基于產品性能-成本-交貨期的多目標優化配置研究

華爾天，陳 穎，曹魏魏，劉科紅

（浙江工商大學 計算機與信息工程學院，杭州 310018）

0 引言

產品配置設計是一種快速設計方法，通過合理組織已有的設計成果，根據用戶需求選擇零部件迅速組成新產品，縮短產品設計時間和上市周期，提高企業競爭力[1,2]。產品配置的目標就是找出滿足配置約束條件和用戶需求的可行方案[3]，許多學者已對產品配置優化設計進行了深入研究[4～6]。文獻[7]通過分析機械產品生命周期的生產成本和經濟損失，構建多目標產品成本價值與可靠度的關系模型，得到機械產品生命周期的多目標優化設計方案；文獻[8]以阻力墻結構參數為變量，建立模具磨損和成形載荷的Kriging模型，并采用線性加權法將模型轉化為單目標函數，得到優化結果；文獻[9]考慮制品質量均衡性以及生產的成本和效率，建立注塑模流道多目標優化設計數學模型，最終利用細粒度模型獲取能使綜合指標最優的設計方案；文獻[10]采用最優拉丁試驗設計及最小二乘方法構建多目標優化系統的各個目標及約束性能參數的模型，利用NSGA-Ⅱ對多目標優化模型進行優化，得到滿足約束的最優方案。但是上述文獻所考慮的優化目標多為單一靜態的，而在實際中產品配置方案隨客戶的需求側重點不同而動態變化。如何針對客戶對需求的側重點不同而得到最優的產品配置方案，是當前學界和業界關注的重要課題。針對上述問題，本文建立了基于產品優化配置參數的多目標函數優化模型，并對其進行動態求解，得到滿足用戶需求的優化方案。

1 產品優化配置參數

產品優化配置參數主要包括產品性能、產品成本以及產品交貨期。用戶追求的就是產品的最佳性能、最小成本以及最短的交貨期。對于不同的用戶，對這三方面的參數要求權重會各不相同，側重點也會因人而異，使得產品性能、成本及交貨期三個參數的動態變化尤為重要。在產品性能方面通過對用戶的大量問卷調查，調查用戶對產品性能滿意度，由產品綜合性能最優原則選取性能最優的設計方案予以實施；產品成本包括了產品各個部件的固定成本以及除原材料外的固定成本，如設備損耗費、燃油費、工人工資等費用；交貨期要保證及時交貨。

本文以產品性能-成本-交貨期為出發點，結合模糊數學理論，構建以產品性能-成本-交貨期為目標函數的多目標配置優化函數，提出了一種基于多目標差異演化算法的產品配置優化方法對其進行并行優化，得到一系列配置方案的Pareto集以滿足客戶的不同要求。

2 產品優化配置模型

2.1 產品性能的優化配置模型

令產品的性能矢量為P=(P1, P2, , PD)T，Pd為產品的第d個性能，d=1, 2, , D，D為產品性能項總數，對應的權重矢量為WP=(w1, w2, , wd)T。

構建產品性能的關聯度矩陣

其中：ij為滿足第j項性能需求（j=1, 2, , m）的第i個零部件（i=1, 2, , k）的相關度，其量化值可用模糊數學評價理論中的極強相關、強相關、中相關、弱相關或無相關表示，令相對值衡量度分別為：9, 7, 4, 1, 0。

則產品性能的優化模型：

其中：Pz為產品性能的評價指標，其值越高，則產品性能越好；ij為二元決策變量，表示第i個構件在產品配置中是否被選擇，選中時取1，未選中為0；wd為產品性能集的權重量。

2.2 產品成本的優化配置模型

構建產品成本矩陣：

其中：cij為滿足第j項性能需求的第i個構件的成本。

配置的產品總成本要能夠保證小于客戶所能承受的最高價格，則產品成本優化模型為：

其中：Cz為配置產品的總成本；Cs為產品配置的一切固定成本，如設備耗損、維修費等；為企業利潤；Cmax為客戶能承受的最高價格。

2.3 產品交貨期的優化配置模型

構建產品的交貨期矩陣：

其中：tij為選中滿足第j個性能需求的第i個構件對產品交貨期的延遲。

產品配置不僅要滿足客戶需求，還要保證交貨及時，產品交貨期優化函數可以表示為：

其中：Tz為配置產品的交貨期，Tmax為客戶允許的配置產品最大交貨期。

2.4 約束條件的建立

1）配置約束條件

產品配置時，部件之間存在著兩兩互斥或兩兩相容的關系。引入變量Qij表示零件qi與零件qj之間的相容程度，則約束關系表示為：

2）成本約束條件： (1+) Cz≤Cmax

3）交貨期約束條件： Tz≤Tmax

2.5 產品多目標優化配置模型

通過對產品配置優化模型的建模分析可知，上述產品配置優化模型的求解屬于典型的有約束多目標優化問題。結合約束條件，將多目標配置優化模型轉化為如下數學模型：

其中：Pz(X)是效益型目標函數，其值越大越好；Cz(X), Tz(X)是成本型函數，其值越小越好；ga(X)為優化模型的不等式約束；hb(X)為優化模型的等式約束，a和b分別表示不等式約束和等式約束的個數。

