灰色理論在圍巖變形預(yù)測中的應(yīng)用

解志剛 許海東

1 概述

在預(yù)測分析中，最基本的是線性回歸預(yù)測，但是在實際工程應(yīng)用中，我們的數(shù)據(jù)是非線性的、離散狀態(tài)的，隧道圍巖的變形就是一個由復(fù)雜因素所決定的非線性的變形，對于隧道圍巖變形的預(yù)測中線性預(yù)測辦法是不可取的，我們可以應(yīng)用灰色理論對圍巖的變形進行預(yù)測。灰色理論，又稱灰色系統(tǒng)，是指既有已知信息，又包含未知信息的系統(tǒng);是研究分析、建模、預(yù)測、決策、控制的理論。該理論自20世紀(jì)80年代創(chuàng)立以來，已經(jīng)在社會科學(xué)和自然科學(xué)的許多領(lǐng)域得到了應(yīng)用。巖石力學(xué)中的一些問題，例如上述圍巖變形，具有灰色系統(tǒng)的特點，灰色理論能很好的應(yīng)用于上述問題。以下將討論利用灰色理論進行圍巖變形的預(yù)測。

2 灰色理論的GM(1，1)模型

圍巖變形的測量結(jié)果，是一個時間序列數(shù)據(jù)，通過建立灰色理論模型，來預(yù)測未來圍巖變形，以便為工程的設(shè)計和施工提供有關(guān)的圍巖動態(tài)信息。首先討論GM(1，1)模型問題。

2.1 建立 GM(1，1)模型

假定在時間序列 t1，t2，…，tn，量測的圍巖變形為數(shù)列 x1，x2，…，xn，記為:

此為原始數(shù)據(jù)，為了弱化原始數(shù)據(jù)的隨機性，對原始數(shù)據(jù)做累加，也就是它的1-AGO，得到數(shù)列:

由原始數(shù)據(jù)(1)和累加數(shù)據(jù)(2)可以分別得到向量Y和矩陣B:

對于GM(1，1)模型，相應(yīng)的白化微分方程為:

該微分方程的解為:

其中，a，b均為待定系數(shù)，一般記為 A=［a，b］T。

對于微分方程(5)，其待定系數(shù)A=［a，b］T的最小二乘法解為:

將原始數(shù)據(jù)x(0)(i)和累加數(shù)據(jù)x(1)(i)代入式(7)中，可以得到a，b值。我們可以通過式(6)進行預(yù)測。

2.2 GM(1，1)模型的精度

以上我們介紹了灰色理論模型的建立方法，下面我們要根據(jù)解式(6)計算殘差:

得到殘差向量和相對誤差分別為:

設(shè)原始數(shù)據(jù)的方差及殘差向量的方差分別為s21和s22，則:

方差比值Q為:

小誤差概率為:

模型的精度由Q和P來控制和表述，一般將其分成四級，見表1。通過計算所得P值或Q值來劃分等級，評價預(yù)測精度的好壞。

表1 預(yù)測精度等級劃分

2.3 基于灰色預(yù)測的等維灰數(shù)替補迭代

為了進一步提高模型預(yù)測的精度，在灰色模型的基礎(chǔ)上還可以做進一步的改進，使得預(yù)測結(jié)果更加準(zhǔn)確。GM(1，1)模型具有預(yù)測意義的數(shù)據(jù)僅僅是x(0)(i)以后的前幾位數(shù)或者∧x(0)(i)數(shù)列的前幾位數(shù)，隨著時間的推移，舊的數(shù)據(jù)越來越不適應(yīng)新的情況，所以，要在原數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上每次增加一個新信息時，就去掉一個舊信息。這種新數(shù)據(jù)補充、舊數(shù)據(jù)除掉的數(shù)列，由于維數(shù)沒有變，因而叫等維灰數(shù)數(shù)列或者叫新陳代謝數(shù)列。利用新的數(shù)列重新建立GM(1，1)模型，對下一個新數(shù)據(jù)進行預(yù)測，預(yù)測完畢后，再次生成新的數(shù)列。這樣就類似于迭代原理，我們可以通過數(shù)值計算來實現(xiàn)GM(1，1)模型的生成和迭代，這樣的改進可以保證精度的良好性。

