二期恒載對大跨度斜拉橋車橋耦合振動的影響

郭文華 ，陳代海，李整

(1. 中南大學 土木工程學院，湖南 長沙，410075；2. 中南大學 高速鐵路建造技術國家工程實驗室，湖南 長沙，410075)

斜拉橋隨著跨徑的增大，結構趨于輕薄長細化，二期恒載與主梁自重的比值增大，其對結構的影響愈加明顯。特別是在車輛荷載作用下，屬于輕型柔性體系的大跨度斜拉橋的動力敏感性更加顯著。橋梁自重的增加意味著車輛的重量在整個車橋系統中所占比重減小，這勢必會減弱車輛對橋梁的沖擊作用。二期恒載對大跨度斜拉橋車橋耦合振動的影響應引起我們的重視。目前，國內外許多學者對大跨度斜拉橋的車橋耦合振動進行了研究[1?6]，有關不同因素對車橋振動影響的文獻也不少[7?13]。李小珍等[5?7]分析了大跨度公鐵兩用斜拉橋車橋振動響應，討論了不同主梁豎曲線車橋動力響應的影響；Yau等[8]對斜拉橋的車橋振動進行了減振分析；向俊等[9]研究了貨物列車編組對列車?橋梁系統空間振動的影響；萬信華等[10]研究了由非平整橋面引起大跨斜拉橋車橋耦合振動響應。然而，對于二期恒載對大跨度斜拉橋車橋耦合振動的影響問題至今很少有人進行詳細的研究。在此，本文作者根據車橋耦合系統振動分析理論及編制的計算程序，采用輕軌車和汽車空間振動模型，以某公軌兩用斜拉橋方案為研究對象，對拉索、主桁和橋塔分別采用空間桿單元和空間梁單元模擬，用梁格法離散橋面板，計算了輕軌車和汽車同時通過該橋時的車橋耦合空間振動響應，探討二期恒載對大跨度斜拉橋車橋耦合振動響應的影響。

1 車橋分析模型

1.1 機車車輛模型

車輛動力學模型采用二系彈簧多剛體多自由度的機車車輛計算模型，假定車體和轉向架都是剛體，不考慮車輛縱向振動的影響，每節車輛由車體、前后轉向架3個剛體組成，車體與前后轉向架各考慮其側擺、浮沉、側滾、點頭和搖頭5個自由度[14]，模型可參考文獻[14]。

1.2 汽車模型

公路汽車采用由彈簧、阻尼器相連的多剛體模型，彈簧均為線性的，阻尼按黏性阻尼計算，汽車的車輪與橋面豎向密貼，將隨機橋面粗糙度作為激勵輸入。汽車車身具有浮沉、點頭和側滾3個自由度，4個車輪分別具有1個浮沉自由度，每輛汽車總共有7個自由度[15]，模型可參考文獻[15]。

1.3 路面粗糙度和軌道不平順模型

在選定功率譜密度函數之后，運用Monte Carlo隨機模擬方法，通過譜呈現的方法來模擬橋面粗糙度和軌道不平順[14]。

式中：r(x)為不同位置處的橋面粗糙度或軌道不平順；為功率譜密度函數；θk為[0，2π]內的均勻分布的幅角；k為在給定的譜密度間隔內的第k個空間頻率。其中：

式中：N為最大空間頻率和最小空間頻率之間的間隔總數。

1.4 橋梁模型

1.4.1 橋梁簡介

某公軌兩用斜拉橋方案的跨徑布置為 222.5 m+445 m+190.5 m，雙塔單索面，上層為4車道公路，下層為雙線輕軌，主梁采用倒梯形斷面的鋼桁梁，桁架為三角形桁架，桁寬13 m，桁高12 m，節間長16 m。鋼筋混凝土橋塔，塔高163.6 m，每個塔有9對索與主梁相連，構成扇形索面。圖1所示為全橋有限元模型。二期恒載包括橋面鋪裝、欄桿、檢修道、電纜支架和軌道結構等，主橋二期恒載約為201 kN/m。鋼桁梁(指除索和塔之外的鋼結構部分)自重約為173.8 kN/m，二期恒載與鋼桁梁自重的比值為1.16。

