混沌系統(tǒng)同步性質(zhì)的一個注記

徐玉華，李坤花，周武能

(1.東華大學信息科學與技術(shù)學院，上海201620;2.鄖陽師范高等?？茖W校 數(shù)學與財經(jīng)系，湖北 十堰442000，3.濟源職業(yè)技術(shù)學院基礎(chǔ)部，河南濟源454650)

0 前言

1 狀態(tài)反饋同步控制

由于混沌系統(tǒng)是有界的，因此，對于混沌系統(tǒng)，下面的假設(shè)是容易滿足的［4］。

假設(shè)1 對于混沌系統(tǒng)，假設(shè) f(y)－f(x)≤ly－x，其中l(wèi)＞0。

由式(1)和式(2)，得到誤差系統(tǒng):

當l+k≤0時，V·≤0，根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論，當時間t趨于0時，誤差e趨于0。把式(1)和式(2)的單邊匹配變成如下的雙邊匹配，即:

事務(wù)處理模塊 事務(wù)處理模塊主要包括用戶事務(wù)和系統(tǒng)事務(wù)兩部分，其中用戶事務(wù)主要包括對用戶信息的處理；而系統(tǒng)事務(wù)主要包括對播放器進行一些邏輯控制，如暫停、播放、截圖等操作。

則式(4)誤差系統(tǒng)仍為式(3)，即:

顯然，單邊匹配和雙邊匹配系統(tǒng)同步的條件相同，盡管單邊匹配和雙邊匹配所得到的誤差系統(tǒng)一樣，但是仿真結(jié)果表明它們達到同步的時間不一樣。

下面以文獻［13］中的混沌系統(tǒng)為例:

由于混沌系統(tǒng)是有界的，根據(jù)文獻［14］，l=50，由 l+k≤0取k=－51，取系統(tǒng)初值分別為(10，30，3)，(5，17，19)，用無量綱誤差來比較兩種方法收斂的速度。從圖1可知:單邊匹配比雙邊匹配收斂的更快一些。通過仿真還可知:雙邊匹配已經(jīng)改變了系統(tǒng)的混沌特性(見圖2)，而單邊匹配仍保持了系統(tǒng)的混沌特性(見圖3)。

圖1 無量綱誤差E隨時間的演化圖

2 自適應(yīng)反饋同步控制

下面用自適應(yīng)控制方法得

到類似于上述用狀態(tài)反饋同步控制方法所得到的結(jié)論，值得一提的是，用自適應(yīng)控制方法對于某些混沌系統(tǒng)，控制器ke可能僅僅只包含一個或者兩個自適應(yīng)反饋控制器就可以實現(xiàn)同步。

對于單邊匹配，有:

圖2 雙邊匹配時驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)在無量綱x-y-z軸上的相圖

圖3 單邊匹配時驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)在無量綱x-y-z軸上的相圖

那么誤差系統(tǒng)為:

構(gòu)造如下Lyapunov函數(shù):

其中H≥nL。則:

下面舉例說明對某些混沌系統(tǒng)，控制器me可能僅僅只包含一個或者兩個自適應(yīng)反饋控制器就可以實現(xiàn)同步。

例1 Lorenz混沌系統(tǒng)［15］:

顯然，假如e1=0，那么e2=0，e3=0，因此，可取me=m(e1，0，0)，即只需一個自適應(yīng)反饋控制器。設(shè) λ =8，即= －。

在仿真中，取系統(tǒng)初值分別為(10，2，3)，(5，17，9)，由于m是自適應(yīng)變量，可取它的初值為1。用無量綱誤差來比較兩種方法收斂的速度。從圖4可知:單邊匹配比雙邊匹配收斂的更快一些。通過仿真還可知:雙邊匹配已經(jīng)改變了系統(tǒng)的混沌特性(見圖5)，而單邊匹配仍保持了系統(tǒng)的混沌特性(見圖6)。

圖4 無量綱誤差E隨時間的演化圖

圖5 雙邊匹配時驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)在無量綱x-y-z軸上的相圖

圖6 單邊匹配時驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)在無量綱x-y-z軸上的相圖

例2 Rikitake混沌系統(tǒng)［16］:

顯然，假如e1=0，e3=0，那么e2=0，因此，可取me=m(e1，0，e3)，即只需兩個自適應(yīng)反饋控制器。設(shè) λ =8，即= － 8(e21+e23)。

在仿真中，取系統(tǒng)初值分別為(3，2，3)，(5，1，8)，由于m是自適應(yīng)變量，可取它的初值為1。用無量綱誤差來比較兩種方法收斂的速度。從圖7可知:單邊匹配比雙邊匹配收斂的更快一些。通過仿真還可知:雙邊匹配已經(jīng)改變了系統(tǒng)的混沌特性(見圖8)，而單邊匹配仍保持了系統(tǒng)的混沌特性(見圖9)。

圖7 無量綱誤差E隨時間的演化圖

圖8 雙邊匹配時驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)在無量綱x-y-z軸上的相圖

圖9 單邊匹配時驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)在無量綱x-y-z軸上的相圖

3 結(jié)論

本文把單邊匹配響應(yīng)系統(tǒng)的控制器分解成兩部分分別匹配到驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)(雙邊匹配)時，得到雙邊匹配的誤差系統(tǒng)與單邊匹配的誤差系統(tǒng)完全相同。仿真發(fā)現(xiàn):兩種匹配方法系統(tǒng)達到同步的時間不一樣，并且雙邊匹配改變了系統(tǒng)的混沌特性，而單邊匹配仍保持了系統(tǒng)的混沌特性。

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