基于柔性動力學的類菱形車轉向性能分析

查云飛 鐘志華 閆曉磊

湖南大學汽車車身先進設計制造國家重點實驗室，長沙，410082

0 引言

在傳統的多剛體動力學分析中，系統的各構件都為剛體，各運動副為剛性連接，無法預測轉向導桿的變形對轉向精度的影響，以及懸架的變形對被動轉向的影響。近年來，柔性多體系統動力學的發展及多體動力學分析軟件的出現，為機械系統動力學分析提供了新的方法和手段。柔性多體系統動力學中，由可變形物體以及剛體所組成的系統在大范圍空間運動的動力學行為、變形運動與剛體運動的同時出現及其耦合是柔性系統動力學的核心特征［1－6］。

類菱形車四個車輪按前后各一個、中間兩個呈類菱形布置，其轉彎半徑小，操縱靈活［7－8］。在相同的軸距和轉角的情況下，其轉彎半徑明顯小于傳統四輪車。類菱形車采用前后聯動的轉向模式，前輪和后輪負責轉向，在轉向的過程中，車架的柔性變形會使車軸出現軸轉向，影響類菱形車的轉向性能。

本文將類菱形車簡化為三點支承的連續梁，分析車架柔性變形導致軸轉向帶來的附加轉角對類菱形車二自由度模型的影響，得到了類菱形車的柔性二自由度模型。通過類菱形車柔性二自由度模型和剛性二自由度模型的對比分析，得出車架的柔性變形對類菱形車的穩定性、靈活性以及車輛對駕駛員操縱指令的執行能力的影響。

1 類菱形車柔性二自由度模型的建立

為方便對車輛運動進行表達和描述，整車操縱穩定性的坐標定義為固定于車輛上的相對坐標系oxyz。坐標原點o為過整車質心且平行于水平面的縱向平行線與質心鉛垂線的交點。車輛前進方向為x軸正向，鉛垂線向上為z軸正向，y軸正向用右手法則給出，即車輛前進方向的左側為y方向。

在建立模型前，首先考慮如下幾點假設［9］：

（1）將類菱形車的三軸簡化為三點支撐的連續梁，每個車軸處對應支撐點，彈性梁在各支座處只有轉動，而沒有位移變化。

（2）本文內容旨在分析車架的變形對類菱形車轉向的影響，為突出重點，簡化分析過程，假設車架的側向變形是由整車在質心處的側向加速度形成的慣性力所產生的，用其靜態變形代替彈性模態。

根據以上假設得到如圖1所示的類菱形車柔性二自由度轉向模型。

圖1 類菱形車柔性二自由度轉向模型

根據圖1可知，二自由度類菱形車受到的外力沿y軸方向的合力與繞質心的力矩和分別為

式中，kf、km、kr分別為前輪、中輪、后輪的側偏剛度，均為負值；αf、αm、αr分別為前輪、中輪、后輪側偏角；δf、δm、δr分別為前輪、中輪、后輪轉向角；lf、lm、lr分別為前輪、中輪、后輪與車輛質心的距離。

考慮到δf、δm、δr值較小，式（1）可寫成

將前輪、中輪、后輪的合成速度與車輛縱軸線的夾角分別用θf、θm、θr表示，則

式中，β為車輛重心側偏角，β＝vy／vx；vfx、vmx、vrx分別為前輪、中輪、后輪速度在x軸上的分量；vfy、vmy、vry分別為前輪、中輪、后輪速度在y軸上的分量；ωR為車輛橫擺角速度。

根據圖1可得前輪、中輪、后輪的側偏角分別為

式中，φf、φm、φr分別為由于車架柔性變形產生的前軸、中軸、后軸的軸轉角。

根據y軸方向力平衡和繞z軸力矩平衡，綜合式（2）～式（4）可得類菱形車柔性二自由度運動微分方程：

式中，m為整車質量；Iz為繞重心z軸的轉動慣量。

整理得

當各個車軸的軸轉向角φf、φm、φr為零時，得到類菱形車剛性二自由度模型：

2 各車軸處車架轉角的計算

這里將類菱形車簡化為具有三點支撐的連續梁，如圖2所示，這是一個超靜定結構，支座處的彎矩和轉角可用三彎矩方程來求解［10］。如圖2所示，設支座A2處的彎矩為M2，根據三彎矩方程有

式中，a、b分別為前軸、后軸到中軸的距離；ay為車軸處的側向加速度。

圖2 三點支撐連續梁

由式（7）可得

知道了支座A2處的彎矩M2，根據材料力學的知識即可求得各車軸處的車架轉角分別為

式中，E為材料的彈性模量；I為截面的慣性矩。

將式（8）和式（9）聯合起來并整理為矩陣形式，可得車軸處的車架轉角φ與側向加速度ay的關系為

式（10）表明類菱形車車軸處的軸轉向角與側向加速度成線性關系。由式（11）可以看出，η只與類菱形車的總質量、軸距分布和車架的結構參數有關，對于某一輛類菱形車來說則為不隨時間變化的常數向量。

