模糊信息分配法在裂隙結構面特征統計中的應用

董貴明，束龍倉，王茂枚，劉麗紅，陶玉飛

(1. 中國礦業大學 資源與地球科學學院，江蘇 徐州，221116；2. 河海大學 水文水資源與水利工程科學國家重點實驗室，江蘇 南京，210098；3. 江蘇省水利科學研究院，江蘇 南京，210017；4. 北京木聯能軟件技術有限公司，北京，100085)

巖體裂隙結構面特征包括產狀、間距、組數、延續性、粗糙度、張開度、充填情況和連通性等，通過野外調查、繪制各種裂隙統計圖和數理統計方法可進行結構面特征的分析。結構面特征分析是巖體滲流分析、巖體工程設計和穩定性分析的基礎。常用的裂隙統計圖主要包括玫瑰花圖、極點圖和等值線圖，裂隙統計圖主要反映了結構面的產狀特征，可以用來對結構面進行分組，一些學者對這種方法的不足和改進進行了分析[1-2]。裂隙統計圖實質上是對結構面的產狀分區間統計，并以圖形的形式表現出來。玫瑰花圖是在一維區間上進行統計，極點圖和等值線圖是在二維區間上進行統計，通過這種分區間統計來提取結構面樣本的信息。這里的區間是確定性區間，在確定性區間上統計時，把該區間上的樣本同等對待，不考慮樣本在區間的位置，會出現一定程度的信息丟失，統計結果對區間界限依賴較大，在區間附近的數據稍有波動，便進入不同的區間，導致統計結果具有一定的不穩定性[3-5]。使用離散網絡模型進行巖體滲流計算時需要結構面特征的概率密度函數，該函數直接影響計算結果的準確性[6]。概率密度函數的確定方法較多，如頻率直方圖法、適線法、蒙特卡羅法、假設檢驗法等。其中頻率直方圖法仍然是使用較廣泛的一種方法，但頻率直方圖中使用確定性區間進行統計，同樣沒有考慮樣本的位置信息，結果受樣本的波動影響較大，導致經驗頻率曲線與實際的概率密度曲線誤差增加。野外調查時獲得的結構面樣本是有限的，有些情況下甚至是小樣本數據，這時使用確定性區間進行統計時會增加信息丟失的程度，降低結果的穩定性。確定性區間上的信息統計特點是經典集合論中元素與集合非此即彼的關系引起的，模糊集合通過隸屬函數建立元素與集合的關系。模糊信息分配采用了模糊區間，考慮了樣本在區間中的位置信息，減弱了對區間界限的依賴程度，統計結果穩定[7-10]。模糊信息分配方法在自然災害風險評價、氣象數據分析、工業生產、人工智能、投資管理、環境評價等方面都已有應用[5]。模糊信息分配結果可以用圖形來表達，也可以直接使用模糊信息矩陣。本文作者將闡述該方法進行裂隙結構面特征分析的原理、步驟，并結合具體實例進行分析。

1 模糊信息分配原理

使用模糊信息分配法分析樣本信息時，首先把問題中涉及到的每個論域用模糊區間的并集表示，模糊區間由中心數和模糊度組成，對于只有一個論域的問題，這時的模糊空間是大于一維的；然后，根據信息分配公式計算每個樣本對論域模糊空間中的每個模糊區間的信息量；最后，可根據模糊空間中的每個模糊區間的信息量值進行分析。一維模糊空間的信息量分布情況可以用直方圖的形式表現，二維模糊空間的信息量分布情況可以用模糊信息矩陣的形式表現。可見：直方圖和信息矩陣都可以用來展示樣本的信息結構。裂隙結構面產狀玫瑰花圖只涉及到一個角度論域，極點圖和等值線圖涉及到2個角度論域。其他的結構面特征(比如結構面間距)涉及到的論域一般也不會超過2個。所以，本文只介紹一維、二維模糊信息分配公式及模糊信息矩陣。

1.1 一維信息分配公式

最簡單的模糊區間是對稱三角模糊數，其隸屬函數為[5]。

式中：x0和Δ分別是論域I中某個模糊區間的中心數和模糊度；u為任意實數。這個隸屬函數μI(u)也是一維模糊空間經常使用的線性模糊信息分配公式，相應的μI(u)也是實數u在以x0為中心數和以Δ為模糊度的模糊區間的信息量值。u距離中心數x0越近，信息量越大，當u取中心點時，信息量取最大值1；u距離中心數x0越遠，信息量越小，當u與x0的距離大于等于模糊度時，信息量取最小值為 0。對所有的樣本通過式(1)可計算出每個模糊區間總的信息量值。

1.2 二維信息分配公式

二維模糊空間是由2個一維模糊空間中的模糊區間的迪卡爾積形成的。式(2)為二維信息分配公式[5]。式中：(xi，yi)為樣本；Aj和 Bk為一維模糊空間；uj和hx分別為Aj中的一個模糊區間的中心數和模糊度；vk和hy分別為Bk中的一個模糊區間的中心數和模糊度。當(xi，yi)與(uj，vk)的距離變小時，相應的信息量增加，信息量最大值為1；當(xi，yi)與(uj，vk)的距離變大時，相應的信息量變小，信息量最小值為 0。對所有的樣本通過式(2)可計算出每個二維模糊區間總的信息量。

