MWEDM表面三維粗糙度的小波評定基準面

張志航，崔海，丁海娟，2，郭黎濱

(1.哈爾濱工程大學 機電工程學院，黑龍江 哈爾濱 150001;2.佳木斯大學 機械工程學院，黑龍江 佳木斯 154007)

隨著精密機械、微機電系統的深入發展和廣泛應用，微細電火花線切割加工(micro wire wlectrical discharge machining，MWEDM)越來越受到人們的重視［1-2］.微細電火花線切割以其較高的加工精度、加工效率和性價比加工微小復雜的三維零件，已經成為微細加工領域重要的加工方法［3］.

由于微機械構件特征尺寸很小，在工作過程中表面粗糙度對其使用性能和工作精度的影響不容忽視［4］.表面微觀形貌的精確測量和合理表征就顯得尤為重要，傳統的二維表征在不同表面形貌特征的識別和表面性能的描述上有很大的不足，三維表征包含表面更為豐富的信息，能夠全面描述表面微觀形貌特征及性能.三維表面粗糙度提取的核心在于確定評定基準［5］.到目前為止，提取基準面的常用方法有多項式擬合法和濾波法.

多項式擬合法對二維曲線較為實用，但不便推廣到三維表面.濾波法理論上可以較準確的提取基準面，工程人員先后提出了數十種不同的濾波方法來分離和提取基準面與粗糙度特征，但都存在不足之處［6］.小波濾波克服了傳統濾波方法的缺陷，可以實現表面的多尺度分析，但最優小波基的選取和小波分解次數的確定一直是表面分析中的難點而沒有得到很好的解決.在實際應用中，這2個問題都由使用者的經驗決定.

本文將小波變換應用于微細電火花線切割加工表面三維粗糙度分析，提出了最優小波基的選擇原則和小波基準面分解次數的確定方法.

1 微細電火花線切割表面三維特征

微細電火花線切割加工時由于運絲機構的振動、電極絲的往復運動、火花放電時的爆炸蝕除與沖擊等，其加工表面微觀形貌是由近似橢球形的凹坑和凸峰組成.如圖1所示.

圖1 微細電火花線切割加工表面微觀三維形貌Fig.1 The 3D surface micro-topography of MWEDM

因此，表面包括粗糙度、表面波紋度、幾何形狀誤差，同時其紋理沒有切削加工的方向性，是近似符合高斯分布的各向同性表面.其中表面波紋度和幾何形狀誤差二者的疊加即為表面三維粗糙度的評定基準面.評定三維粗糙度時，要將其分離.

小波變換能將原始信號分解為不同尺度空間的基本成分組，在不同尺度上分離和提取各種表面元素，基于小波變換將尺度空間上的不同成分分離再極好地重構，具有良好的時頻局域化性能.正交小波具有極好的去相關性，這對微細電火花線切割表面三維粗糙度與基準面的分離相對其他濾波方法有無可比擬的優點.

2 基準面的數學模型及其小波實現

2.1 數學模型

微細電火花線切割表面微觀形貌是表面粗糙度、表面波紋度、幾何形狀誤差和表面紋理等多種成分的總合.作為信號，以上各種成分的頻率特征是不同的，粗糙度屬于高頻信號，相對而言，波紋度、幾何形狀誤差和紋理屬于低頻信號.

記SPM顯微鏡掃描的微細電火花線切割加工表面微觀三維形貌為 f(x，y)，s(x，y)是表面粗糙度，g(x，y)是表面波紋度、幾何形狀誤差的總和，也就是粗糙度評定的基準面.則微細電火花線切割表面三維形貌粗糙度評定的數學模型為

設二維正交小波基 ψ(x，y)，φ(x，y)= φ(x)·φ(y)是相應的二維尺度函數.對于微細電火花線切割加工表面微觀三維形貌 f(x，y)，其逼近圖像Ajf(x，y)的二維 Mallat分解算法［7-8］為

其中:

式(2)、(3)中:

令Cr、Gc分別表示對 αj(l，k)的行與列作低通濾波運算，而 Cr、Gc分別表示對 αj(l，k)的行與列作高通濾波運算，圖像f(x，y)二維Mallat算法分解的矩陣表示可以描述為

則相應的微細電火花線切割表面三維粗糙度s(x，y)為

相應地，其二維Mallat重構算法的矩陣表示滿足:

式中:C*、G*分別為C、G的共軛轉置矩陣.

