工資 薪金所得個人所得稅相關命題的證明與運用

陳詩谷

一、命題的提出

在實際工作中人們常常會有這樣的問題：在支付給員工的工資、薪金所得全年總額不變的情況下，每個月工資應該發放多少才能使全年工資、薪金所得的個人所得稅金額最小。根據個人所得稅法律法規的相關規定，工資、薪金所得個人所得稅的應納稅額應按如下公式計算：

當應納稅所得額大于0時：

應納稅額=應納稅所得額×適用稅率－速算扣除數

=(每月收入額-免稅收入額-法定減除費用額-按規定可扣除的社會保險-按規定可扣除的住房公積金-按規定可扣除的捐贈等其他支出)×適用稅率-速算扣除數

=(每月收入額-按規定可扣除項目金額總和)×適用稅率-速算扣除數

=應納稅所得額×適用稅率-速算扣除數

當應納稅所得額等于0時，應納稅額=0。

注：法定減除費用額指2000元或4800元。我們假設月應納稅所得額為0時其適用稅率為0。月應納稅所得額大于0時其適用稅率指其在表一中對應的最高稅率，如月應納稅所得額為4000元時，其在表一中對應的最高稅率為0.15，故0.15就是應納稅所得額為4000元時的適用稅率，如沒有特別說明，以下適用稅率的含義與此相同。

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由于工資、薪金所得適用超額累進稅率，月應納稅所得額越大，適用的稅率越大，故人們往往會覺得各月的工資發放較為平均時全年所交的個人所得稅會較少，這時各月的應納稅所得額較為平均，其適用稅率亦較為平均，故我們有命題1：在支付給員工的工資、薪金所得全年總額不變的情況下，若各月按規定可扣除項目金額總和是確定的且不發放全年一次性獎金，則當全年各月工資、薪金所得的月應納稅所得額的適用稅率都相等時，全年各月工資、薪金所得的個人所得稅應納稅額之和是最小的。

當我們考慮的時間不是一年而是若干個月時，情況又如何呢？由命題1我們不難有命題2：在支付給員工的m(m為大于0的整數)個月工資、薪金所得總額不變的情況下，若各月按規定可扣除項目金額總和是確定的且不發放全年一次性獎金，則當這m個月工資、薪金所得的各月應納稅所得額的適用稅率都相等時，這m個月工資、薪金所得的個人所得稅應納稅額之和是最小的。

二、命題的證明

命題1是命題2的特殊情形，只要令m=12，引用命題2就可以證明命題1，故只要證明了命題2，就可以證明命題1。

（一）命題2的證明如下：

設i為大于0且小于m+1的整數，第i月的應納稅額、應納稅所得額、收入額以及按規定可扣除項目金額總和分別為ti、yi、si、ai，其中ai是確定的正數。設各月應納稅額、應納稅所得額、收入額、按規定可扣除項目金額總和的m個月之和分別為Tm、Ym、Sm、Am，其中Sm是一大于或等于0的確定正數。由于ai是確定的正數，故Am是一確定的正數。

設當si=sdi時各月應納稅所得額的適用稅率都相等，這時yi=ydi，ti=tdi，Tm=Tdm。設該相等的適用稅率為d，d在表一中對應的速算扣除數為kd。

先用反證法來證明：若Sm、ai是確定的數值則d的值是唯一的。

假設d的值不是唯一的，即d可取兩個或兩個以上的值，取其中兩個不同的值c、e，不妨設0≤c＜e。設當sdi=sci時，ydi=yci，d=c。設當sdi=sei時，ydi=yei，d=e。

由0≤c＜e可知yci≥sci－ai，yei=sei－ai。由表一可知，適用稅率越大，其對應的應納稅所得額越大，故yci＜yei，故sci－ai＜sei－ai，故sci＜sei，故，這與Sm是一確定值矛盾，從而說明d可取兩個或兩個以上的值的假設不成立，也就是說d的值是唯一的，故kd的值亦是唯一的。

