板殼結構加筋布局的仿生脈序生長算法

薛開，李永欣

(哈爾濱工程大學 機電工程學院，黑龍江 哈爾濱 150001)

板殼結構由于輕量化的優勢在航空航天、船舶海洋、汽車民用產品中被廣泛采用，其加強筋的分布優化問題也一直受到國內外學者的重視.傳統的加強筋未經過系統的優化設計，為保守的規則分布，隨著優化設計方法尤其是以材料分布為目標的拓撲優化理論的逐步完善，加強筋的布局優化也得到了快速發展，變密度［1］、均勻化［2］和漸進結構［3］等拓撲優化技術都被應用到了加強筋的布局優化中.此外，一些學者嘗試用智能算法來求解加筋布局問題，Kallassy等［4］用遺傳算法對薄殼的加筋方式進行了進一步的探索，并用神經網絡來描述優化目標.

加強筋的布局設計仍處在發展的階段，用連續拓撲優化理論得到的是結構的加強區域，要轉化為設計方案還需要設計師的處理.此外，離散拓撲優化由于可適用的算法少，應用受限，如果能夠從自然界生物體獲得規律，就可以為加強筋的離散拓撲優化研究提供一種新的思路.丁曉紅等［5-6］基于根系等分枝系統采用自適應生長技術對加筋的布局進行了優化.作為生物體中特殊的分枝系統，植物葉脈與加筋薄板具有明顯的生物相似性［7］，本文探索從葉脈脈序形態規律中提煉結構優化的思想，并將其用于板殼結構的加筋布局優化問題.

1 不規則加強筋的布局優化模型

工程中廣泛應用的加強筋受工藝的限制，多為規則分布(等間距、正交或垂直排列)，目前數字化制造技術的快速發展使不規則布局的筋條成型成為可能.這里對不規則分布的加強筋進行建模，圖1可以表示加強筋從規則到不規則的衍變過程，衍變過程中只改變相對的角度、高度和寬度，仍遵循如下原則:

1)筋條只分布于基板一側;

2)筋條末端不應在內部停止，需與其他筋條或結構外壁連接;

3)筋條的最大寬度不應大于基板的厚度，最大高度不應大于3倍的基板厚度.

圖1 加強筋的分布衍變Fig.1 Rib distribution evolution

本文基于有限單元技術對加強筋進行結構分析和優化，將所有的有限元節點作為可能生成加強筋的點集，每個節點只和其鄰域內的節點建立聯系，如圖2所示.由此得到的加強筋間相對角度θ和筋條長度l都為離散集.基于有限元技術的加強筋分布優化，將不規則分布局限在一個有限離散集中，在一定程度上簡化了加工工藝.

圖2 板梁組合結構的有限元模型Fig.2 FE model of stiffened plate structure

加強筋布局優化的對象是加強筋的分布和筋條的尺寸參數，為拓撲優化和尺寸優化的綜合.這里，取優化參數為節點的有效性γ(γ=1表示節點有效，γ=0表示無效)、筋條的寬度di和高度hi.將節點所組成的點集空間U作為布局優化的優化空間.優化的目標是得到一個順序集合P(P?U)和尺寸的對應離散點集H、P中節點組成的幾何拓撲形式即為加強筋的布局分布.薄板加強筋的布局優化問題可以描述為:在一定的力學性能要求和材料數量的限制下，找到滿足要求的順序集合P和尺寸參數di、hi.那么用最少的材料達到某許用位移的薄殼加強筋的布局優化模型為

2 雙子葉植物葉脈形態規律

植物葉子可以看作分布有加強筋(葉脈)的薄板(葉片)結構，且在不同的環境中具有自適應性(不同生長環境下的葉脈布局略有不同)，是加筋薄板理想的生物模型.與單子葉植物的平行脈序或弧狀脈序不同，雙子葉植物葉脈脈序以等級和閉環為特點.植物葉脈為植株承擔著物質傳輸的功能，從力學角度衡量，植物葉子也具有很明顯的增強作用［8］.

