無刷直流電機的指數趨近律滑模變結構控制

李運德， 張 淼

(廣東工業大學，廣東廣州 510006)

0 引言

無刷直流電機(Brushless DC Motor，BLDCM)由于結構簡單、出力大、調速性能良好等優點，在工業領域中得到了廣泛應用。但是BLDCM的齒槽轉矩和非理想的方波輸入等多方面原因，使得該電機的轉矩波動比較明顯，這就很大地限制了其在較高精度的伺服系統中的應用。

隨著對控制精度、速度以及對環境變化的適應能力的要求越來越高，經典PID逐漸暴露其缺點。采用傳統的PID方法控制BLDCM難以達到高性能的要求，并且在實際工業生產過程中整個系統往往具有非線性、時變不確定性，對于本來就在這方面存在缺陷的PID更難以取得理想的效果。

為了提高系統的魯棒性，本文提出采用趨近律的滑模變結構的方法，設計滑模變結構控制器來控制BLDCM，并采用MATLAB軟件進行仿真驗證。結果表明，控制系統具有超調量小、響應速度快、抗負載擾動能力強等良好的控制性能［2，8－9］。

1 BLDCM的數學模型

BLDCM一般由電機本體、邏輯驅動電路和位置傳感器三部分組成。以三相星型連接BLDCM為例，電機的轉矩方程為

式中:Te——電磁轉矩;

ea、eb、ec——定子繞組的反電動勢;

ia、ib、ic——定子繞組的相電流;

ω——轉子角速度。

當BLDCM運行在120°導通的工作方式下，且不考慮換相暫過程，三相Y接定子繞組中只有兩相導通，其電流大小相等且方向相反。這樣式(1)可簡化為

式中:KT——電機轉矩系數;

i——穩態時繞組相電流。

忽略粘滯摩擦系數的影響，電機運動方程為

式中:TL——負載轉矩;

J——轉動慣量［3］。

2 滑模變結構控制器設計

滑模變結構控制方法的設計和實現都相對簡單，而且比較適合功率電子器件的“開關”工作模式。由于滑模模態可以進行設計且與系統參數變化及擾動無關，使得滑模變結構控制具有快速響應、對參數變化及擾動不敏感等特點。因此，當系統進入滑動模態以后，對系統的干擾和攝動具有很好的自適應性，基本不受系統參數變化和外界干擾的影響，其高速切換特性對于電機負載的變化和繞組換相引起的電流波動也均具有較好的抑制功能。如圖1(a)所示，為滑模變結構控制的相軌跡圖［1，4］，圖 1(b)為仿真得到的相軌跡圖。

圖1 滑模變結構控制相軌跡圖

當系統狀態向量穿越開關面時，反饋控制的結構就發生變化，并一直在滑模區域內運動而不受系統參數、擾動等因素的影響，從而使系統達到所期望的指標。

2.1 指數趨近律

一般，滑模變結構控制在滑動模態下會產生高頻抖振，為了減弱抖振可以采用趨近率的方法。

指數趨近律表示為

其中:k＞0，δ＞0，s為滑模切換函數，sign是符號函數。

在指數趨近律中，趨近速度從較大的值逐步減小到零，這樣，不僅縮短了趨近時間，還使運動點到切換面時的速度很小。通過調整指數趨近律的參數k和δ，既可以改善滑動模態到達過程的動態品質，又可以減弱控制信號的高頻抖振。

2.2 滑動模態的到達條件和穩定性

系統的初始點可在狀態空間的任意位置，但在系統運行后，為了使系統正常起動滑模運動，則要求運動點在有限的時間內到達切換面s=0，即系統的運動必須趨于切換面。到達條件［5］為

根據式(4)，得

2.3 控制器設計

令狀態量為

式中:x1——速度誤差;

x2——速度滑模變結構調節器輸入;

ωr——給定轉速;

ω——電機的實際轉速。

把式(2)、式(3)代入式(9)，得系統在狀態空間的數學模型為

選取滑模切換函數為

式中，c為常數，且 c＞0。由式(4)、式(11)，得

再由式(10)、式(12)，得

對式(13)進行微分計算，可得滑模變結構調節器輸出，即電流給定u=ir為

在滑動模態:

到達切換面s=0，得通解為

其中，a為常數。由式(16)得:

可知，t趨于無窮時，ae－ct沿指數曲線趨于零，使得實際速度趨近于給定速度，可認為ω=ωr，因此能實現轉速無超調的跟蹤而使系統達到穩定狀態。

為更好地解決滑模控制存在的抖振問題，采用準滑動模態控制原理，即使一定范圍內的狀態點均被吸引到切換面的某一鄰域內，或稱為切換面的邊界層。因此，用飽和函數sat(s)代替滑動模態中的符號函數sgn(s)，sat(s)的表達式為

式(18)中，Δ為邊界層。當運動點在邊界層外，切換控制起作用;運動點在邊界層內，則線性化反饋控制起作用。在邊界層內時，準滑動模態不要求滿足滑動模態的存在條件，因此不要求在切換平面上進行控制結構的切換，可從根本上避免或削弱抖振。

3 MATLAB仿真試驗

根據上面的理論分析，為了驗證指數趨近律滑模變結構控制器對BLDCM進行控制的可行性，本文使用MATLAB/Simulink軟件對系統進行仿真，對BLDCM參數設定如下:定子電阻 R=2.875 Ω，定子電感 L=8.5 mH，轉子磁通 φf=0.175 Wb，轉動慣量 J=0.000 8 kg·m2，反電動勢平頂波為120°。圖2所示為BLDCM的控制系統框圖。

設仿真時間為0.1 s，給定速度為300 r/min，初始負載轉矩為0 N·m，在0.05 s時突然增加速度，使其變為500 r/min，通過仿真分析控制系統的性能指標(包括上升時間tr、超調量σ和調節時間ts)和抗擾性能指標(包括轉速降落ΔCmax和恢復時間tv)以及各因素的影響［7］。圖3所示為兩種速度下速度和轉矩的仿真波形。

圖2 BLDCM控制系統框圖

圖3 300 r/min和500 r/min的轉速和轉矩波形

對圖3中轉速和轉矩波形進行分析，在轉速為300 r/min時，速度能在極短的時間內就能跟蹤上給定速度;當在0.05 s時突然加速到500 r/min，速度仍能快速到達期望速度;兩種速度下均能實現無超調;轉矩也非常穩定，并未出現明顯的轉矩脈動。圖3對應的性能指標如表1所示。

表1 性能指標

由于圖3中沒有加負載，因此，再對控制系統在突加負載的情況下進行仿真。仿真時間仍為0.1 s，給定速度為 500 r/min，在 0.05 s時突然增加1 N·m的負載，仿真結果如圖4所示。

圖4 500 r/min的轉速和轉矩波形

對圖4中轉速和轉矩波形進行分析，轉速亦能快速達到給定值，雖然在0.05 s時突加負載，系統也只稍微發生一點變化，又能立即回到原給定值，實現無超調調速，受負載干擾后的轉速降落也可認為是零，同時穩定后的轉矩也沒有特別的轉矩脈動。圖4對應的性能指標如表2所示。

表2 性能指標

由以上兩種情況對所設計的指數趨近律滑模變結構控制器進行分析可知，該控制器能實現快速跟蹤的功能，較明顯的效果就是沒有出現超調，極大地抑制了外界干擾的影響，符合設計要求。

4 結語

本文通過分析BLDCM控制系統，并對速度控制環節進行指數趨近律滑模變結構控制策略設計，所設計方法簡單，易于實現。滑模變結構控制由于其自身的設計方法，使它具有克服系統外界干擾和內部參數攝動的良好特性;當系統處于滑動模態時，系統狀態的轉移不受原有參數變化和外部擾動影響，具有完全自適應性和魯棒性。仿真結果證明，指數趨近律滑模變結構控制系統具有響應速度快、誤差小、無超調、抗干擾能力強和實時性能好等優點，極大地提高了控制系統的穩態性能。

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