2.2 小波基的選取

小波濾波克服了傳統濾波方法的缺陷，可以實現表面的多尺度分析，但小波分析的基函數具有不唯一性，同一工程表面用不同的小波基進行分析有時結果相差甚遠［9］.如何選擇小波基波，到目前為止還沒有一個統一的理論標準.在實際應用中，一般是根據信號處理目的不同，經驗性的選取一些小波.對于數字信號常用的正交小波有 Daubechies、coiflets和 symlets小波基［10］.

用小波變換分析微細電火花線切割加工表面時，首先對表面微觀三維形貌在不同尺度上進行多分辨率分解，然后再重構所需要的特征信息.用不同的小波分解同一表面信息時會得到不同的結果，相應的重構出來的表面特征信息也不同.所以用小波重構的特征信號無法作為比較不同小波基對所分析表面信號的優劣依據，微細電火花線切割加工原始表面信號是確定的，如果用不同的小波基在相同的分解次數下重構原始表面信號，其重構效果就能在一定程度上反映出相應的小波基對所分析表面的精確性.

微細電火花線切割加工表面信號是以離散信號形式存在的，在實際應用中，信號的可分辨率是有限的.不可能計算在所有尺度2j(-∞ ＜j＜∞)上的小波變換，分辨率2J應取有限值.把變換限定在一個有限的最大尺度j=J和最小尺度j=0之間，20表示最高分辨率，2J表示最低分辨率.

試驗中，掃描圖像時輪廓上的采樣點數為N=512個.在進行小波變換時，最大理論尺度:

即表面信號最多能分解9次.而當分解到第9次時，只剩下1個數據點，用1個點代替1個表面對處理表面信號已經沒有意義了.故在選擇最優小波基時只進行8次分解再重構表面信號.

采用3種小波對微細電火花線切割表面三維形貌進行8分解再重構原始信號，取重構形貌與原始形貌二范數來判定所選小波基的優劣.表1為對圖1微細電火花線切割表面三維形貌的小波重構誤差.

表1 不同小波基的重構誤差Table 1 Reconstruction error of different wavelet bases

從表1中可以看出用sym5小波基對微細電火花線切割表面三維形貌分解再重構后得到的圖像與原始圖像相比，誤差最小.故選擇sym5小波基作為微細電火花線切割表面的濾波工具.

2.3 確定小波分解次數

微細電火花線切割加工表面主要是由表面粗糙度、表面波紋度和幾何形狀誤差3個頻率成分組成的表面.由于正交小波變化有很好的去相關性，可以通過多次分解把三者很好地區分開來.小波變換具有尺度間呈指數退化的性質，同時小波變換同傅里葉變換一樣是能量守恒的.當分解表面信號的某單一成分(如粗糙度信號)時，隨著分解層數的增加，其幅值逐次變大，反映在能量上就是呈指數增長.

用小波對微細電火花線切割加工表面進行分解，所得N階分量的能量是指該分量系數的平方和.首先用sym5小波對微細電火花線切割加工表面進行8層分解，計算各層分解的高頻部分能量的百分比.通過檢驗各層分解信號的能量變化，來區分不同的頻率成分，如圖2所示.

圖2中對所獲得的微細電火花線切割加工表面進行了8次分解.在無法確定分解次數的情況下，根據上述分析對前4層或前5層分解能量的百分比做指數函數擬合.從圖中可以看出，前6次小波分解的高頻部分能量都較好的符合指數函數分布，當分解到第7層時能量分布出現突變.對前6層分解的能量進行指數函數擬合，擬合函數如下:

這完全符合小波分解的能量守恒規律，說明分解到前6層為止，都屬于單一頻率成分.小波分解時由高頻到低頻依次進行的，在微細電火花線切割表面的頻率成分中，表面粗糙度屬于高頻信號，包括波紋度和幾何形狀誤差的基準面屬于低頻信號.由此可見，對微細電火花線切割表面當分解到第7層時才能得到其小波基準面.