2.1 雙子葉植物葉脈的形態拓撲規律

葉脈的宏觀構型規律:主脈是直徑最粗且最早生長的，一級次脈在主脈兩側分布，二級次脈在一級次脈兩側分布;隨著脈序級數的增加，直徑逐漸減小;脈絡趨向于形成閉環和網狀結構;脈絡之間以適當的角度連接，一級葉脈和主脈之間的角度多為30°～50°，高級脈之間的角度則接近90°，如圖3(a)所示.由于葉脈是特殊的分枝循環系統，滿足廣義Murray法則［9］，更詳細的描述為Bohn等［10］提出的葉脈分岔處的矢量平衡準則，如圖3(b)所示.

圖3 雙子葉植物葉脈的拓撲形態規律Fig.3 Topology regularity of dicotyledonous venation

2.2 雙子葉植物葉脈形態發生的結構力說

對于植物葉脈，尤其是具有等級和閉環的雙子葉植物葉脈的形態形成學說，主要有激素說和結構力說.結構力說是由法國學者Y.Couder等［11］針對雙子葉植物脈序提出的.認為不均勻生長造成的結構力在葉脈的形成初期，尤其是局部高次脈序的閉環形成過程中有重要作用.隨后Laguna、Corson等［12-13］對結構力說進行了完善.結構力說突出了形態發生的力學因素，成功模擬了葉脈閉環的產生，彌補了生長素說只能形成樹狀結構的缺陷.其中，結構力說的主要觀點有:

1)葉片分為表皮和葉肉，由于表皮的生長速度比葉肉慢，導致表皮受拉力而葉肉受壓縮，形成了局部的應力場，葉脈就是在此應力場中形成的.雙子葉植物葉脈的形態形成過程分為分化和重塑2個階段.

2)在分化階段，當葉肉細胞承受的壓縮力超過了某臨界值，就會分化成形成層—葉脈的雛形，且新形成的葉脈與主壓縮力垂直，沿釋放剪應力的方向生長，此時的形成層還是較凌亂的分布在葉肉里.

3)在重塑階段，變形細胞垂直于形成層方向的粘性增大，產生了沿著葉脈方向的切向力，切向力使葉脈細胞微調以滿足矢量平衡方程，切向力F和細胞變形能Γc可以表示為

式中:n是形成層方向脈細胞的個數，di和Sci分別為脈細胞i的寬度和面積，vpi和Ci分別為脈細胞i的粘度和切向系數，Δli為細胞壁的變形量差，Ti是脈細胞的內部腫脹力，Pi為外界均勻壓力.

4)在葉脈形成過程中，由于生物體變形速度遠遠小于力信號的傳播速度，因此在力學層面，局部滿足超靜定原則，也就是說在整個形態發生過程中保證局部彈性變形能為最小，即

由葉脈形態發生的結構力說可以看出，彈性變形能和剪應力在葉脈形態形成中為決定因素.而且剪應力的論述和Mattheck［14］關于樹木纖維的分布結論是一致的，都沿著釋放剪應力的方向延伸.因此，以變形能和剪應力為生長規則的形態力學規律可以指導仿生葉脈脈序的生長.

3 薄板加強件布局的脈序生長算法

3.1 VGA算法的概念定義和理論基礎

脈序生長算法(venation growing algorithm，VGA)，是受自然界植物葉脈脈序結構力說及生物自適應生長觀點的啟發，基于有限元技術用于薄板/殼結構上加強脈布局優化的仿生算法.VGA為等級優化方法，生成的脈絡由應變能決定的主脈和剪應力決定的次脈組成，并用矢量平衡準則進行加強筋幾何尺寸的計算.在算法的實現過程中，采用設計靈敏度來衡量設計參數對性能參數的影響程度.

3.1.1 以應變能靈敏度為基礎的主脈的生長

對于組合結構，結構的變形能由彈性變形能和耦合能組成，表示為

本文板梁組合結構的數學模型采用全離散板梁理論，用板殼單元和梁單元來代表基板和加強筋模型(如圖2所示)，整體剛度矩陣由基板的剛度矩陣和考慮偏心的等效到板單元坐標系的梁單元剛度矩陣組成，即

式中:Kb'為梁單元的等效剛度矩陣，需要考慮偏心的影響.由于全離散模型，因此耦合能量為零.

由于［(δT)'kδ］= δTkδ'，且為常值，單元矩陣 ke為對稱陣，因此應變能對體積靈敏度為

這里，剛度改變量等于離散板梁模型中將梁單元剛度等效到板單元坐標的剛度:

其中:

為具有偏心距e的板梁組合結構的轉換矩陣，e=(δ+h)/2.

