基于粒子群優化算法下的灰色系統船閘貨運量預測＊

楊 星 王婭娜

（江蘇省水利科學研究院 南京 210017）1） （河海大學交通與海洋學院 南京 210098）2）

0 引 言

航道貨運量預測是制定有關政策、編制運輸發展規劃和運輸企業經營決策、日常管理的依據［1］，也是進行航運規劃，確定各樞紐的通航建筑物規模最直接和最重要的基礎性工作.目前常用的某些預測方法（回歸分析、神經網絡法［2－5］、移動平均法、指數平滑法等），若樣本較小，常造成較大誤差 ，使預測目標失效.若樣本較大，則計算復雜，不易應用.灰色系統理論是研究解決灰色系統分析、建模、預測、決策和控制的理論.灰色預測的模型所需建模信息少，運算方便，建模的精度高，在各種預測領域都有著廣泛的應用［6－7］.近年來，在交通流量的預測中，應用灰色理論獲得了較好的效果［8］.但在內河運量的預測卻是從2000年開始才陸續有學者進行研究［9－10］，這些研究主要集中在中短期預測領域，對于長期預測尚有待于時間的檢驗和進一步的探討論證.

本文通過粒子優化算法可以避免矩陣運算，降低運算難度.文章最后通過與實測結果的對比分析與驗證，分析研究基于粒子優化算法灰色系統模型預測船閘貨運量時的精度，并比較了基于粒子優化算法和基于最小二乘法灰色系統預測法的預測精度.

1 基于粒子群優化算法下的灰色預測模型GM （1，1）的建立

1.1 模型的建立

GM（1，1）表示一階的、具有兩個參數變量（a，b）的微分方程模型，具體形式如下.

設有數列x（0）共有n個觀測值，表示為

對x（0）做一階累加，生成新的序列x（1）

令z（1）為x（1）的均值序列

則GM（1，1）的灰微分方程模型為

以k＝2，3，…，n代入式（5），有

對上述離散方程組，用隨機粒子群優化算法求解，可得P＝（a，b）T.把所求得的系數P＝（a，b）T代入到式（5），然后求解微分方程，得到GM（1，1）預測模型為

以上所述的即是GM（1，1）的建模過程，也是建立船閘貨運量灰色預測模型的基礎.

1.2 粒子群優化算法（PSO）

粒子群優化算法由Kennedy和Eberhart在1995年提出，該算法模擬鳥集群飛行覓食的行為.設想一群鳥在隨機搜尋食物，這個區域里只有一塊食物，所有的鳥都不知道食物在哪里，但他們知道目前距離食物還有多遠，那么找到食物的最簡單的方法就是找尋距離食物最近的鳥的周圍區域，及根據自身飛行經驗判斷食物的所在.每個尋優的問題解都被想像成一只鳥或者稱為粒子.所有的粒子都有一個目標函數以判斷該粒子目前位置的好壞，每一個粒子必須具有記憶性，能記得所搜尋到的最佳位置.每一個粒子還有一個速度以決定飛行的距離和方向.

粒子群優化算法流程如下：（1）初始化.將族群做初始化，以隨機的方式求出每一個粒子（鳥）的初始位置與速度；（2）評估.依據目標函數計算出其目標值以作為判斷每一個粒子所處位置的好壞；（3）查找個體極值.找出每一個粒子到目前為止搜尋過程中的最佳解，這個最佳解稱為個體極值；（4）查找全局極值.找出所有粒子到目前為止所搜尋到的整體最佳解，這個最佳解稱為全局極值；（5）更新粒子速度和位置.假設搜索空間為D維，粒子群中第i個粒子的2個狀態量——位置和速度分別用xi＝（xi1，xi2，…，xiD）和vi＝（vi1，vi2，…，viD）表示，該粒子迄今為止搜索到的最好位置（即歷史最優值）記為pi＝（pi1，pi2，…，piD），所有粒子迄今為止搜索到的最好位置記為pg＝（pg1，pg2，…，pgD）.那么該粒子的速度和位置更新等式（第d維）可表示為

式中：Vid為每一個粒子在第d維的速度；i為粒子的編號，粒子數一般取50，對于比較難的問題或者特定類別的問題，粒子數可以取超過100的數；d為維度；ω為慣性權重，常數，用來控制粒子的歷史速度對當前速度的影響程度，一個較大的ω值能加速粒子搜索新的區域，因此，選取適當的ω值能平衡PSO算法的全局和局部搜索能力，從而得到更好的解.本文取為0.8；c1，c2為學習常數，本文取2；rand（）表示在范圍［0，1］內取值的隨機函數；Pid為每一個粒子到目前為止，所出現的最佳位置；Pgd為所有粒子到目前為止，所出現的最佳位置；Vmax和Vmin是常數，決定粒子在一個循環中最大的速度，人為設定.式（8）中第1部分為粒子先前的速度，它使粒子有在搜索空間中擴張的趨勢，從而使算法具有全局搜索的能力；第2部分為“認知”部分，表示粒子吸取自身經驗知識的過程；第3部分為“社會”部分，表示粒子學習其他粒子經驗的過程，表現了粒子間信息的共享與社會協作.