圖2 小波分解階次與分解能量的關系Fig.2 Relationship between wavelet decomposition level and decomposition energy

3 試驗結果

圖3 微細電火花線切割加工實測三維表面Fig.3 The measured 3D surface of MWEDM

圖4微細電火花線切割表面三維粗糙度的小波評定基準面Fig.4 The reference plane by wavelet for 3D roughness evaluation of MWEDM

圖5 微細電火花線切割表面三維粗糙度Fig.5 The 3D surface roughness of MWEDM

根據確定的最優小波基和小波基準面的分解次數對圖3的微細電火花線切割表面進行小波處理，分離出小波基準面和表面三維粗糙度，結果見圖4、5.

按照同樣的方法，對外磨加工表面(圖6)進行小波處理，分離基準面和三維粗糙度，結果見圖7、圖8所示.

由圖4可知，微細電火花線切割加工表面的波紋度主要是由于加工時電板絲往復運動引起的振動和火花放電產生的熱影響而產生的，故其波紋度不太規則.由圖7可以看出，外磨表面的波紋謊要是由機床振動引起的，故其較為規則.

圖6 外磨加工實測三維表面Fig.6 The measured 3D surface of cylindrical grinder

圖7 外磨表面三維粗糙度的小波評定基準面Fig.7 The reference plane by wavelet for 3D roughness evaluation of cylindrical grinder

圖8 外磨表面三維粗糙度Fig.8 The 3D surface roughness of cylindrical grinder

4 結論

采用小波分析方法分離了微細電火花線切割表面評定基準面，得到以下幾點結論:

1)微細電火花線切割加工表面粗糙度、波紋度和幾何形狀誤差之間既相互獨立又高度相關，可以用小波變換的方法進行分離提取;

2)利用小波變換，以小波基重構的精度作為最優小波基的判斷標準，根據小波分析的能量守恒原則，通過分析小波分解被測信號的能量變化能夠準確確定小波分解次數.

3)表面粗糙度分析中最優小波基的選取和分解次數確定的方法可以推廣到機械加工表面.

［1］PHAM D T，DIMOV S S.Micro-EDM—recent developments and research issues［J］.Journal of Materials Processing Technology，2004，49(2):50-57.

［2］DING Haijuan，GUO Libin，CUI Hai.Statistical characteristic and parameter characterization of 3D surface micro-topography on micro-EDM［C］.Proceedings of the IEEE International Conference on Automation and Logistics Shenyang.China 2009，113:1094-1098.

［3］陳慶虎，李柱.表面粗糙度評定的小波基準線［J］.計量學報，1998，19(4):254-257.

CHEN Qinghu，LI Zhu.Wavelet reference line for surface roughness evaluation［J］.Acta Metrological Sinica，1998，19(4):254-257.

［4］DI Shichun，CHU Xuyang，WEI Dongbo，et al.Analysis of kerf width in micro-WEDM ［J］.International Journal of Machine Tools and Manufacture，2009，8:788-792.

［5］陳慶虎，李柱.表面粗糙度提取的小波頻譜法［J］.機械工程學報，1999，35(3):41-54.

CHEN Qinhu，LI Zhu.Wavelet reference line for surface roughness evaluation［J］.Chinese Journal of Mechanical Engineering，1999，35(3):41-54.

［6］李惠芬，蔣向前，李柱.三維表面功能評定技術發展綜述［J］，華中科技大學學報，2002 36(2):8-11.

LI Huifen，JIANG Xiangqian，LI Zhu.Summary of development of 3D surface function evaluation technology［J］.Journal of Huazhong University of Science and Technology，2002 36(2):8-11.

［7］潘泉，張磊，孟晉麗，等.小波濾波方法及其應用［J］.電子與信息學報，2007，29(1):236-242.

PAN Quan，ZHANG Lei，MENG Jinli，et al.Walvelet filtering method and its application［J］.Journal of Electronics and Information Technology，2007，29(1):236-242.

［8］葛哲學，沙威.小波分析理論與MATLAB R2007實現［M］.北京:電子工業出版社，2007:108-112.

GE Zhexue，SHA Wei.Wavelet analysis theory and the realization of MATLAB R2007［M］.Publishing House of E-lectronics Industry，1999，2007:108-112

［9］CHEN Q H，YANG S N，LI Z.Surface roughness evaluation by using wavelets analysis［J］.Precision Engineering 1999，23(3):209-212.

［10］JIANG X Q，BLUNT L，STOUT K J.Application of the lifting wavelet to rough surfaces［J］.Precision Engineering，2001，25(2):83-89.