基于蒙特卡羅法的電磁齒輪的可靠性分析

倪 濤

（黃岡職業(yè)技術(shù)學(xué)院，黃岡 438002）

0 引言

磁力機械已經(jīng)成為了國內(nèi)外研究的熱點，電磁齒輪屬于一種新興的磁力機械，其工作原理就是磁性耦合，通常情況電磁齒輪通過非接觸形式完成傳動任務(wù)，相對于傳統(tǒng)齒輪，電磁齒輪的傳動特性更加優(yōu)秀，比如，不用采用潤滑手段，沒有摩擦和磨損，對環(huán)境沒有污染，同時沒有振動和噪聲。電磁齒輪是以現(xiàn)代電磁理論為依據(jù)的，通過電磁鐵或永磁材料形成磁力，從而能夠保證電磁齒輪能夠以非接觸的形式實現(xiàn)力或力矩的傳遞。電磁齒輪的每一個輪齒的極齒都具有N極或S極磁性，全部的極齒分布在電磁齒輪的外圓面上，N極和S極通常情況下都是配對使用的，一個N極和一個S極就可以構(gòu)成一個極對，當(dāng)將直流電接入線圈以后,磁通左端沿軸向通過導(dǎo)磁鐵芯、與左極齒相對應(yīng)的法蘭經(jīng)過左極齒部，就構(gòu)成了N極；右端磁通通過直流線圈的導(dǎo)磁環(huán)經(jīng)過右極齒的環(huán)圈最后流經(jīng)右極齒部,最終構(gòu)成了S極。

當(dāng)保持激勵電壓不變的條件下，提高電磁齒輪線圈內(nèi)的電流值，就會相應(yīng)地增強磁感應(yīng)強度，進而能夠增加電磁齒輪的電磁吸力，然而，按照牛頓冷卻定律，電磁齒輪線圈的溫升和電磁齒輪線圈內(nèi)的流通電流的平方是服從正比例的關(guān)系，所以，電磁齒輪線圈內(nèi)的流通電流的提高同時會導(dǎo)致線圈的溫度增加，發(fā)出更多熱量，如果在電磁齒輪的設(shè)計階段沒有充分地考慮線圈的散熱問題，就容易線圈的溫度過高。一旦電磁齒輪的溫度超出了設(shè)計溫度，電磁齒輪的絕緣材料就將老化，電磁齒輪的可靠性不斷地降低，從而極大地減小了電磁齒輪的壽命，因此電磁齒輪的控制電流是電磁齒輪安全平穩(wěn)運行的關(guān)鍵。

可靠性設(shè)計可以考慮參數(shù)的不確定性，能夠以可靠度或其他可靠性的指標(biāo)作為評價標(biāo)準(zhǔn)，使設(shè)計更加合理，傳統(tǒng)的可靠性分析都是以大樣本實驗數(shù)據(jù)為依據(jù)，而電磁齒輪電磁力和熱性能可靠性僅僅能夠依據(jù)小樣本的實驗數(shù)據(jù)，從而會導(dǎo)致分析結(jié)果和實際情況不相符合。蒙特卡羅模擬法能夠?qū)﹄姶琵X輪的熱性能的變化規(guī)律進行模擬計算，接著，根據(jù)電磁力和熱性能的變化規(guī)律進行可靠性指標(biāo)的計算，并且進行敏感性研究。

1 蒙特卡羅法概述

蒙特卡羅法屬于一種計算機模擬技術(shù)，也可以被稱為統(tǒng)計模擬實驗技術(shù)法或隨機模擬技術(shù)，目前該方法已經(jīng)被成功地應(yīng)用于各個工程領(lǐng)域之中，屬于一種基于統(tǒng)計理論的對工程中的數(shù)學(xué)或物理問題進行近似計算的手段，蒙特卡羅法的主要思路為：第一步，根據(jù)工程問題的實際情況建立一個能夠充分反映實際問題的隨機過程或概率數(shù)學(xué)模型，所建立的數(shù)學(xué)模型的數(shù)學(xué)期望或概率分布也就是欲求問題的解；第二步，通過對所建立的概率模型或隨機過程模型進行抽樣統(tǒng)計從而最終確定所求解的參數(shù)的概率分布；最后，能夠求解出概率模型的近似值。這樣就能夠有效地解決工程中的數(shù)學(xué)或物理問題。