3 利用GM(1，1)模型預(yù)測隧道圍巖的變形

以武廣高速鐵路衡陽段胡子沖隧道為例，隧道的圍巖以花崗巖為主，地下水豐富，地形比較復(fù)雜。隧道初期支護的噴射混凝土厚度為25 cm，我們在隧道開挖過程中對DK091+124斷面拱頂圍巖變形進行了監(jiān)測，監(jiān)測數(shù)據(jù)見表2。

GM(1，1)模型的建立，是在取得一定數(shù)據(jù)之后進行的，建模以后就可以對未來變形進行數(shù)據(jù)預(yù)測。由于收斂變形是持續(xù)進行的，因此，不斷有新的數(shù)據(jù)充實變形時間序列，考慮到現(xiàn)場的條件不斷變化，前期測量的數(shù)據(jù)對后期研究圍巖的變形有一定的作用，但是越是接近于預(yù)測時間的量測數(shù)據(jù)越有意義(見表3)。因此，我們采用GM(1，1)迭代模型來進行預(yù)測，預(yù)測后我們可以對預(yù)測和實測數(shù)據(jù)進行比較(見圖1)。

圖1 實測與預(yù)測數(shù)據(jù)對比圖

表2 監(jiān)測數(shù)據(jù)

表3 GM(1，1)模型的預(yù)測值

經(jīng)過對殘差的計算，本例中的GM(1，1)模型的精度達到了Ⅰ級，所以預(yù)測的數(shù)據(jù)與實際數(shù)據(jù)還是比較吻合的。

通過計算我們可以判斷在4 d以后圍巖穩(wěn)定，在50 d左右變形加大，這時胡子沖隧道進尺達到56 m，應(yīng)該進行二次支護或者應(yīng)停止開挖，以保證隧道施工的安全。同時我們使用有限元軟件對胡子沖隧道進行了施工模擬，通過模擬可以知道在隧道進尺60 m左右時必須進行二次支護，模擬過程這里不再贅述。從這里可以看出利用灰色理論進行隧道圍巖變形的預(yù)測在實際工作中是有很大意義的。

4 結(jié)語

本文通過以胡子沖隧道的圍巖變形預(yù)測為例，對灰色理論在圍巖與初期支護相互作用變形預(yù)測的應(yīng)用進行了闡述。灰色系統(tǒng)理論有著廣泛的應(yīng)用前景，將其用于分析和處理圍巖的變形預(yù)測是一種行之有效的方法。通過上述分析和論述，我們可以得出以下結(jié)論:

1)利用GM(1，1)模型對變形進行預(yù)測方便之處是實測數(shù)據(jù)需要很少(灰色理論并不因為實測數(shù)據(jù)多而變得精確度高)，并且預(yù)測數(shù)據(jù)的精度高，對于普通回歸方法則要更多的數(shù)據(jù)來預(yù)測，而且灰色理論能對一些非線性或者不確定的因素進行弱化，以提高預(yù)測的準(zhǔn)確性。2)收斂變形的時效性動態(tài)表明，預(yù)測變形必須時時更新，而灰色理論預(yù)測恰恰能解決這個問題，這與以往回歸方法不同，這樣能更加有利于隧道施工中的變形監(jiān)控(施工要求時時監(jiān)測圍巖變形，已確定圍巖變形的穩(wěn)定情況)。3)從取得原始數(shù)據(jù)到建立GM(1，1)模型，計算量還是比較大的，但是我們可以在計算機上利用數(shù)值計算方法輕松完成建模和迭代計算。因此，用灰色理論來分析圍巖變形資料，預(yù)測圍巖收斂變形以及判斷可能失穩(wěn)的前兆及時間是有工程實用意義的。

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