根據上述模型，本文的數學模型描述如下：

考慮到傳統的目標函數線性加權法不能保證Pareto的優化解，本文采用基于多目標演化算法對上述配置優化模型進行求解。

3 產品優化配置模型算法

3.1 差異演化算法

差異演化算法（DE）是近幾年新興的一種新的進化算法，是求解Pareto優化解的有效手段，將其引入多目標優化，可在一次優化過程中就產生一組非劣解，使得優化過程直接面向Pareto優化解進行，避免了集成算法的缺點，可直接用于多目標優化問題[11]。差異演化算法中的主要程序包括了生成初始種群、變異操作、交叉操作以及選擇操作。

令xi(g)為第g代的第i個個體，則

3.2 差異演化算法的改進

多目標差異演化算法（MODE）則引入群體中心點，并在差異演化算法的基礎上做一定的改進。

定義第t代群體中心點：

其中：Cp為群體中心點，隨著代數的變化而變化[12]。

3.2.1 變異操作

MODE變異操作定義為：

其中：xbest是從當前種群中隨機取出的，xp1、xp2、xp3是從初始化種群中隨機取出的三個個體。

3.2.2 線性遞增交叉操作

交叉操作定義為：

其中：rand (1, n)為[1, n]之間的隨機整數。Pc為交叉概率，一般都在[0，1]之間選擇，比較好的選擇是0.3左右[13]。通常在交叉操作中Pc的取值在[0.9，1]之間時容易收斂。本文采用線性遞增交叉策略，調整算法的交叉率，加快算法的收斂速度，也盡量避免發生“早熟”現象。

線性遞增交叉率定義為：

其中：PCmin為交叉率的最小值，取值0.1；PCmax為交叉率的最大值，取值0.9；Tmax為最大進化代數，iter當前進化代數。

3.2.3 選擇操作

評價函數在父代個體向量vi(g+1)和子代個體向量xi(g)之間進行比較。

綜上所述，多目標差異演化算法的實施過程如下：

1）設置算法相關控制參數及變量的范圍：N-種群規模、 F-縮放因子、Pc-交叉概率、Tmax-最大迭代代數，終止條件；

2）初始化種群P(0)，t=O；

3）計算種群P(t)中每個個體的適應度,構建外部種群；

4）由式（2）在可行域內進行變異操作；

5）由式（4）表示的線性遞增交叉率，根據公式（3）在可行域內對種群進行交叉操作；

6）按根據公式（5）的方法對父代和子代進行選擇操作；

7）更新外部種群，將前面計算得到的可行域內的個體與外部種群進行合并，合并后對其按快速排序法進行選擇非支配集；

8）判斷是否達到最大進化代數（或達到所要求的收斂精度），若是，則輸出優化解。否則，進化代數加1（t=t+l），返回4），繼續運行。

4 應用實例

以某廠生產的兒童手推車為例，運用MODE對其進行配置優化，最終得到最優設計結果。表1為兒童車推車的參數設計表。

表1 兒童手推車主要設計參數表

對產品的設計參數構建相關度矩陣，根據大量的客戶問卷調查表，利用層次分析法（AHP）得到兒童手推車的性能權重分配關系為 ={0.1392 0.1098 0.098 0.1059 0.0882 0.0775 0.0814 0.0794 0.0735 0.0706 0.0765}

根據表1中兒童手推車的主要設計參數的不同，對其進行組合，共得到81個版本的兒童手推車，根據不同零部件的組成，對制造成本和交貨期進行分析，可以得到不同版本兒童手推車的制造成本和交貨期，如表2所示。

表2 不同組成兒童手推車的成本和交貨期

運用MODE的步驟，以二元決策變量ij為設計變量，以兒童手推車的性能Pz最大，制造成本Cz、交貨期Tz最小為目標函數，在滿足約束條件的前提下進行產品優化配置。基于MODE的特點，令其種群數目為100，最大進化代數為300，縮放因子F選取在（0.1, 0.9）之間的隨機數，交叉概率Pc選取在（0.1, 0.9）之間，并按照進化代數線性遞增。應用Matlab進行產品優化配置仿真的過程與結果，得到目標函數的動態變化曲線。如圖2所示。

圖2 配置方案的Pareto集

客戶可以根據自己對每個目標的重要程度的不同來選擇，從相應的Pareto集中找到這一點的設計變量值，得到客戶所需的產品配置方案。表3為從中選取的3種優化方案。

表3 根據不同客戶需求的兩種配置方案

企業將這三種配置優化方案提供給客戶進行選擇，從產品性能-成本-交貨期的綜合考慮確定最滿意的配置方案。在考慮各種因素后，客戶最終選擇方案2，既能達到產品的性能要求，又使得較少的產品成本和較短的交貨期。

5 結論

傳統的產品配置方案大多都基于知識、約束或經驗來求解，在產品的具體配置過程中沒有過多考慮客戶的需求。本文提出以產品性能、成本及交貨期為目標函數的多目標優化配置數學模型，通過MODE對模型進行求解，得到了一組基于Pareto集的多目標優化配置方案，實現產品設計的動態模式，滿足不同客戶從不同角度對產品的不同要求。通過對兒童手推車實例的分析，證明了該方法的可行性和有效性，為大規模定制個性化產品提供了有效的方法。

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