1.3 模糊信息矩陣

文獻[5]中的模糊信息矩陣定義是針對輸入和輸出2個論域的，其實，模糊信息矩陣的2個論域不一定是輸入和輸出關系，如一個論域是傾向，另一個論域是傾角，同樣可以根據樣本得到模糊信息矩陣，但傾向和傾角并沒有明顯的輸入、輸出關系。模糊信息矩陣的形式和一般矩陣是一樣的，矩陣的元素值是相應的二維模糊區間的總信息量，信息量根據式(2)計算。相應地，傳統的非此即彼的信息分配方式下可以得到簡單信息矩陣，矩陣的元素值是屬于該二維確定性區間的樣本個數。

2 模糊信息分配法在裂隙圖繪制和概率密度函數估計中的應用

2.1 裂隙玫瑰花圖

玫瑰花圖的論域為0~360°，首先把其分成若干個大小相同的模糊區間，模糊區間的模糊度一般可取10°和20°，這與傳統的統計區間長度一致。如分成36個模糊區間，那么，每個模糊區間的模糊度是 10°，每個模糊區間的中間數相差10°，第1個模糊區間的中心數是 5°，對于走向玫瑰花圖只使用其中的 18個模糊區間就可以了，對于傾向玫瑰花圖一般要使用全部的模糊區間。玫瑰花圖的模糊區間的并集形成了一維模糊空間，根據式(1)就可以計算樣本在不同的模糊區間的信息量，最后可得到每個模糊區間的總信息量，以某個實際長度(如1 cm)代表單位信息量，即可繪制出基于模糊信息分配的玫瑰花圖。基于模糊信息分配的玫瑰花圖的形式和傳統的玫瑰花圖是一樣的，不同的是前者使用的是模糊區間的模糊信息，后者使用的是確定性區間上的簡單信息。

2.2 裂隙極點和等值線圖

極點圖和等值線圖上展示的是裂隙的傾向、傾角信息。這兩個圖分別涉及到 2個論域：傾向論域為0~360°，傾角論域為 0~90°。將每個論域分成若干個大小相同的模糊區間，計算這2個論域中的模糊區間的迪卡爾積，使用式(2)計算樣本在每個二維模糊區間的信息量，根據信息量計算的結果設定一個點子代表的信息量，便可繪制出極點圖、等值線圖。基于模糊信息分配的極點圖和等值線圖在形式上與傳統的極點圖和等值線圖是一樣的，極點圖、等值線圖也可以直接通過二維模糊信息矩陣的形式表現出來。

2.3 結構面特征的模糊頻率直方圖

采用式(1)計算樣本在每一個模糊區間上的信息量，模糊頻率直方圖的概率估計為[5]：

式中：n為樣本個數；Δ為模糊度，也是各個中點數的距離；x為中心數；Qx為所有提供給以x為中心數、以Δ為模糊度的模糊區間的信息量。文獻[5]，[7]，[11]和[12]中都論述了模糊頻率直方圖優于傳統的頻率直方圖，其中文獻[5]針對正態分布、指數分布和對數正態分布類型進行了詳細的仿真實驗對比。結果表明：在樣本不大的情況下，模糊頻率直方圖估計概率比傳統的頻率直方圖估計概率減少20%，估計精度的提高是明顯的。使用式(3)可以繪制出裂隙結構面的模糊頻率直方圖，進而可分析其統計特征。

3 應用實例及分析

3.1 實例1

文獻[13]中通過裂隙走向、傾向玫瑰花圖結合裂隙類型與填充情況對某壩基巖體穩定性進行分析，裂隙調查數據見表1[13]。本文采用表1中數據進行裂隙統計的傳統繪圖方法與基于模糊信息分配的繪圖方法的對比分析。裂隙走向、傾向玫瑰花圖見圖1~4。

圖1 傳統裂隙走向玫瑰花圖Fig.1 Rose map of traditional fissure trend

圖2 基于模糊信息分配的裂隙走向玫瑰花圖Fig.2 Rose map of fissure trend based on fuzzy information distribution

圖3 傳統裂隙傾向玫瑰花圖Fig.3 Rose map of traditional fissure dip

圖4 基于模糊信息分配的裂隙傾向玫瑰花圖Fig.4 Rose map of fissure dip based on fuzzy information distribution

圖1采用的區間長度是10°，圖2中模糊區間的模糊度為10°，圖3采用的區間長度是20°，圖4中模糊區間的模糊度為20°。在圖1和圖3中有很多的“尖點”，這種情況在小樣本的圖形中是經常見到的，這是由于某個區間中的樣本點僅僅只對該區間提供信息，是非此即彼的簡單信息分配的結果，并沒有考慮樣本點尤其是在區間邊界附近的樣本點對其相鄰區間提供的信息。圖2和圖4中，由于采用了模糊信息分配方法，這種“尖點”現象明顯減弱，并且走向和傾向的分組以及優勢組更加清楚。

