利用場路結合方法分析磁軸承懸浮力

王大朋， 王鳳翔

(沈陽工業大學電氣工程學院，遼寧 沈陽 110870)

0 引言

在高速電機系統中，普通的機械軸承存在著摩擦和磨損，而且需要潤滑系統，由此會帶來使用壽命下降及潤滑油污染等一系列問題。磁軸承是利用電磁力使轉子懸浮在定子中轉動，具有無機械摩擦和磨損、無需潤滑、能耗低、噪聲小、壽命長等優點，特別適合于在高速電機等領域應用［1－2］。

磁軸承一般分為主動磁軸承、被動磁軸承和混合磁軸承三類［3－5］。因為主動磁軸承更容易控制，且應用技術比較成熟，所以目前獲得實際應用的主要是主動式磁軸承。由于磁軸承系統的復雜性，目前對磁軸承的懸浮力分析一般以電路和磁路分析為基礎，忽略磁飽和及漏磁等影響，在工作點附近運行范圍內進行線性化處理，很少采用基于磁路耦合或場路分析結合的方法對懸浮力進行分析［6－11］。

為了能夠更準確地計算磁軸承的懸浮力，本文首先基于磁路分析推導了主動式徑向磁軸承的懸浮力線性化模型。然后利用有限元法分析了磁軸承在不同偏置電流和轉子位移下的懸浮力特性曲線，確定了最佳偏置電流，對其線性化懸浮力模型的位移剛度系數和電流剛度系數進行修正，并建立了超出線性化范圍懸浮力的非線性模型。最后對所建立的磁軸承懸浮力模型進行了實驗驗證。

1 基于電路和磁路分析的徑向磁軸承懸浮力線性化模型

主動式徑向磁軸承類似于一臺電機，定子通常采用8個齒槽，又分為兩種磁路結構，如圖1所示。圖1(b)所示磁路結構可以消除垂直和水平方向懸浮力控制繞組電流磁場的相互影響，有利于懸浮力的解耦控制，是本文所研究的磁軸承結構。

圖1 徑向磁軸承結構Fig.1 Structure of radial magnetic bearing

為了研究的方便，本文對單自由度轉子的受力分析。單自由度(X方向)系統結構如圖2所示。

圖2 單自由度磁軸承示意圖Fig.2 Schematic diagram of magnetic bearing with single degree of freedom

由圖2可看出，當定子左右控制繞組分別通入電流I1和I2后，轉子承受的X方向上的合力為

當不計鐵心磁阻并假設定子與轉子表面之間的氣隙均勻為δ0、磁極面積為S、真空磁導率為μ0、每個磁極線圈匝數為N/2和通電電流為I時，考慮到磁極與垂直方向的夾角α后，轉子在X方向左右受力分別為

當轉子沿X軸的位移為x時，令K=μ0SN2，則

通常懸浮力采用差值控制方式，即左右懸浮力控制繞組一個通以偏置電流ib與控制電流ix之和，而另一個則通以偏置電流ib與控制電流ix之差的電流，因此轉子在X方向上的受力可表示為

考慮到正常懸浮的轉子處于平衡位置附近，此時 xcosα?δ0，則式(6)可以化簡為

因此轉子在X方向上的穩態受力可表示為

其中kxi和kxx分別為電流剛度和轉子偏移剛度，計算公式為

2 基于磁場分析的徑向磁軸承懸浮力特性

上一節推導的是懸浮力的一種近似的線性表達式，本節將采用有限元磁場分析方法，計算不同定子繞組控制電流和不同轉子偏移下的懸浮力特性，以便獲取更為準確的懸浮力模型。所分析的徑向磁軸承系統參數為:定子內徑64.5 mm;定子外徑75 mm;定子齒寬14 mm;轉子外徑64 mm;單邊氣隙長度0.25 mm;軸向長度20 mm;線圈匝數130匝。

為了分析方便，采用單獨改變轉子偏移和控制電流的情況進行分析。在單獨改變轉子偏移位置的分析中，控制電流ix被設置成0，對于每個給定轉子偏移x，改變偏置電流ib(偏置電流變化范圍為1.0～4.5 A)，分別進行磁場分析計算轉子所承受的懸浮力。采用類似的方法，可以計算單獨改變控制電流時的懸浮力。圖3為在不同的偏置電流下，懸浮力與轉子偏移的關系曲線，而圖4則為不同轉子偏移下懸浮力與偏置電流的關系曲線。

