利用面片法向均值濾波的混合型網格去噪方法

高 偉， 李 政， 康 倩

（天津凱發電氣股份有限公司，天津 300384）

由于設備的準確度不夠高或人為操作的誤差，三維掃描儀獲取的采樣點拓撲重建得到的三角網格曲面難免會含有噪聲，有效地去除這些噪聲是對三角網格進行其它相關數字幾何處理的前提。 去噪的目的就是在有效地去除噪聲使網格曲面更加光滑的同時，保持網格原有的特征，而且不會產生體積的收縮和特征的扭曲等現象。目前已有了好多經典的網格去噪算法，可以根據不同標準對這些算法進行分類。比如，從時間復雜度考慮可以分為線性算法和非線性算法，可以分為迭代算法與非迭代算法。本文粗略地將以前的算法分為三類：各向同性的方法，各向異性的方法，混合型的方法。

各向同性的方法主要是基于 Laplacian算子的方法。標準的 Laplacian方法是將網格的頂點平移到其一環鄰域頂點的重心，這種方法能夠有效地去除噪聲，但是會引起體積的收縮和特征的扭曲[1]。為了克服這些缺點好多學者提出了改進的方法[1-3]。另外，與以往局部的方法不同的是Ji[4]給出一種基于Laplacian算子的全局的保持特征的光順去噪方法。

各向異性的方法，主要分為三種：基于曲率流和網格上偏微分方程(PDE)的方法[5-6]，基于面片法向平滑濾波的方法[7-10]，基于圖像濾波器的方法。基于網格上曲率流和 PDE的方法的基本思想是將網格的去噪認為是網格隨時間演化的過程，通過離散化微分方程逐步迭代得到理想的結果。面片法向平滑濾波的方法先平滑網格上的三角面片的法向量，再調整頂點的位置以逼近平滑后的法向量。另外，圖像處理中的雙邊濾波器[11]和 Wiener濾波器[12]也相應地推廣到了三角網格曲面上。

由于以上各種方法都有一定的使用范圍，具有不同的優缺點。為此，將不同的方法加以整合的混合型去噪方法越來越受到重視，此類方法的目的是對不同方法進行組合，揚長避短，使其具有更好的性質和較強的魯棒性[13-16]。

本文通過對已有的保持特征的面片均值濾波方法[8]的研究發現該種方法雖然具有不錯的效果，但實驗結果表明此方法不能有效地去除網格中含有的大噪聲（圖1 (d)）。為此本文提出了一種改進的混合型去噪方法Mean-Laplace，該方法繼承了面片均值濾波方法保持特征的優點，但避免了其不能有效去除大噪聲的缺點(圖1(c))，具有較強的魯棒性。

圖1 各種去噪方法

本文的第1部分介紹了一些基本概念以及一些與本文相關的方法；第2部分介紹改進的保持特征的Mean-Laplace去噪方法；第3部分中對實驗結果進行了比較和分析；最后在第4部分給出了結論以及以后的研究方向。

1 基本概念

圖2 一環頂點和一環面

網格上的噪聲其實就是頂點偏離其正確位置的偏移量，偏移量的大小一定程度上刻畫了噪聲的大小。因而網格去噪的實質就是將網格上的頂點作一定的平移以盡可能地回到其正確的位置，即對于每一個頂點i有

其中 Vi為頂點i的原來坐標，為頂點i的平移向量，為頂點i平移后的坐標。因此，去噪過程的實質就是求每一頂點的平移量。下面介紹與本文相關的兩種去噪方法。

1.1 Laplacian方法

Laplacian方法[1]中每個頂點i的平移向量等于傘狀算子在該點的作用D( Vi)，其中

NV( i)為頂點i的一環頂點的集合，|NV( i)|為集合NV( i)中元素的個數。Laplacian方法是一種經典的去噪方法，其實是一低通濾波器。該方法能夠有效地去除網格中含有的大小噪聲，但是隨著迭代次數的增加會去除一些網格上高頻的特征，從而產生網格特征的扭曲以及體積的收縮[1]。為此，已提出了好多相應的改進方法[2-4]。