單元應變能對于體積的靈敏度集合:

式中:n為生長點集合中節點的個數，取靈敏度最小的點作為下一個主脈生長點.

3.1.2 以剪應力靈敏度為基礎的次脈的生長

本文將一級次脈簡稱為次脈，次脈沿著剪應力的梯度方向ΔQ(x)生長.由于在薄板彎曲中，彎曲應力δx、δy和扭應力τxy為主要應力，橫向剪應力和擠壓應力為次要應力，因此此處的剪應力以扭應力τxy作為參考，取其對橫坐標和縱坐標的靈敏度加權和為剪應力靈敏度:

取剪應力靈敏度最大的點作為下一個生長點.

3.1.3 優化加強筋高度

本文認為加強筋的寬度為一定，只優化其高度.并且由矢量平衡準則可以推得:加強筋不能在中間停止，分岔處需要滿足矢量平衡方程.然后按下式優化截面尺寸:

3.2 VGA算法的實現流程和判定規則解釋

基于有限元技術的VGA算法的實現，可以看作以初始有限元結構分析為輸入變量而進行的多等級的尋優方法.三級尋優的實現過程的流程如圖4所示.

圖4 VGA的實現流程Fig.4 VGA realization flow

值得指出的是，在優化過程中，由于需要計算增加加強脈后的力學參數，因此每次迭代計算都要進行有限元分析.

4 基于VGA的典型薄板結構的加強筋分布優化設計

本文采用文獻［6］關于自適應生長種子選取的結論，種子的位置選在載荷作用處和支撐處，次脈起點則選在主脈集合的剪應力極值處.

4.1 單角簡支薄板加筋分布設計

單角固支薄板模型如圖1所示.其初始幾何參數:l=0.3m，δ=0.000 3m，F=1N，材料的彈性模量E=2×1011MPa，泊松比為 0.3，加筋的初始高度為0.000 5m，種子位于支撐點.得到加強脈的分布形態如圖6所示.可見單角固支、對角加載的薄板模型的加強脈分布結果和植物葉子的分布結果相似.主脈從種子到對角延伸，而次脈從主脈分支到邊界.

圖5 單角固支薄板模型Fig.5 Single-point fixed plate model

圖6 加強脈分布結果Fig.6 Rib layout result

4.2 四邊簡支薄板

四邊簡支薄板的幾何參數和材料參數和上例相同，改變約束形式和載荷作用位置.將板的四邊進行簡支，載荷作用于板中心，如圖7所示.種子的位置位于薄板中心，得到不同迭代過程中加強脈的生長形態結果如圖8所示，最終加強筋使用的材料體積為3.62×10-8m3.將圖8中的最終結果只取主脈作為簡化結果，取相同體積材料，與傳統型式、文獻［3］，文獻［5］進行對比，結果如圖9所示，橫坐標D為書點到板中心的距離.

圖7 四邊簡支薄板模型和分析軌跡Fig.7 Simply supported square plate model

圖8 不同迭代過程中加強脈的生長形態結果Fig.8 Rib growth result in iteration process

由圖8可以看出，隨著生長的進行，加強脈從板中心先以密集回旋，然后逐步生長，延伸至四角，次脈的生長則幾乎與主脈垂直，連接四邊的中點.

由圖9可以看出，沿著2種軌跡得到的結果是基本一致的，3種加筋型式都對基板有不同程度的增強，文獻［3］的加筋型式，比傳統型式略好，但不如文獻［5］和本文優化結果，而本文采用的VGA算法的改善效果是最顯著的.

圖9 優化結果對比Fig.9 Optimization results comparison

5 結論

通過對植物脈序規律的闡述和基于VGA的算例設計，可以得出如下規律:

1)雙子葉植物葉脈，整體具有等級和閉環的特點，局部分岔滿足矢量平衡條件，在形態發生過程中，變形能和剪應力起著重要作用;

2)以有限元理論和離散拓撲優化為基礎，結合雙子葉植物葉脈形態規律的VGA算法，適合薄板加強筋的分布設計;

3)VGA以單元應變能靈敏度和剪應變為準則，進行加強脈的等級優化，得到的加強筋主次分明，適合加工，且增強效果顯著;

4)本算法為自適應生長算法，可以深入探索在結構動力優化方面的用途，并可以探索在復合材料加強纖維的鋪設角度方面的應用.

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