圖1 全橋有限元模型Fig.1 Finite element model of bridge

1.4.2 計算模型

采用空間有限元法對橋梁結構的真實情況進行離散。按照梁格法的基本思路，將橋面板的剛度通過改變縱橫梁截面形狀的方式計入到縱橫梁中，為了避免重復考慮橋面板的質量，需要將改變截面后的橫梁或縱梁的質量進行折減，從而，橋面可簡化成由弦桿、縱梁、橫梁、橫隔梁組成的梁格體系。桁架主梁的各部分桿件，包括上下弦桿、腹桿和橋塔采用空間梁單元來模擬，斜拉索離散成空間桿單元，由于自重垂曲引起的非線性效應，采用按 Ernst 公式對其彈性模量進行修正的方法加以考慮。當考慮橋面二期恒載時，則將其轉化為質量點施加于相應節點上。全橋節點數共計4 735個，單元數共計7 319個。

2 車橋分析方法

由于橋梁多采用彈性連續體模擬，故可用常規有限元法首先得到橋梁自身的質量矩陣Mb、剛度矩陣Kb和阻尼矩陣Cb，而輕軌車、汽車多采用彈簧、阻尼相連的多剛體模型，易于單獨計算作用在運行于橋梁上的車輛的慣性力、阻尼力、彈性力及相應虛功。

以汽車的多剛體模型為例，質量可分為兩類。第一類質量位于剛體上，剛體一般有獨立的車輛自由度；第二類質量位于接觸點上，接觸點不具有獨立的自由度，一般由橋梁自由度和相關路面粗糙度確定。計算全部第一類質量的慣性力所作虛功，提取相應質量系數，直接形成汽車質量子矩陣Mv。計算全部第二類質量的慣性力所作虛功，提取相應質量系數，可直接形成由汽車慣性力引起的附加橋梁質量子矩陣Mbbv；提取相應荷載系數，可直接形成由汽車慣性力引起的對橋梁的附加荷載子列陣Pbvr1。彈簧也可分為2類：第一類彈簧連接兩個剛體，兩端產生的相對位移僅與車輛自由度相關；第二類彈簧一端連接剛體，一端位于接觸點處，它兩端產生的相對位移不僅與車輛自由度相關，還與橋梁自由度和路面粗糙度有關。計算全部第一類彈簧的彈性力所作虛功，提取相應剛度系數，直接形成汽車剛度子矩陣Kv。計算全部第二類彈簧的彈性力所作虛功，提取相應剛度系數，可直接形成附加的汽車剛度子矩陣Kv1、車橋耦合剛度矩陣Kbv1和Kvb1以及附加的橋梁剛度子矩陣Kbbv1；提取相應荷載系數，可直接形成對橋梁的附加荷載列陣Pbvr2和對汽車的附加荷載列陣Pvr2。相應阻尼矩陣的形成可用類似于剛度矩陣形成的方法。汽車的輪重作為外荷載引起對橋梁的附加荷載列陣Pbvg。同理，與輕軌車相關的矩陣亦可求得。

將車與橋梁視為一個整體系統，根據Guo等[15-16]提出的一種易于計算機實施的全計算化原理，將單獨橋梁振動方程直接擴充為橋梁—輕軌車—汽車耦合系統的振動方程：

式中：vb，bv˙和bv˙˙分別為橋梁節點的位移、速度和加速度列陣；vv，vv˙和vv˙˙分別為汽車的位移、速度和加速度列陣；mv，mv˙和mv˙˙分別為輕軌車的位移、速度和加速度列陣。

當車輛運行于橋梁上，上述橋梁—輕軌車—汽車耦合系統的運動方程為一組變系數的二階微分方程。需要注意的是，隨著車輛位置的變化，并不是所有的子矩陣都是隨時間變化的，如：Mb，Mv，Mm，Kb，Kv，Kv1，Km，Km1，Cb，Cv，Cv1，Cm和Cm1。在編制計算程序時，這些子矩陣可專門儲存起來，以便隨時調用。而有些子矩陣(Mbbv，Mbbm，Kbbv1，Kbbm1，Kbv1，Kvb1，Kbm1，Kmb1，Cbbv1，Cbbm1，Cbv1，Cvb1，Cbm1 和Cmb1)及所有的荷載子列陣都是時變的，它們需根據每一步不同的車輛運行位置來重新形成，并疊加到相應的位置。

采用直接積分法[17?18]求解式(4)，可同時得到橋梁、輕軌車和汽車的空間動力響應。根據上述原理，用 Fortran語言編制了橋梁—輕軌車—汽車耦合系統動力分析軟件BTVIP(Bridge Train Vehicle Interaction Program)。

3 計算結果與分析

3.1 橋梁自振特性計算與分析

基于上述有限元模型，采用編制的橋梁動力分析程序對該斜拉橋在是否施加二期恒載的情況下的自振特性進行分析。橋梁前5階自振頻率的計算結果如表1所示，前2階振型如圖2～3所示。