3 柔性二自由度模型下的轉向性能分析

3.1 穩態特性分析

將式（10）代入式（5），并知

整理后得到類菱形車柔性二自由度方程為

對于等速圓周行駛的穩態響應，ω·R＝0，v·y＝0，有

取δr＝Nδf（N為后輪與前輪轉角比），繼而能得到穩態橫擺角速度增益（也稱轉向靈敏度）：

對式（6）取ω·R＝0，v·y＝0，δr＝Nδf，得到類菱形車剛性二自由度模型下的轉向靈敏度：

對比Lf和L′可以看出，類菱形車柔性二自由度模型下的當量軸距Lf與剛性二自由度模型下的當量軸距L′相同，這表明車架的柔性變形不會改變類菱形車的車輪縱向距離，這也和假設（1）是相符的。但是柔性二自由度模型下的穩定性因素Kf與剛性二自由度模型下的穩定性因素K相對發生了變化。

3.2 角階躍輸入下的瞬態響應

由式（12）、式（13）可推導出

式（17）寫成如下以橫擺角速度ωR為變量的形式：

式（18）是單自由度一般強迫振動微分方程式，通常寫作

式中，ωf0稱為固有圓頻率；ζf稱為阻尼比。

對式（6）進行同樣的變換，得到類菱形車剛性二自由度模型下的以橫擺角速度ωR為變量的形式：

式（20）是單自由度一般強迫振動微分方程式，通常寫作

式中，ω0稱為固有圓頻率；ζ稱為阻尼比。

對式（19）和式（21）進行求解，并給轉向盤一37°的階躍輸入，得到在30m／s車速下的柔性二自由度模型和剛性二自由度模型下的橫擺角速度時域響應曲線對比圖，如圖3所示。其中車輪側偏剛度的計算方法參照文獻［11］，進行仿真的部分參數見表1。由于實際中，車架的柔性變形產生的軸轉向角度很小，無法在穩態響應曲線和頻率響應曲線上明顯顯示出來，這里對類菱形車繞z軸的慣性矩進行了放大，以得到柔性二自由度模型和剛性二自由度模型下的區別，從理論上分析由于車架的柔性變形給類菱形車瞬態響應帶來的影響。

圖3 橫擺角速度時域響應對比圖

表1 仿真部分參數

從圖3可以看出：柔性二自由度模型下的橫擺角速度同樣收斂于穩態橫擺角速度，但是柔性模型下的穩態橫擺角速度小于剛性模型下的穩態橫擺角速度，這是由于車架的柔性變形造成了轉向輪的側偏角比剛性模型下的要小的緣故；柔性模型下的橫擺角速度收斂的時間比剛性模型下稍長，峰值較凸出，這是由于車架的柔性變形降低了類菱形車的穩定性。

3.3 橫擺角速度頻率響應特性

在汽車的操縱穩定性中，常以轉向輪轉角或轉向盤轉角為輸入，汽車橫擺角速度為輸出的汽車橫擺角速度頻率響應特性來表征汽車的動特性。同樣，對類菱形車的橫擺角速度頻率響應特性進行分析，以了解類菱形車的動特性。

對式（21）進行Fourier變化，并設置初始條件為零，有

這樣橫擺角速度增益的幅頻特性A（ω）和相頻特性Φ（ω）為

而對于柔性二自由度模型下的幅頻特性和相頻特性與剛性二自由度模型不同的是用ωf0代替ω0，ζf代替ζ，Bf1代替B1，Bf0代替B0。

采用3．2節中相同的參數，并設置初始條件為零，得到車輛在30m／s時柔性模型下和剛性模型下的橫擺角速度幅頻特性曲線和相頻特性曲線如圖4所示。

圖4 橫擺角速度頻率響應特性對比曲線

從橫擺角速度頻率特性上評判汽車操縱穩定性的5個參數來看：柔性模型下的頻率為零時的幅值比剛性模型下大；柔性模型下的共振峰頻率比剛性模型下的小；柔性模型下的共振時的增幅比要比剛性模型下的小；f＝0．1Hz時柔性模型下的相位滯后角比剛性模型下的大；f＝0．6Hz時柔性模型下的相位滯后角也比剛性模型下的大。由此可以看出，除了共振時的增幅比柔性模型好于剛性模型外，其他的4個參數都是剛性模型優于柔性模型。幅頻特性反應了駕駛員以不同頻率輸入指令時，汽車執行駕駛員指令失真的程度，而相頻特性反應了汽車橫擺角速度滯后于轉向盤轉角的失真程度。通過上面的分析，表明了在實際的車輛中，由于車架的柔性變形影響了車輛的靈活性，也影響了車輛對駕駛員操縱指令的執行。

4 結束語

通過對類菱形車柔性二自由度轉向模型的分析，建立了類菱形車柔性二自由度動力學模型，模型中考慮了車架的柔性變形產生軸轉向的轉角對整車動力學特性的影響。將類菱形車簡化為三點支承的連續梁，采用三彎矩方程分析了軸轉向的轉角與側向加速度的關系。通過類菱形車柔性二自由度動力學模型與剛性二自由度動力學模型的對比分析，得到了車架的柔性變形影響了類菱形車的穩定性，降低了類菱形車的靈活性以及車輛對駕駛員操縱指令的執行能力。

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