1.3 粒子群優化算法求解灰色系統預測模型參數變量a，b

參照式（6），取船閘貨運量問題的目標函數為

式中：F表示為

具體計算步驟如下.

1）初始化粒子群 由于式（9）中只存在2個變量（a，b），搜索空間為2維.取粒子數＝50，c1＝2，c2＝2，ω＝0.8，最大迭代數＝1 000.

2）假設a的取值范圍為［a1，a2］，b的取值范圍為［b1，b2］，則第一維和第二維50個粒子初始位置可以分別設置為

式中：a和b的取值范圍可以先取大，先在一個較大的范圍內進行搜索，然后根據結果逐步縮小搜索范圍，直到最優解滿足要求為止.

3）第一維和第二維50個粒子的初始速度可以分別設置為

式中：vmax1和vmin1為第一維的速度最大和最小值；vmax2和vmin2為第二維的速度最大和最小值.

4）用目標函數評價所有粒子.

5）將初始評價值作為個體歷史最優解Pid，并尋找群體內最優解Pgd.

重復執行以上步驟，直到滿足終止條件或達到最大迭代次數，其中注意事項包括：（1）對每一個粒子，按式（8）計算［xi1，xi2］和［vi1，vi2］.當xid，vid超過其范圍時，按邊界取值；（2）用式（9）評價所有粒子，評價值為minF；（3）若某個粒子的當前評價值優于其歷史最優評價值，則記當前評價值為該歷史最優評價值，同時記當前位置為該粒子歷史最優位置，更新Pid；（4）尋找當前群體內最優解，若優于歷史最優解，則更新Pgd.

最終計算結果為

式中：Δf用于估計計算誤差，數值越小時計算結果越優.

2 GM （1，1）模型船閘貨運量預測

建模數據采用1996～2005年淮陰船閘的貨物運輸量（見表1），該數據為原始數據序列.

表1 淮陰船閘近年貨物運輸量 萬t

按照GM （1，1）建模機理，首先對x（0）做一次累加生成計算得（i＝1，2，3…）：

然后根據式（4）計算得（i＝2，3…）：

粒子群優化算法求解a＝－0.102 471 368 29，b＝2 552.303 797 468 35.另外，參照文獻［15］中的最小二乘法計算得出a＝－0.101 513 575 46，b＝2 627.581 978 163 14.分別代入GM（1，1）模型，則船閘貨運量預測模型為

累減還原得到

應用該模型對1996～2005年淮陰船閘貨運量進行計算，并進行模型精度的比較（見表2）.比較結果粒子群優化法平均相對誤差為3.81%，最小二乘法平均相對誤差為3.79%，兩者均小于10%，預測模型精度較好.

表2 1996～2005年淮陰船閘貨運量模型預測值及誤差值

最小二乘法需要求解矩陣（一般為奇異矩陣），其求解過程煩瑣且不易獲得近似解，所以本文進行了一些改進，用粒子群算法代替最小二乘法進行參數計算.兩者求解數據的本質都一樣，都是尋求經驗公式并使其最大限度的擬合到觀測數據，其結果也是相近的.最小二乘法出現較早，粒子群算法出現較晚.如果把最小二乘法看做是一種理論解，粒子群算法則更像是數值解，所以后者適應面更廣，不需要煩瑣的矩陣運算，所以算法上優于最小二乘法.

應用基于粒子群優化算法的灰色系統船閘貨物運輸量模型，進行遠景預測（見表3）.

表3 2006～2010年淮陰船閘貨物運輸量預測值

3 結 論

1）相對于其他傳統的預測方法，灰色GM（1，1）模型法由于具有所需數據少、計算量小的優點.

2）基于粒子優化算法建立的船閘貨運量灰色預測模型，方法簡便易行，結果合理可信，預測精度較高，在算法上優于基于最小二乘算法建立的船閘貨運量灰色預測模型.

3）灰色預測法在中短期預測（n≤5）上具有優勢，應用于船閘貨運量的長期預測，尚有待于時間的檢驗和進一步的探討論證.

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