1.2 面片法向均值濾波

面片法向均值濾波[8]就是先將每個三角面片的法向量用其一環面的法向量的加權平均值去更新，再調整頂點的位置去逼近更新后的法向量。此時頂點i的平移向量記為 M ean( Vi)

其中 NF( i)為頂點i的一環面的集合，A( T)為三角面片T的面積，V(T)一個投影向量，計算公式如下

C( T)為三角面片T的重心的坐標, m(T)為面片T的更新后的法向量，法向量的更新公式為

N( T ) 為三角面片T的一環面的集合，n(S)為三角面片S原來的法向量，A( S)為三角面片S的面積。這種方法先平滑網格上的一階信息法向量，再調整頂點的位置去逼近平滑后的法向量，能夠有效地保持網格原有的特征。但是，對于大噪聲網格，這種方法會將噪聲當作特征而保留下來，會產生去噪不徹底的效果，不能有效地去除大噪聲。

2 改進的Mean-Laplace方法

1.2節中介紹的面片法向均值濾波的方法對含有一定特征但是特征不很豐富的網格進行去噪有很好的效果[8]，但是通過實驗發現該方法不能夠有效地去除網格上的大噪聲。原因是該方法不能區分噪聲頂點和一般頂點，從而將噪聲當作特征保持下來，產生了去噪不徹底的問題。借鑒以前學者區分噪聲和特征的思想[13,15]，本文根據頂點的一環正常邊的二面角的平均值將頂點分為噪聲頂點和一般頂點，把平均值小于一定閾值的頂點認為噪聲頂點，其余點為一般頂點。噪聲頂點的平移向量為 Laplacian的平移向量，一般頂點的平移向量為面片法向均值濾波方法中的平移向量。該方法是迭代方法, 需要一個二面角閾值的參數θ，每一次迭代具體步驟如下：

第一步 計算頂點i的一環正常邊的平均二面角iθ

第二步 根據θi決定頂點i的平移向量

D( Vi) ， M ean( Vi) 如式(2)、式(3)所示。

第三步 更新每一個頂點位置，公式如下

3 實驗結果與分析

為了驗證Mean-Laplace方法的有效性，采用向無噪聲網格中加入噪聲，然后進行去噪，再與原網格比較的方法。由于現實中噪聲可以認為服從高斯分布，本文中加入的噪聲均服從均值為零的高斯分布，而方差的大小在一定程度上衡量了噪聲的大小。可認為，方差低于網格平均邊長的50%的噪聲稱為小噪聲，介于 50%與 100%之間的為大噪聲，大于100%的則為超大噪聲。

首先，驗證本文的方法對大小噪聲的有效性， 采用向同一網格添加不同方差的噪聲，然后去噪進行比較的方法。由圖3和圖1發現隨著噪聲的不斷增大，面片均值濾波方法不能有效地去除大噪聲。然而，本文提出的 Mean-Laplace方法對于大小噪聲網格均有較好的去噪效果。從中可以看出 Mean-Laplace方法是對面片均值濾波的一種很好的改進，對于小噪聲它們的去噪效果幾乎沒有差別，但對于大噪聲，本文的方法具有明顯的優越性。在實驗中，二面角閾值一般取在120o左右，當然，如果想進一步保持特征，則閾值應要小些，一般為90o左右。相反，如果想得到較光滑的效果，取值在150o左右效果不錯。兩種極端情況，如閾值為0則本方法退化為面片均值濾波，若閾值為180o則退化為Laplacian方法。

圖3 不同程度噪聲的去噪結果比較，從上到下依次為噪聲網格，本文方法去噪結果，面片均值濾波結果

其次，為了進一步分析實驗結果。作者分析了去噪后的網格的體積[2]和所有三角面片的面積和相對于原來無噪聲網格的百分比。另外，引入了以下的距離誤差與法向誤差來衡量去噪后網格相對與原來無噪聲網格的變化的大小，誤差越小一定意義上表明去噪效果越好[8,15]。設原來無噪聲網格為 M ={ V, E, F}，去噪后網格為M ′ ={ V ′, E ′, F ′}，距離誤差εv與法向誤差εn分別為