傾向、傾角的組合信息本文使用簡單信息矩陣和模糊信息矩陣反映，見表2和3。表中的數據分別為相應區間的裂隙條數和信息量，簡單信息矩陣和傳統的極點圖是一致的。表3中非0值個數比表2中明顯增加，即表2中有些是0值的地方在表3中變成了非0值，并且這些非0值中有些會相對較大，如在表2和3的左上側范圍內的數值中，表2中有3個非0值(2，3，5)，在傾向[40,60)與傾角[10,20)處數值是 0，但在表3中該位置變成了2.04，在周圍的6個非0數值中是第2大的數。這是因為從表1中可以看到有很多樣本點在區間[40,60)∪[10,20)邊界附近，這些樣本點可以對該區間提供一定的信息。表3中非0值個數比表2明顯增加也表明了信息的過渡性增加。

表1中有些傾角剛好位于表2的區間邊界上，區間的邊界稍有變化；表2中的統計結果就會有較大的變化，但表3中統計結果的變化比表2中統計結果的變化小得多，這可由式(2)看出，表明模糊信息分配法統計的穩定性好于傳統統計方法。另外，從傳統玫瑰花圖上可以得到某個統計區間的樣本平均值。這個平均值在大樣本下，根據中心極限定理是理論值的無偏估計所得，但實際中，一般不容易得到一個大樣本尤其是某個區間上的大樣本，這時，傳統玫瑰花圖上的某個統計區間的樣本平均值沒有多大意義，應該更多地關注在區間上的模糊信息量，而不是樣本平均值。

表1 裂隙調查結果Table 1 Fissure survey results

表2 傾向和傾角簡單信息矩陣Table 2 Matrix of dip and trend simple information

表3 傾向和傾角模糊信息矩陣Table 3 Matrix of dip and trend fuzzy information

3.2 實例2

后寨地下河流域位于貴州省普定縣城以南 11 km，為典型的喀斯特流域，在該區域已進行了大量的裂隙統計工作[14]。陳旗堡地區位于后寨地下河流域的東北部，為峰叢洼地地貌，該地區已經設立氣象、水文觀測站及試驗區，成為研究西南喀斯特地區石漠化問題的典型試驗地區。地層為中三疊統關嶺組的第 2段中的第1層和第2層，即 T2g2-1和 T2g2-2地層，巖層傾角為5°左右，傾向接近270°。選擇該區內的3個測線，對厚層灰巖地層出露地表的溶蝕裂隙間距進行統計，該溶蝕裂隙主要有2組：第1組平均走向為301°，另一組平均走向為29°。選擇第 1組進行裂隙間距的直方圖特征進行分析，表4所示為第1組裂隙間距。繪制傳統頻率直方圖和模糊頻率直方圖，并采用切比雪夫多項式函數逼近方法確定了概率密度函數曲線，見圖5和圖6。

圖5 傳統裂隙間距頻率直方圖Fig.5 Frequency histogram of traditional fissure distance

圖6 裂隙間距模糊頻率直方圖Fig.6 Fuzzy frequency histogram of fissure distance

表4 裂隙間距Table 4 Fissure distance

圖5中統計區間長度為20 cm，圖6中模糊度為20 cm，第1個模糊區間的中心數為20 cm。基于切比雪夫多項式函數逼近的概率密度函數確定方法充分利用了樣本的各階矩，具有較高的精度[15-16]。模糊頻率直方圖比傳統的頻率直方圖更能顯示某種統計規律，并且更接近概率密度曲線，即基于模糊信息分配公式的區間信息量計算方法充分提取了樣本點中的信息，信息量的計算是比較準確的。

對統計區間的長度(模糊度)、起始和結束值進行調整，可繪制出多組對比圖。經對比后發現，基本上都能得到圖5與圖6的對比結果，對比結果并未一一列出。同時，對比結果也表明模糊頻率直方圖的穩定性比傳統頻率直方圖的穩定性強。

4 結語

(1) 將模糊信息分配法應用到裂隙結構面特征的統計分析中是基于模糊信息分配公式的模糊集合在對數據的區間識別上的應用，體現了經典集合和模糊集合在對數據的區間識別上的重要區別，考慮了樣本的模糊過渡信息，減小了統計結果對區間界限的依賴性，增強了結果的穩定性。

(2) 在小樣本的情況下，將模糊信息分配方法應用到裂隙結構面的產狀、間距分析中，得到了較好的結果，為小樣本情況下進行裂隙結構面特征統計分析提供了一種新的途徑。在大樣本情況下，沒有使用實例數據進行分析，但從模糊信息分配方法的原理上可看出，模糊信息分配方法的統計結果仍優于確定性區間統計結果。結構面的其他特征和產狀、間距特征具有相似性，也可以使用模糊信息分配方法進行分析。

(3) 基于模糊信息分配的結構面特征分析方法原理簡單、易操作、結果合理，是一種較好的裂隙結構面特征分析方法，值得推廣使用。

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