當d=0時，ydi=0，故tdi=0，故Tdm=0，由于Tm≥0，故Tdm是Tm的最小值。

由于Sm、Am都是確定的數值且d、kd的值亦是唯一的，故Tdm的值亦是唯一的。

在si-ai≤0的月份，si≤ai，ti=0，故si-sdi≤ai-sdi，因為d＞0，兩邊同乘d有d(si-sdi)≤d(ai-sdi)，即d(si-sdi)≤-dydi，兩邊同加tdi有tdi+d(si-sdi)≤tdi-dydi。由d＞0有kd≥0且tdi=dydi-kd，故tdi-dydi=-kd，故tdi－dydi≤0，故tdi+d(si-sdi)≤0，由于ti=0，故ti≥tdi+d(si-sdi)。

在si-ai＞0的月份，yi=si-ai=sdi-ai＋(si-sdi)=ydi＋(si-sdi)。若si-sdi≥0，因為月應納稅所得額為ydi時的適用稅率為d，所以在此基礎上增加si-sdi的月應納稅所得額時，該增加的月應納稅所得額的適用稅率大于或等于d，故因此而增加的應納稅額大于或等于(si-sdi)d，由于月應納稅所得額為ydi時對應的應納稅額為tdi，故ti≥tdi＋(si-sdi)d。若si－sdi＜0，因為月應納稅所得額為ydi時的適用稅率為d，所以在此基礎上減少(sdi-si)的月應納稅所得額時，該減少的月應納稅所得額的適用稅率小于或等于d，故因此而減少的應納稅額小于或等于(sdi-si)d，由于月應納稅所得額為ydi時對應的應納稅額為tdi，故ti≥tdi-(sdi-si)d，即ti≥tdi＋(si-sdi)d。

故d＞0時有ti≥tdi＋(si-sdi)d，故

綜上所述，d≥0時Tdm是Tm的最小值。又因為d不能小于0，故命題2成立。

除命題2所述情形外，其他情形下這m個月工資、薪金所得的個人所得稅應納稅額之和能否取得最小值呢？由上述證明可知，當所有月份都有ti=tdi＋(si-sdi)d時，Tm=Tdm，即這時Tm的值是最小的。ti=tdi＋(si-sdi)d意味著yi－ydi=si-sdi且yi-ydi的適用稅率為d，這時yi的適用稅率等于d或者d-0.05。所有月份的yi的適用稅率等于d屬于命題2所述情形。當yi的適用稅率為d-0.05且d-0.05＞0時，要使ti=tdi＋(si-sdi)d，則yi必須等于表一中適用稅率為d-0.05時的最大的月應納稅所得額，如d=0.2，則yi的適用稅率等于0.15，yi=5000元；當yi的適用稅率為d-0.05且d-0.05=0時，要使ti=tdi＋(si-sdi)d，則si必等于ai。由上述分析有命題3：在支付給員工的m(m為大于0的整數)個月工資、薪金所得總額不變的情況下，如果各月按規定可扣除項目金額總和是確定的，不發放全年一次性獎金，并且這m個月工資、薪金所得的月應納稅所得額分別適用兩個不同的適用稅率：d1及d2（d1、d2為大于或等于0的正數），d2減d1等于0.05，對于月應納稅所得額的適用稅率為d1的月份增加的任意小的收入ε（ε為正數）元，該等月份因此而增加的應納稅所得額為ε元且其適用稅率為d2，那么d2等于各月的月應納稅所得額的適用稅率都相等時的適用稅率且這m個月工資、薪金所得的個人所得稅應納稅額之和是最小的。

（二）命題3的證明如下：

設月應納稅所得額大于b1（b1為大于或等于0的整數）且小于或等于b2（b2是大于0的整數）時其在表一中對應的適用稅率為d2。設月應納稅所得額的適用稅率為d1的月份有n（n為大于0且小于m的整數）個。設這m個月中第j（j為大于0且小于或等于m的整數）月的月應納稅所得額的適用稅率為d2，設其月應納稅所得額為w，則b1＜w≤b2。

將第j月的工資收入減少(w-b1)/2且將其平均分配到月應納稅所得額的適用稅率為d1的月份，其他月份的工資收入不作變動，故變化前后的工資收入總額不變。

進行上述變化后，第j月的工資收入減少了(w－b1)/2，該月份因此而減少的月應納稅所得額為(w-b1)/2，減少后的月應納稅所得額為w-(w-b1)/2＝(w＋b1)/2，由于b1＜w≤b2，故b1＜(w＋b1)/2≤(b2＋b1)/2＜b2，故減少后的月應納稅所得額的適用稅率仍然為d2，故變化后減少的應納稅額為d2(w-b1)/2。