從計算結果可以看出：一階側彎的振型先于一階豎彎出現，說明橋梁的面外剛度要弱于面內剛度；由于鋼桁梁與主塔之間采用了剛度系數很大的彈性連接，因此，沒有出現頻率較低的體系縱飄振型；將兩種模型的計算結果進行對比后發現，如施加二期恒載，結構的自振頻率下降幅度較大，說明二期恒載對結構體系本身影響明顯。

3.2 車橋耦合振動計算與分析

進行車橋耦合振動計算時，每線輕軌車輛采用 6節車編組，計算速度取為 60 km/h。考慮到重型車輛對橋梁的動力作用影響相對較大，因此，特選用 20輛重型汽車為1個車列，車輛采用10 m等間距，計算速度取 60 km/h。具體計算時主要考慮如下工況：單線輕軌在左側軌道運行+雙線汽車同向在左行車道 1和2上運行(距離橋梁中線較遠處為車道1)。上述中的“左”表示從南岸往北岸方向時橋梁中線的左側。為分析二期恒載對車橋系統動力響應的影響，選取了7種橋梁模型進行計算，模型的不同之處在于施加的二期恒載，模型中分別在主梁上施加了0，0.5，0.8，1.0，1.2，1.5和2倍的二期恒載，相應的二期恒載與鋼桁梁自重的比值為 0，0.58，0.93，1.16，1.39，1.73和2.31。

表1 橋梁前5階自振頻率與振型特點比較Table 1 Dynamic characteristics of bridge

圖2 第1階振型圖Fig.2 First-order vibration mode diagram

圖3 第2階振型圖Fig.3 Second-order vibration mode diagram

根據上述輕軌車、汽車和橋梁空間分析模型，按指定工況開展了車橋耦合系統動力響應計算。橋梁上選取A，B，C和A′ 4個不同位置給出橋梁振動響應。從南岸往北岸方向看，A和A′點分別為中跨跨中左側和右側下弦節點處，B和C點分別為中跨跨中左側上弦節點處和邊跨跨中左側下弦節點處。輕軌車中選第一節車體給出振動響應，汽車中選取左行車道1上第1輛汽車的車體給出振動響應。車橋振動空間響應最大值見表2。中跨跨中左側上弦節點B的位移、加速度時程以及第1節輕軌車和左行車道1上的第1輛汽車的車體豎向加速度時程如圖4～7所示。

表2 車橋系統振動響應最大值比較Table 2 Maximum vibration responses of vehicle-bridge system

圖4 中跨跨中左側上弦節點B的位移時程曲線Fig.4 Time history cures of node B’s displacement at left upper chord in middle span of bridge

從B點的位移時程(見圖4)可以看出：橫向位移和豎向位移相比，橫向位移的動力沖擊系數要大，說明橋梁的面外剛度要小于面內剛度，這一結論與自振特性分析所得結論是一致的。但無論是豎向位移還是橫向位移，二者的振動幅度都不大，表明該橋的整體豎向和橫向剛度都較大。

對比表2中的數值可以發現：二期恒載對橋梁結構的位移響應影響較小(見圖4)，對其加速度響應影響明顯(見圖 5)；但它對車輛的加速度響音影響不明顯(見圖6～7)。圖8所示為不同節點的豎向加速度最大值隨二恒與主梁自重的比值的變化。圖8顯示：隨著二期恒載與主梁自重的比值的增大，橋梁結構的加速度響應最大值并未一直減小。

圖5 中跨跨中左側上弦節點B的加速度時程Fig.5 Time history cures of node B’s acceleration at left upper chord in middle span of bridge

圖6 第1節輕軌車車體豎向加速度時程Fig.6 Time history cure of vertical acceleration of first monorail train’s body

圖7 第1輛汽車車體豎向加速度時程Fig.7 Time history cure of vertical acceleration of first vehicle’s body

圖8 不同節點的豎向加速度最大值隨二恒與主梁自重比值的變化Fig.8 Variations maximum vertical acceleration of different nodes with ratio of second dead load to main beam weight

4 結論

對于大跨度斜拉橋，由于二期恒載在總恒載中所占比例較大，考慮二期恒載質量的影響后，結構的自振頻率將明顯減小。車橋振動計算結果表明：二期恒載質量對橋梁結構的位移響應影響較小，但對其加速度響應影響明顯。隨著二期恒載質量所占比例的增大，橋梁結構的加速度響應開始減小，但超過一定比值后，其加速度響應又可能增大。因此，僅用橋梁自振頻率來分析結構的動力剛度是不全面的。另外，適當的二期恒載質量會減小車橋系統的動力響應。

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