應用 GM(1，1)模型預測城市中長期用水量

王 偉 廖正福

用水量預測是城市在進行水工程規劃時的一項重要任務，關系著城市水資源的長遠規劃與管理。城市用水量由于受居民生活、工業產值、水的重復利用率、節水技術以及用水價格等多種因素的影響，變化比較復雜，表現為隨機波動性大，缺乏規律性，這給城市未來用水量預測帶來了極大的困難，傳統的指標預測法已很難做出準確的預測。本文應用灰色GM(1，1)模型對城市用水量進行預測，避免了討論城市用水系統內部以及外部的各種復雜因素對用水量的影響，而只需要對已知的城市用水量序列進行分析，從中挖掘有價值的信息，對離散的用水量數據建立微分方程的動態模型，從而進一步獲得變量的時間響應函數［1］，實現對城市未來用水量的合理預測和有效控制，為城市未來規劃用水量的準確確定提供了一種切實可行的有效方法。

1 灰色GM(1，1)模型的建立

灰色預測具有要求原始數據少(不少于4個即可)、不考慮分布規律、不考慮變化趨勢、運算方便、易于檢驗等優點［2］，因此得到了廣泛的應用。其中GM(1，1)模型是最常用的一種灰色預測模型，它是由一個只包含單變量的一階微分方程構成的模型［3］，是作為需水量預測的一種有效模型，建立GM(1，1)模型只需要一個歷史用水量序列q(0)，建立過程及求解方法如下:

1)設歷史用水量數列為:

2)可行性檢驗。對給定的歷史用水量序列 q(0)建立灰色GM(1，1)模型的可行性進行判斷，判斷的準則為:用來建模的原始序列q(0)的級比σ(0)(k)，如果滿足那么可以認為原始序列q(0)可以用來建立GM(1，1)預測模型。其中級比σ(0)(k)的計算公式為:

3)對歷史用水量數列q(0)進行一次累加(1-AGO)生成一次累加數列:

4)對一次累加數列q(1)建立以下形式的一階微分方程:

其中，

6)式(1)是關于變量q的一階微分方程模型，其解即為一次累加數列q(1)的預測值:

再經一次累減逆運算就可以得到原始數列q(0)的預測值:

式(2)，式(3)就是灰色GM(1，1)模型的時間響應函數，也就是灰色模型GM(1，1)預測序列的計算公式。

2 模型精度檢驗

通常采用后驗差方法對灰色模型的預測精度進行檢驗，后驗差檢驗是基于實際值與模型預測值之間的統計情況進行檢驗的一種方法，它是以殘差為基礎，根據各期殘差絕對值的大小，考察殘差較小的點出現的概率以及與預測誤差方差有關指標的大?。?］。其檢驗的具體步驟和評價方法分別介紹如下。

2.1 后驗差檢驗步驟

設歷史用水量序列為:q(0)={q(0)(1)，q(0)(2)，q(0)(3)，…，q(0)(n)}。其預測值序列為:∧q={∧q(0)(1)，∧q(0)(2)，∧q(0)(3)，…，∧q(0)(n)}。

記k時刻的殘差為:e(k)=q(0)(k)－∧q(0)(k)，k=1，2，3，…，n。

分別求出歷史用水量序列q(0)，殘差e(k)的平均值:

2，3，…，n。最后求出后驗差檢驗的兩個重要的數據，即后驗差比值C，小誤差概率P:

2.2 后驗差檢驗評價方法

按C和P兩個指標可以綜合評定預測模型的精度，預測精度等級如表1所示。指標C越小越好，C越小表明盡管歷史數據很離散，但是模型所得的預測值與實際值之差并不太離散;指標P也是越大越好，P越大表明殘差與殘差平均值之差小于0.674 5S1給定值的點較多，也就是說預測誤差較小的概率大，預測精度高。

表1 預測模型精度等級表

3 應用實例

表2是某市2000年～2007年的歷年用水量數據，以此數據作為該市用水量的原始序列，依據上述闡述的灰色系統建模理論建立 GM(1，1)模型。

原始數據系列為:

經可行性檢驗知，原始數據序列可以用來建立GM(1，1)模型。利用 Matlab［4］軟件計算得到的模型參數為:a= －0.018 7，u=0.371 7，所建立的灰色GM(1，1)模型的預測序列的計算式為:

利用上式對該市2000年～2007年用水量進行計算，實際用水量的值與模型擬合值列于表3。

表2 某市2000年～2007年總用水量統計表

表3 實際用水量值和模型擬合值對比表

對上述模型進行后驗差檢驗，其結果為:C=0.32＜0.35，P=1。查預測模型精度等級表知，模型等級為一級，故可以用此模型對該市未來的工業用水量做出預測。利用上述模型對該市2015年和2020年的用水量作出預測，預測值分別為0.496 4億 t、0.548 7 億 t。

4 結語

本文根據灰色系統理論，建立了灰色GM(1，1)模型，并將其應用到某市的用水量預測中，經檢驗，模型的預測精度都達到了97%以上，模型的預測擬合結果令人滿意，預測結果更加符合當地的實際情況，對該市未來水資源的規劃管理具有重要的指導意義。

［1］ 鄧聚龍.灰理論基礎［M］.武漢:華中科技大學出版社，2002.

［2］ 張雅君，劉全勝.需水量預測方法的評析與擇優［J］.中國給水排水，2001，17(7):27-29.

［3］ 鄧聚龍.灰色預測與決策［M］.武漢:華中理工學院出版社，1985.

［4］ 何仁斌.MATLAB 6工程計算及應用［Z］.2001.