由b1＜w及n＞0可得(w-b1)/(2n)＞0。因為月應納稅所得額的適用稅率為d1的月份增加任意小的收入ε元時，該等月份因此而增加的應納稅所得額為ε元且其適用稅率為d2，所以進行上述變化后，月應納稅所得額的適用稅率為d1的每一月份的工資收入都增加(w-b1)/(2n)，因此而增加的應納稅所得額為(w-b1)/(2n)且其適用稅率為d2，即變化后該等月份的月應納稅所得額的適用稅率變為d2，該等月份因此而增加的總的應納稅額為nd2(w-b1)/(2n)=d2(w-b1)/2，等于變化后第j月減少的應納稅額，而除第j月及月應納稅所得額的適用稅率為d1的月份外，其他月份的應納稅額沒有變化，故變化后這m個月工資、薪金所得的個人所得稅應納稅額之和和變化前相等。由于月應納稅所得額的適用稅率為d1的月份在上述變化后其月應納稅所得額的適用稅率為d2，故變化后這m個月工資、薪金所得的各月應納稅所得額的適用稅率都相等，由命題2的證明可知，該相等的適用稅率的值是唯一的，故該相等的適用稅率的值為d2，引用命題2可知變化后這m個月工資、薪金所得的個人所得稅應納稅額之和是最小的，故變化前這m個月工資、薪金所得的個人所得稅應納稅額之和亦是最小的，故命題3成立。

三、命題的應用

由于各月應納稅所得額都相等的時候，各月應納稅所得額的適用稅率必相等，故只要求出各月應納稅所得額都相等時的月應納稅所得額，就可以得出各月應納稅所得額的適用稅率都相等時的適用稅率d，運用命題2及命題3就可以確定使m個月工資、薪金所得的個人所得稅應納稅額之和最小的月應納稅所得額的取值范圍。當d＞0時，設月應納稅所得額大于b（1b1為大于或等于0的整數）且小于或等于b（2b2是大于0的整數）時其在表一中對應的適用稅率為d。具體運用步驟如下：

（一）若Sm-Am≤0，則最優工資發放方案為：各月的工資都少于或等于當月按規定可扣除項目金額總和。這時各月工資、薪金所得的個人所得稅應納稅額m個月之和有最小值0。

（二）若Sm-Am＞0，各月應納稅所得額都相等時有Ym，這時各月的月應納稅所得額=Ym/m=(Sm-Am)/m，由表一可確定d、kd、b1及b2，則最優工資發放方案有兩種：（1）每個月的月應納稅所得額都大于b1且小于或等于b2；（2）1個月以上（含1個月）m個月以下（不含m個月）的月應納稅所得額為b1，其余月份的月應納稅所得額都大于b1且小于或等于b2。由命題2的證明可知，這時各月工資、薪金所得的個人所得稅應納稅額m個月之和有最小值(Sm-Am)d-mkd。

（三）將每月的應納稅所得額加上每月按規定可扣除項目金額總和就可以得出每月的工資發放額。

如某人20x9年預計全年工資收入為81600元，每月稅前可扣除的社會保險費為300元，1至6月每月稅前可扣除的公積金為500元，7至12月每月稅前可扣除的公積金為600元，每月都沒有免稅收入及稅前可扣除的捐贈等其他支出，假定每月的法定減除費用額為2000元，則m=12，S12=81600（元），A12=300×12+500×6+600×6+2000×12=34200（元），各月應納稅所得額都相等時的月應納稅所得額=(S12－A12)/12=(81600-34200)/12=3950（元）。由表一可知d=0.15，b1=2000（元），b2=5000（元），kd=125，故最優工資發放方案有兩種：（1）每個月的月應納稅所得額都大于2000元且小于或等于5000元；（2）1個月以上（含1個月）12個月以下（不含12個月）的月應納稅所得額為2000元，其余月份的月應納稅所得額都大于2000元且小于或等于5000元。這時全年各月工資、薪金所得的個人所得稅應納稅額之和的最小值是(81600－34200)×0.15－125×12=5610（元）。將每月的應納稅所得額加上每月按規定可扣除項目金額總和就可以得出每月的工資發放額（具體計算過程略）。