蒙特卡羅法的原理如下：按照大數(shù)定律，設(shè)有m個相互獨立的變量，分別為x1,x2,…,xm，這n個變量是同一母體中的獨立變量，分布均一樣，同時具備一致的均值與方差，可以由字母μ與σ2來標(biāo)識，這樣針對任何的ε＞0都滿足以下條件：

2 靈敏度分析概述

靈敏度分析就是隨著系統(tǒng)的輸入改變，系統(tǒng)的輸出隨之而變的敏感性的強弱。利用靈敏度分析能夠有效地反映概率模型中不同的參數(shù)對系統(tǒng)的輸出的敏感程度。利用靈敏度分析，能夠發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)的設(shè)計變量對目標(biāo)函數(shù)的敏感程度。

目標(biāo)函數(shù)對設(shè)計變量的靈敏度代表了設(shè)計變量的輕微改變導(dǎo)致目標(biāo)函數(shù)的變化情況，目標(biāo)函數(shù)表示為以下形式：

依據(jù)隱函數(shù)定律，輸出變量對輸入變量的靈敏度可以表示為如下的形式：

式中，xn表示第n個輸入變量。

某系統(tǒng)含有三個相互耦合的子系統(tǒng)，相應(yīng)的耦合矩陣如下所示：

其中：y1、y2、y3表示了系統(tǒng)所包含子系統(tǒng)的輸出；I表示了單位陣；公式(4)中右側(cè)的向量代表了局部靈敏度，局部靈敏度的含義是當(dāng)其余影響沒有改變時，不同子系統(tǒng)對輸入變量的敏感性；公式(4)的左側(cè)的矩陣代表了全局靈敏度，其含義是不同子系統(tǒng)對其余子系統(tǒng)輸出的敏感性；公式(4)左側(cè)的向量表示了系統(tǒng)靈敏度，其含義是系統(tǒng)輸出變量和系統(tǒng)輸入變量的靈敏度所對應(yīng)的導(dǎo)數(shù)，由于不同子系統(tǒng)之間存在著耦合關(guān)系。公式(4)表明，局部靈敏度以及全局靈敏度間是經(jīng)過系統(tǒng)靈敏度向量而相互關(guān)聯(lián)起來的，系統(tǒng)靈敏度向量包括了系統(tǒng)全部輸出對任何輸入變量的靈敏度，同時導(dǎo)數(shù)中也表明了不同子系統(tǒng)間的耦合關(guān)系。

3 基于蒙特卡羅法電磁齒輪電磁力和熱性能的可靠性分析流程

1）確定電磁力和溫升的函數(shù)y=f(x1,x2,…,xm)，并且確定出隨機變量x1,x2,…,xm。

2）確定電磁力和溫升函數(shù)中隨機變量xn所對應(yīng)的概率密度函數(shù)f(xn)。

3）確定電磁力和溫升函數(shù)中隨機變量xn所對應(yīng)的累積分布函數(shù)F(xn)。

4）概率密度函數(shù)中的隨機變量形成一個遵循均勻分布的數(shù)列Wxij，其表達式如下所示：

式中，i表示隨機變量的序號，i=1,2,…,m；j表示蒙特卡羅模擬的次數(shù)，j=1,2,…,103。xij表示了隨機變量xi經(jīng)過第j次模擬計算以后獲得的一組偽隨機數(shù)。

5）將各組偽隨機數(shù)xij代入電磁力和溫升的表達式中，可以獲得yi。

6）經(jīng)過j模擬計算，獲得電磁力和溫升的每次函數(shù)大小，進行升序排列。

7）繪制y的直方圖，擬合直方圖的分布。

確定了電磁力和溫升的分布以后，利用蒙特卡羅法模擬出電磁齒輪的電磁力和溫度耦合的可靠度。

4 電磁齒輪電磁力和轉(zhuǎn)矩的計算方法

電磁齒輪的磁感應(yīng)強度由于電磁齒輪的漏磁通而不一樣，因此，在分析的過程中可以將分析區(qū)域劃分為若干小區(qū)域，提出每個小區(qū)域的磁感應(yīng)強度相同的假設(shè)，則磁場能量可以表示為以下的形式：

