模糊數排序的指數方法

曾繁慧，曹 俊

(遼寧工程技術大學理學院，遼寧阜新123000)

0 引言

模糊數的概念由Jain[1]和Dubois[2]提出。為了比較模糊數的大小，需要引入模糊數的排序指標。1998年，Cheng[3]在Murakami，Maeda和Mamura[4]的基礎上首次提出了模糊數的質心這一概念，并用模糊數的質心到原點的距離作為排序指標進行排序。2002年，Chu和Tsao[5]對模糊數質心的定義作了改進，并以質心到兩坐標軸距離的乘積作為排序指標。2006年，Wang[7]又對模糊數質心的定義進行了合理改進。本文基于模糊數的質心指標，給出了一種模糊數排序的指數方法。

1 基本概念

定義1[6]論域X到[0,1]閉區間上的任意映射μA:X→[0,1]都確定 X上的一個模糊集 A，μA(x)稱為A的隸屬函數，μA(x)稱為x對A的隸屬度。為了方便起見，記論域X上的模糊集全體為F(X)；若模糊集A的隸屬函數μA(x)僅取0和1，則模糊集為普通集。記論域X上的普通集全體為P(X)。

定義2[2]若模糊數A的隸屬函數為

定義 3[7]模糊數 A 的質心為

2 模糊數排序的指數方法

根據以上定義，提出模糊數的指數排序指標

其中

設有兩個模糊數A和B，可分別計算E(A)和E(B)，其排序方法如下：

若E(A)＜E(B)，則 A＜B；

若 E(A)=E(B)，則 A=B；

若E(A)＞E(B)，則 A＞B。

新的排序指標可以同時對多個模糊數進行排序，且這個指標滿足模糊數排序的常見性質[8]：

序關系的完全性，即A≥B與A≤B至少有一者成立；

序關系的傳遞性，即A≥B且B≥C，則有A≥C。

不相關模糊數的獨立性，即在{A,B}中有A≥B，則在{A,B,C}中仍有A≥B。

3 算例分析

我們通過算例分析來說明方法的有效性。

例1比較下列模糊數：A1=(10,13,20;1)，A2=(10,17,20;0.2)，它們的隸屬函數圖像如圖1所示。

圖1 隸屬函數圖像

一般的，我們認為 A1＞A2，但是如果按照Cheng[3]和Wang[10]的方法卻能得到A1＜A2的排序結果，顯然這兩種方法是有缺陷的。按照本文的排序方法可以得到A1＞A2，與直觀相符。

例2比較下列模糊數大小：A1=(3,5,7;1)，A2=(3,5,7;0.8)，B1=(5,7,9,10;1)，B2=(6,7,9,10;0.6)，B3=(7,8,9,10;0.4)，它們的隸屬函數圖像如圖2所示。

圖2 隸屬函數圖像

利用本文所提出的方法，求得模糊數A1，A2,B1，B2，B3的排序結果為 B1＞B2＞A1＞A2＞B3。文獻[9]認為B1＞A1＞B2＞A2=B3，并沒有區分出A2與B3的優劣；而利用文獻[10]提出的方法，得到了 B3＞B2＞B1＞A1＞A2的排序結果，由于B1的峰值高于B2的峰值，所以直觀上應有B1＞B2。

4 結束語

本文基于模糊數的質心指標，給出了一種模糊數排序的指數方法。這種排序方法可以通過簡單的計算實現對模糊數進行排序，并且在一定程度上克服了現有一些模糊數排序方法的缺陷，因而為決策者提供了一種新的參考。

[1]Jain R.A Procedure for Multi-aspect Decision Making Using Fuzzy Sets[J].International Journal of Systems Science,1978，（8）.

[2]Dubois D.Operations on Fuzzy numbers[J].International Journal of Systems Science,1978，（9）.

[3]C.H.Cheng.A New Approach for Ranking Fuzzy Numbers by Distance Method[J].Fuzzy Sets and Systems,1998，（95）.

[4]S Murakami,S maeda，S Imamura.Fuzzy Decision Analysis on the Development of Centralized Regional,Energy Contral System[A].ICFA Syrup on Fuzzy Infrom[Z].Knowledge Representation and Decision Anal,1983.

[5]T.C.Chu，C.T.Tsao.Ranking Fuzzy Numbers with An Area between the Centroid Point and Original Point[J].Comput.Maths,2002,(43).

[6]Yang Lunbiao,Gao Yingyi.Fuzzy Mathematic Theory and Application[M].Guangzhou:South China University of Technology Press,2005.

[7]Wang Yingming,Yang Jianbo,Xu Dongling,etal.On the Centroids of Fuzzy Number[J].Fuzzy Sets and Systems,2006,(157).

[8]Wang Xuzhu,Shan Jing.An Overview of Ranking Fuzzy Quantities[J].Fuzzy Systems and Mathematics,2002,(16).

[9]B.Asady,A.Zendehnam.Ranking Fuzzy Numbers by Distence Minimization[J].Aplied.Mathematical.Modelling,2007,31(11).

[10]Y.J.Wang,S.H.Lee.The Revised Method of Ranking Fuzzy Numbers with an Area between the Centroid and Original Points[J].Computers and Mathematics with Applications,2008,(55).