表1分析了圖1、圖3中向小豬網格中加入不同程度噪聲，進行去噪后的誤差分析，從中可以看出本文的方法是對面片法向均值濾波去噪方法的一種有效的改進。

表1 圖1圖3中加入不同程度噪聲，進行去噪后的誤差分析

最后，通過去除一個由重建得到的含有噪聲的網格說明本文提出的方法有不錯的效果。圖4是用不同方法對一重建得到網格的去噪結果，從中可以看出本文的方法去噪比較有效，并且能夠保持網格的特征。

圖4 用不同方法對一重建得到網格的去噪結果

4 結 論

鑒于面片法向均值濾波方法不能有效去除網格上大噪聲的缺點，本文提出了一種基于頂點分類的改進的混合型去噪方法。理論和實驗表明，本文提出的方法不僅克服了面片法向均值濾波方法不能去除大噪聲的缺點，而且繼承了其保持網格特征的優點。本文提出的方法具有較強的魯棒性，對含有一定特征但是特征不是很豐富的網格的去噪有很好的效果。但是，此方法中二面角閾值的選取不夠自適應，希望下一步能夠給出一種自適應的方法。并且，本方法不能保持網格尖銳的特征，這也是以后要努力解決的問題。

[1]Taubin G. A signal processing approach to fair surface design [C]//SIGGRAPH 1995, 1995: 351-358.

[2]Desbrun M, Meyer M, Schroder P, et al. Implicit fairing of irregular meshes using diffusion and curvature flow [C]//SIGGRAPH 99, 1999: 317-324.

[3]Liu X G, Bao H J, Shum H Y, et al. A novel volume constrained smoothing method for meshes [J].Graphics Models, 2002, 64(3-4): 169-182.

[4]Ji Z P, Liu L G, Wang G J. A global laplacian smoothing approach with feature preservation [C]//Ninth International Conference on Computer Aided Design and Computer Graphics (CAD/CG 2005),2005: 269-274.

[5]Meyer M, Desbrun M, Schroder P, et al. Discrete differential geometry operators for triangulated 2-manifolds [C]//Proceedings of Visualization and Mathematics, 2002: 35-57.

[6]Zhang Y, Ben Hamza A. Vertex-based diffusion for 3-D mesh denoising [J]. IEEE Transactions on Image Processing, 2007, 16(4): 1036-1045.

[7]Taubin G. Linear anisotropic mesh filters [R]. IBM Research Technical Report RC-22213, 2001.

[8]Yagou H, Ohtake Y, Belyaev A. Mesh smoothing via mean and median filtering applied to face normals [C]//Proc. Geometric Modeling and Processing, 2002:124-131.

[9]Yagou H, Belyaev A, Wei D. Mesh median filter for smoothing 3-D polygonal surface [C]//Cyber Worlds 2002, Tokyo, Japan, 2002: 6-8.

[10]Sun X F, Paul L Rosin, Ralph R Martin, et al. Random walks for feature-preserving mesh denoising [J].Computer Aided Geometric Design, 2008, 25(7):437-456.

[11]Fleishman S, Drori I, Cohen-Or D. Bilateral mesh denoising [C]//Proc. ACM SIGGRAPH 2003, 2003:950-953.

[12]Alexa M. Wiener filtering of meshes [C]//Proceedings of Shape Modeling International, 2002: 51-57.

[13]胡國飛, 彭生群. 基于頂點預測的特征保持網格光順算法[J]. 浙江大學學報(工學版), 2004, 38(12):1535-1539.

[14]Shen J, Maxim B, Akingbehin K. Accurate correction of surface noises of polygonal meshes [J]. Int. J.Numer. Meth. Engng, 2005, 64: 1678-1698.

[15]楊長春, 倪彤光. 一種高效的混合曲面光順算法[J].計算機應用, 2005, 25(11): 2609-2611.

[16]Chen C Y, Cheng K Y. A direction-oriented sharpness dependent filter for 3D polygon meshes [J].Computers & Graphics, 2008, 32: 129-140.