式中，Bi表示了磁感應(yīng)強度；Hi表示了磁場強度；Vi表示了氣隙的體積；Ai表示了氣隙的橫截面面積；Si表示了空氣氣隙。

對應(yīng)的磁場力的計算公式如下所示：

式中，F(xiàn)i表示了每個小區(qū)域的磁場力。根據(jù)安培定律可得：

聯(lián)立公式(7)和公式(8)，電磁齒輪的電磁力和轉(zhuǎn)矩可以分別表示為：

式中，μ表示了真空磁導(dǎo)率；I表示電流強度；N表示了線圈匝數(shù)；D表示爪極的直徑，NP表示磁極數(shù)。

最后，利用電磁場分析獲得的焦耳熱轉(zhuǎn)化為電磁齒輪的溫升。

5 基于蒙特卡羅法電磁齒輪電磁力和熱性能耦合可靠性分析

表1 電磁齒輪電磁力四組蒙特卡羅模擬計算結(jié)果

圖1 電磁齒輪電磁力的頻率分布結(jié)果圖

利用蒙特卡羅法計算出電磁齒輪的電磁力的概率分布，通過計算可得近似符合正態(tài)分布，表1給出了四組電磁齒輪電磁力的計算結(jié)果。圖1給出了四組電磁力的數(shù)據(jù)模擬結(jié)果的頻率分布結(jié)果圖。

利用蒙特卡羅法計算出電磁齒輪的溫升的概率分布，計算結(jié)果表明電磁齒輪溫升的概率分布比較接近于對數(shù)正態(tài)分布，表2給出了4組電磁齒輪溫升的計算結(jié)果。圖2給出了電磁齒輪4組溫升的概率分布結(jié)果圖。

表2 電磁齒輪的溫升四組蒙特卡羅模擬計算結(jié)果

圖2 電磁齒輪溫升的頻率分布圖

表3給出了蒙特卡羅法的可靠度計算結(jié)果，從表3可以看出，當(dāng)模擬結(jié)果超過2×104次的時候，可靠度的數(shù)值已經(jīng)收斂。

表3 電磁齒輪可靠度模擬結(jié)果表

6 基于靈敏度的電磁齒輪可靠性分析

靈敏度分析利用蒙特卡羅法進行模擬計算，預(yù)先定義靈敏度分析的模擬次數(shù)為25次，經(jīng)過靈敏度分析獲得的結(jié)果如表4所示。從表4可以看出，電磁齒輪的溫升比電磁齒輪的電磁力對電磁齒輪的可靠性影響更大。

表4 靈敏度分析結(jié)果

7 結(jié)論

電磁齒輪屬于一種新型的非接觸機械，其電磁場和溫度場的耦合計算是電磁齒輪設(shè)計的基礎(chǔ)，電磁力和溫度場對電磁齒輪的可靠性具有非常重要的影響，利用蒙特卡羅法對電磁齒輪進行可靠性分析，能夠避免傳統(tǒng)可靠性分析中需要大量實驗樣本的缺陷，具有較好的魯棒性。

[1] 周哲波,章宏令.基于蒙特卡羅法的高壓容器可靠性分析[J].煤礦機械,2010,31(12):99-101.

[2] 郭水旺,胡乾坤.基于蒙特卡羅的電子產(chǎn)品可靠性分析[J].電子與封裝,2010,10(5):33-35.

[3] 任文杰,王偉,王麗君,等.蒙特卡羅仿真在飛控系統(tǒng)可靠性評估中的研究[J].計算機仿真,2009,(4):63-66.

[4] 張道兵,朱串曲,劉澤,等.基于Matlab優(yōu)化工具箱的煤巷頂板錨桿支護結(jié)構(gòu)可靠性分析[J].中國安全科學(xué)學(xué)報,2007,17(9):131-134.