一類局域共振型聲子晶體梁的帶隙分析

舒海生，張法，余豪華，劉少剛

(哈爾濱工程大學 機電工程學院，黑龍江 哈爾濱 150001)

聲子晶體通過周期性地改變材料參數和(或)結構型式，能夠產生不同中心頻率和帶寬的彈性波禁帶(band gap).根據禁帶形成機理的不同，聲子晶體可以分為兩大類:布拉格散射型［1-3］和局域共振型［4-8］.布拉格散射型聲子晶體的禁帶來源于結構或材料對彈性波的嚴格的周期性調制作用，因此對周期性要求很嚴，并且所產生的禁帶中心頻率較高(幾kHz至上百kHz)，這也極大地限制了其在工程上的應用范圍.局域共振型聲子晶體自從2000年劉正猷教授提出以來，由于它能產生低頻禁帶(幾十Hz至幾百Hz)，可以實現“小尺寸控制大波長”，因而越來越受到研究人員的重視，針對局域共振型聲子晶體的研究也越來越深入.文獻［7，9］針對一維桿、梁、軸和二維聲子晶體板等工程應用較廣泛的結構進行深入研究，并得到了一些有價值的結果.其中對于一維聲子晶體梁的彎曲振動帶隙，分別采用單自由度和雙自由度模型進行分析，得到較為理想的低頻禁帶，并指出該禁帶的起始頻率由局域共振子的橫向振動模式決定，相鄰振子間保持反相關系，而截止頻率則由該振子與基體梁的反相位橫向共振模式決定，相鄰振子間呈現同相關系.

本文針對一類由環氧樹脂為基體，其上安裝硫化橡膠套和鉛套，從而構成的聲子晶體自由梁進行分析，有限元計算結果顯示出了一些不同于以往研究的現象，結合現有的局域共振原理加以分析比較，獲得了一些有意義的結果.

1 聲子晶體梁模型及局域振子固有頻率

所研究的一維三組元梁模型如圖1(a)所示，圖1(b)給出了該聲子晶體梁的單個元胞結構，鉛套通過硫化橡膠套與樹脂梁粘接在一起.分析計算中各參數分別取如下數值:

環氧樹脂:密度1 180 kg/m3，楊氏模量0.435 ×1010Pa，泊松比0.367 9.

硫化橡膠:密度1 300 kg/m3，楊氏模量1×106Pa;泊松比0.470 6.

鉛:密度 11 600 kg/m3，楊氏模量4.08 ×10-10Pa，泊松比0.369 1.

結構參數:r1=5 mm，r2=8 mm，r3=10 mm，h=25 mm，梁長L=75 mm，局域振子位于梁的正中.

圖1 聲子晶體梁結構Fig.1 Structure of phononic crystal beam

依據現有的局域共振型聲子晶體禁帶形成機理［9］，該聲子晶體梁應該存在低頻禁帶，并且第一帶隙的起止頻率應與局域振子的共振模式密切相關.因此，首先對該局域振子的固有頻率和固有振型的進行分析，以便后續分析和討論.

在簡化分析中可將該局域振子視為二自由度彈簧振子模型，振子質量即為鉛套質量，剛度則由硫化橡膠提供.由于該模型關于鉛環質心左右對稱，因而質心橫向振動和繞質心的擺動是解耦的，低頻橫向振動時橡膠環剛度k可按下式計算:

式中:G為剪切彈性模量，H為形狀系數，且有

若將上述的k值和鉛環的質量m代入橫向固有頻率f1的一般計算式中，則有

顯然，由于該固有頻率很高，因此按上式計算已不具有實際意義，橡膠套分布質量將對實際的橫向固有頻率有較大影響，從后面的數值分析不難發現實際的f1遠低于1 624Hz.

擺動固有頻率的計算需要確定鉛套的繞質心的轉動慣量J以及橡膠套提供的擺動剛度K.其中，繞質心的轉動慣量J為

而擺動剛度K的計算可以按如下方法進行，如圖2所示，首先針對每個寬度為du的橡膠環微元，按式(1)和(2)計算其微剛度dk，并忽略二階微量可得

圖2 擺動剛度計算簡圖Fig.2 Calculation diagram for swing stiffness

根據擺動剛度的定義，即

代入相關參數即可得到 K為14.79 N·m/rad.因此，擺動固有頻率f2為

與f1相比，f2的數值是相對準確可信的，一方面由于該頻率值較低，分布質量的波效應還不明顯;另一方面從擺動模式不難看出，距離鉛環質心較遠處的橡膠環微元更多地參與了擺動運動，而距離質心較近的微元參與程度較低，因此總體上能夠影響到擺動頻率的分布質量也遠少于橫向振動模式.為精確計算f1和驗證f2，在有限元分析軟件 Ansys Workbench中進行了單個局域振子的模態分析.分析結果給出了前10階固有頻率如表1所示.

表1 局域振子前10階固有頻率Table 1 The first ten bands of natural frequencies for local oscillator

圖3 局域振子的部分振型Fig.3 Part of the vibration mode of local oscillator

第1階振型為徑向脹縮，第2階為軸向伸縮，第7階以后的振型則為硫化橡膠內部的共振模式，這些振動模式均不能與基體梁中的彎曲波發生耦合，因此不具體分析.第3、4階固有振型是擺動振型(互為正交方向)，頻率在474 Hz附近，與前文理論計算得到的f1是相符的，表明簡化分析對于擺動模式是可行的.第5、6階固有振型為橫向振動，固有頻率在698 Hz附近，遠遠低于按簡化模型計算的f1值，這也表明了簡化分析對于此處的橫向振動是不適用的，橡膠的分布質量影響不可忽略.圖3給出了第3～6階振型，圖3(a)為局域振子的純擺動模態，而圖3(b)為局域振子的純橫向振動模態.

