量為

生產商期末回購貨物期望量包括顧客退貨量和零售商到期末未售出量，即

零售商缺貨引起生產商缺貨期望量為

下面按照決策順序的逆向進行分析。首先在給定契約參數(e，β，b)和零售商首次訂購量Q下，求解生產商的最優生產量Qm。

生產商的期望利潤=首次批發收入+第2次批發收入－生產成本+殘值－回購費用－缺貨損失+期權收入，其數學表達式為

生產商的優化問題為

對于問題(7)，有如下結論:

命題1 在給定契約參數(e，β，b)和首次訂購量Q后，生產商的最優生產量滿足:當Q＞QT時，=Q;否則=QT，其中

證明根據式(6)得πm(Qm)'=vr+e+gm+β－c－br－(vr+e+gm－v－br)F(Qm)。由一階最優性條件 πm(Qm)'=0，解得 Qm=QT。

由假設e＞b≥v和f(Qm)≥0計算得

即πm(Qm)是凹函數，所以，Qm=QT是πm(Qm)的最大值點。因此，若Q≤QT，則=QT;若Q＞QT，由于Qm＞QT時，πm(Qm)'＜0，即πm(Qm)單調遞減，所以=Q。證明完畢。

命題1說明:當0≤Q≤QT時，生產商的生產量才會多于零售商首次訂購量，此時零售商才有可能進行第2次訂購，因此，下面僅考慮0≤Q≤QT時的供應鏈協調問題。

命題2 當0≤Q≤QT時，如果契約參數(e，β，b)滿足:e= φ(β，b)，0≤β ＜，v≤b＜ w+v－ c，則有=Qc，即生產商的生產量與集中決策下的最優生產量Qc相等，供應鏈達到協調。其中:

證明當0≤Q≤QT時，由命題1有，因此等價于根據式(2)、(8)和F(x)的單調性，得

從中解出 e=φ(β，b)。

命題2只是實現供應鏈協調的必要而非充要條件。為了完全實現供應鏈協調，生產商最優生產量必須達到Qc，因此零售商需要根據契約確定自己的首次訂購量Q，來激勵生產商最優生產量達到Qc。

契約下，零售商的期望利潤=銷售收入－首次訂購成本－第2次訂購成本+回購收入－缺貨損失－購買的期權費，其數學表達式為

零售商的優化問題為

對于問題(10)有下面結論:

命題3 給定契約參數(e，β，b)下，理性的零售商首次訂貨量 Q(β，b)滿足:當時，Q(β，b)=當時，Q(β，b)=0。其中由命題 2定義。

證明因為 v≤b＜w+v－c，所以由 e=φ(β，b)和式(9)得

從命題3可得出:當β=0，b=v時，首次訂購量Q(β，b)與分散決策時的訂購量相等，此時協調后，零售商的利潤沒有改變，生產商占有系統額外增加的所有利潤。

命題4 如果契約參數(e，β，b)滿足條件:v≤b＜w+v－c，則下面的結論成立:①零售商首次訂購量Q(β，b)關于β和b分別遞減和遞增;②當b∈［v，w+v－c)時，零售商、生產商的利潤πr和πm分別關于β遞增和遞減;③ 當時，零售商、生產商的利潤πr和πm分別關于b遞增和遞減;④ 當，零售商、生產商的利潤 πr和 πm均與 b 無關。

證明

F(x)為增函數，易證 Q(β，b)關于 b遞增。因為 v≤b＜w+v－c，所以

即Q(β，b)關于β遞減。

② 將 e= φ(β，b)，Q=Q(β，b)代入得生產商的利潤為

即πm(Qc)關于b遞減。在達到協調時，集中系統總利潤為固定常數且為雙方利潤之和，所以零售商的利潤πr關于b遞增。

證明完畢。

接下來尋找適當的β和b，使得實現協調后，系統增加的利潤在生產商和零售商之間合理分配。

首先求β=0時，b的上限bmax。

命題5 契約參數(e，β，b)滿足 e= φ(β，b)，0≤ β ≤ β0＜ ˉβ，v≤b≤bmax時，能使供應鏈協調，且雙方達到共贏，其中β0滿足:如果那么否則且滿足

證明給定參數v≤b≤bmax。當β→ˉβ時，Q=0。由式(11)得生產商的利潤為，即生產商的利潤為負。由命題4知πm隨b遞減，當β=0時所以有又πm隨β遞減且連續，故必存在唯一的，使得

下面確定β0。

命題5說明:參數b、β在給定的范圍內取值，可以實現供應鏈協調，且零售商和生產商雙方利潤均不比分散決策時差，并且選取適當的b、β，可以實現協調后系統增加的利潤在零售商和生產商之間按要求分配，分配的比例大小取決于零售商和生產商的談判情況和雙方的博弈能力。

5 數值算例

參照文獻［7］的數值算例，假設某零售商和某生產商組成簡單的供應鏈，銷售某一短生命周期商品。各項成本參數:p=80，c=40，w=50，gr=10，gm=10，v=10，r=0.1。顧客的需求服從均勻分布，即F～U［0，3 000］。采用Matlab軟件，由式(2)和(1)計算得到:集中決策最優訂購量Qc和總利潤∏c(Qc)分別為1 915.7和20 765;由式(4)、(3)和(5)計算得:分散決策下，最優訂購量和總利潤分別為1 356.2和16 435，零售商和產商的利潤和分別為 7 376.7和 9 058。顯然，當 β=0時，bmax=bˉ=19.276 9。由命題2得期權執行價

圖1描述了回購價和期權價對首次訂購量的影響，首次訂購量Q(β，b)關于β遞減，關于b遞增，這與命題4結論一致。圖2～4描述了b在取值范圍內時，零售商、生產商的利潤隨β的變化情況，并給出了分散決策時的利潤作為參照基準，以便供應鏈成員選擇合適的b、β值，達到雙贏，驗證了命題5結論。

6 結束語

本文主要在零售商占主導地位的供應鏈中，建立了顧客在銷售期內可以退貨、生產商期末對零售商的剩余商品進行回購的期權回購契約協調模型。通過理論分析得出:零售商選取適當契約參數期權價和回購價，可以激勵生產商的生產量與集中決策的最優生產量相同，同時雙方利潤均不低于分散決策時的利潤，并且協調后增加的利潤可以在二者之間合理分配，實現供應鏈完全協調。本文建立的期權回購契約是文獻［7］期權契約的一種擴展，在無回購假設下，期權回購契約依然適用，只須將b=v即可。

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