在圖3中可以看到當偏置電流ib≥3 A時，懸浮力－轉子偏移曲線變得接近了，隨著偏置電流的進一步加大，在不同位置的懸浮力反而開始降低了，這是由于磁路中的磁飽和引起的。在圖3中也可以看到在偏置電流ib≤3 A的情況下，當轉子位置x≥0.1 mm時，懸浮力－轉子偏移曲線的非線性情況變得明顯了。在圖4中，可以看到當轉子偏移位置ix≥0.125 mm時或偏置電流ib≥2.5 A時，期望的力與偏置電流的平方關系不存在了，這是也是由于磁飽和效果造成的。

圖3 不同偏置電流下懸浮力與轉子偏移的關系(控制電流ix=0)Fig.3 Levitation forces versus rotor displacements for different bias currents(control current ix=0)

圖4 不同轉子偏移下懸浮力與偏置電流的關系(控制電流ix=0)Fig.4 Levitation force versus bias current for different rotor displacements(control current ix=0)

圖5是在固定轉子偏移(x=0)時不同偏置電流下懸浮力與控制電流的關系曲線。在磁軸承的實際應用中為了避免懸浮力的跳變，控制電流一般不超過偏置電流，故圖中對于不同的偏置電流懸浮力曲線具有不同的長度。由圖5可以看出，當偏置電流和控制電流大于2.5 A時，懸浮力與控制電流呈非線性關系。

圖5 不同偏置電流下懸浮力與控制電流ix的關系(轉子偏移x=0)Fig.5 Levitation force versus control current for different bias current(rotor displacement x=0)

綜合以上兩種情況的分析結果，可以選擇磁軸承偏置電流為2.5 A，線性化模型的適用范圍為|x|≤0.1 mm，|ix|≤2.5 A。

3 磁軸承懸浮力線性化模型系數的修正

由于解析法所得到的線性化模型的兩個系數是轉子在平衡點附近的分析結果，同時在解析法的分析中忽略了轉子和定子的磁阻影響。為了提高懸浮力線性化模型的精確度，可以利用磁場分析結果，對于線性化模型表達式(8)中的電流剛度和轉子偏移剛度系數進行修正。

偏置電流 ib=2.5 A，轉子偏移 x不大于0.1 mm，控制電流不大于偏置電流時，由有限元軟件計算所得的懸浮力數據如表1所示，特性曲面如圖6所示。

表1 利用有限元計算所得的懸浮力數據Table 1 The data of levitation force by FEA element

圖6 懸浮力與轉子偏移和控制電流的關系Fig.6 Relationship between levitation force，rotor displacement and control current

在圖6中可以看到懸浮力與轉子位置和控制電流的關系除了在(－2.5 A，－0.1 mm)和(2.5 A，0.1 mm)點附近接近一個平面，可以用線性化模型來表達懸浮力與轉子偏移和控制電流的關系為

因為磁軸承控制器的調節作用，磁軸承一般不工作在(－2.5 A，－0.1 mm)和(2.5 A，0.1 mm)點附近，所以采用表2中灰色部分的數據，利用最小二乘法對式(11)中的轉子偏移和控制電流剛度系數進行估計，估計所用公式為

而由電路和磁路分析得到的線性化模型(8)和式(9)計算結果為

可以看出利用有限元磁場分析得到的結果與利用磁路分析所得到的結果有所不同，顯然采用磁場分析所得到結果具有較好的精確度。

4 磁軸承線性化區外的懸浮力模型分析

在磁軸承正常工作時，一般工作在線性化模型的適用范圍之內，但是在磁軸承起浮或者受到較大擾動力沖擊時，有可能超出正常的線性化模型的范圍，所以有必要對線性化模型適用范圍外的懸浮力進行分析。

利用有限元法對線性化模型適用范圍外的懸浮力進行了分析，計算范圍為:

由于這兩部分超出線性化模型的范圍是關于原點對稱的，本文詳述了對第一部分的分析，用類似的方法即可求出另一部分的非線性模型。對第一部分利用有限元軟件計算得到不同控制電流和偏移位置的懸浮力數據如表2所示，特性曲面如圖7所示。

由圖7可以看出懸浮力與控制電流和轉子位置是非線性關系。利用多項式擬合軟件1stopt，輸入相對應的懸浮力、控制電流和轉子偏移數據，通過快速公式擬合搜索命令，求出磁軸承懸浮力的近似非線性表達式可以表述為

表2 當－0.20 mm≤x≤－0.10 mm時，利用有限元計算所得的非線性部分懸浮力數據Table 2 The data of levitation force in nonlinear region by FEA element when －0.20 mm≤x≤ －0.10 mm

圖7 當－0.20 mm≤x≤－0.10 mm時，懸浮力與偏移位置和控制電流的關系Fig.7 Relationship between levitation force，rotor displacement and control current when－0.20 mm≤x≤ －0.10 mm

對于第一部分，式(12)中系數可以確定如下:

用同樣的方法可以求得第二部分的非線性表達式與式(12)相同，式中系數可以確定如下:

為了驗證所得到的懸浮力計算公式的正確性，對于式(12)計算的懸浮力與由有限元計算所得的懸浮力進行了比較，如圖8所示。可以看出，由擬合多項式計算的懸浮力與由有限元計算的懸浮力相差很小，這表明在磁軸承超出線性工作范圍時，利用擬合多項式來計算磁軸承的懸浮力是可行的。

圖8 非線性區由擬合公式(12)與有限元計算懸浮力的比較Fig.8 Comparison of calculated levitation forces using expression(12)with using FEA

5 磁軸承懸浮力模型的實驗驗證

為驗證由磁場分析所得懸浮力計算模型的準確性，本文利用實驗室的一臺用于高速永磁電機的磁軸承系統，對于由計算模型所得的懸浮力進行了實驗驗證。

因實驗條件所限，只對磁軸承線性化模型適用范圍內的懸浮力進行了測試。首先通過調節PID參數使磁軸承處于穩定的靜態懸浮，將徑向軸承的X方向自由度調整到水平，確保在X方向的自由度不受轉子重力的影響。然后調整傳感器偏置找到電磁中心(在X方向的兩線圈中的電流大小相等都是2.5 A)，測量轉子在中心位置時控制電流與懸浮力的關系。在轉子的一端施加X方向的外力，磁軸承控制系統將調節控制電流使轉子處于電磁中心位置，此時由控制電流產生的電磁力等于所加載的外力。記錄所施加外力轉子處于電磁中心實現穩定懸浮所需要的控制電流。測試結果與計算所得懸浮力的對比如圖9所示。

然后測量控制電流為零時轉子偏移與電磁力的關系。改變位移參考電壓，令轉子偏離中心位置，調節PID參數，使轉子穩定懸浮。在轉子的一端施加X方向的外力，此時磁軸承控制系統會調節控制電流保證轉子位于給定位置，直到控制電流為零，因此由偏置電流產生的電磁力等于所加載的外力。記錄轉子偏移位置和相應的電磁力。實驗結果與計算所得的懸浮力對比如圖10所示。

由圖9和圖10可以看出，與磁路法懸浮力計算模型相比，有限元法推導懸浮力公式計算值與實驗結果更為接近。

圖9 不同控制電流下懸浮力實驗值與計算值的比較Fig.9 Comparison of tested levitation forces with calculated values for different control currents

圖10 不同轉子偏移位置懸浮力實驗值與計算值比較Fig.10 Comparison of tested levitation forces with calculated values for different rotor displacements

6 結語

本文利用場路結合方法分析了徑向磁軸承的懸浮力特性，推導了磁軸承懸浮力的線性化數學模型，確定了線性化模型的適用區域。對于線性化模型不能精確計算的區域，推導了磁軸承懸浮力的非線性數學模型。最后利用實驗部分驗證了所推導數學模型的有效性。研究表明，利用有限元法推導的懸浮力模型比磁路法模型更加準確有效。研究結果能夠為磁軸承控制器的設計及驗證提供參考。

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