2 聲子晶體梁的振動傳輸特性計算

在三維建模軟件Proe Wildfire4.0中建立自由梁裝配模型，通過 IGES中性文件導入到 Ansys Workbench中進行接觸關系調整和網格劃分，然后進行諧響應分析，橫向位移加載在梁的一端，并在另一端拾取位移響應，最終生成振動傳輸特性曲線.分別針對6周期和10周期的梁模型進行分析計算，生成的頻響曲線如圖4所示.結果表明該梁在0～2 500 Hz存在一個很寬的振動傳輸衰減區，即460～2 220 Hz這個帶隙，衰減十分顯著，其中6周期梁可達-70 dB，而10周期梁可達-90 dB(未計阻尼).此外，在該帶隙中的1 480 Hz附近存在一個較強的共振峰，在該頻率附近的衰減很小.

圖4 聲子晶體梁彎曲振動頻響函數曲線Fig.4 Function curves of bending vibration frequency response for phononic crystal beam

3 帶隙及其振動模式分析

在帶隙的起始頻率460 Hz處，局域振子和基體梁的振動模式如圖5和6所示.

圖5和6表明，帶隙起始頻率處的基體梁基本不動，振動主要局限在局域振子中，符合局域共振型帶隙發生機理.與以往研究［4，9］不同的是，此處振子的振動型式為擺動模式，且該起始頻率與局域振子擺動固有頻率一致.表明除了振子的橫向振動模式可以與基體梁中的彎曲波發生耦合從而產生帶隙［4］之外，該局域振子的擺動模式也能夠與基體梁中的彎曲波發生有效地耦合，進而產生帶隙，并且這種擺動模式與彎曲波的耦合是該帶隙起始頻率的決定因素，可以運用前文所述的計算擺動固有頻率的簡化模型來計算該聲子晶體梁的帶隙起始位置.此外，從局域振子的橫向振動固有頻率與擺動固有頻率對比也不難發現，該局域振子f2的低于f1，因而在擺動模式與梁彎曲波的耦合作用下，帶隙得以首先在附近形成.

圖5 6周期梁帶隙起始頻率處的振動模式(460 Hz)Fig.5 6 cycles of beam vibration gap in start frequency for vibration mode(460 Hz)

圖6 10周期梁帶隙起始頻率處的振動模式(460 Hz)Fig.6 10 cycles of beam vibration gap in start frequency for vibration mode(460 Hz)

在相位關系上，在由振子擺動模式形成的耦合情況下，相鄰振子間不再是簡單的反相關系，而是呈現出一定的隨機性，不具有明顯的規律性，例如6周期梁與10周期梁的相位關系即為完全不同的2種分布類型.不同相位關系能夠產生同一頻率位置的帶隙現象初步表明了局域振子的擺動模式與基體梁彎曲波的耦合可以以不同的相位形式發生，這與橫向振動模式所導致的耦合情況有很大的不同.

在截止頻率處，聲子晶體梁的振動模式如圖7和8所示.局域振子振動較小，振動主要集中在基體梁中.基體梁與振子為反相位橫向振動，但這種橫向振動與以往研究［4，9］在振動型式和相位關系存在明顯不同.振動型式上基體梁主要為彎曲振動，每個元胞內的彎曲情況相同，且在元胞兩端處十分類似于鉸支邊界;相位關系上，相鄰元胞的相位始終保持反相.

根據截止頻率處基體梁和局域振子的耦合振動模式，針對單個元胞建立了兩端中心鉸支的計算模型并進行有限元模態分析，結果表明該元胞在2 197.6 Hz和2 199.5 Hz處存在如圖9 所示的耦合振動模態，該模態振型與聲子晶體梁在截止頻率數值上以及振動形態上是十分相符的，表明所分析的聲子晶體梁的帶隙截止頻率是由梁與振子的反相位橫向彎曲振動模式決定，可以采用兩端中心鉸支的元胞簡化模型計算該截止頻率值.

圖7 6周期梁帶隙截止頻率處的振動模式(2 220 Hz)Fig.7 6 cycles of beam vibration gap in stop frequency for vibration mode(2 220 Hz)

圖8 10周期梁帶隙截止頻率處的振動模式(2 220 Hz)Fig.8 10 cycles of beam vibration gap in stop frequency for vibration mode(2 220 Hz)

圖9 單個元胞兩端中心鉸支時的固有振型(2 197.6 Hz和2 199.5 Hz)Fig.9 Natural vibration mode of the single cell with two ends in central hinging(2 197.6 Hz and 2 199.5 Hz)

4 結論

通過對6周期和10周期聲子晶體梁的帶隙和相應的振動模式的分析可以得出以下結論:

1)該局域共振型聲子晶體梁結構在0～2 500 Hz范圍內存在一個很寬的帶隙460～2 220 Hz，衰減較強，具有較好的彎曲振動寬頻減振性能;但在1 480 Hz附近具有較強的共振峰，減振效果將受到較大影響.

2)帶隙起始頻率由局域振子的擺動模式固有頻率決定;基體梁振動很小，振動局域在振子中;相鄰振子間的相位關系呈現出一定的隨機性，不具有明顯的規律性;局域振子的擺動固有頻率簡化計算模型能夠較準確地計算帶隙的起始頻率.

3)帶隙截止頻率處的振動模式為基體和振子間的反相位橫向彎曲振動，其中振子振動較小而基體振動明顯;相鄰元胞間的振動相位相反;兩端中心鉸支的單個元胞計算模型能夠較準確地計算帶隙的截止頻率.

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