散貨船優化積載的數學模型及其應用

邱文昌，顧瞿飛

(上海海事大學商船學院，上海 201306)

0 引言

散貨船積載是指在船長指導下，依據船公司下達的航次貨運任務，由船舶大副具體計劃并實施的、將航次貨物在具體船艙合理分配的一項業務活動.

選擇航次貨載和油水在各艙不同的質量分配方案，將直接影響船舶重心的橫向、縱向和垂向位置，影響船舶質量沿船長的分布，并決定船舶吃水、橫傾角、縱傾狀態、穩性指標以及船體總縱強度和局部強度狀況.顯然，理論上必定存在一種兼顧滿足船舶各項指標要求的最佳航次積載方案［1].與其他類貨船相比，因散貨船承載貨種比較單一，尋求其最佳航次積載方案的方法相對簡單.

對于優化積載問題，文獻［2]研究滿足一定約束下以彎矩最小為目標，建立各艙貨物分配的數學模型，并給出算法和算例;文獻［3]分析一船在8種工況下的靜水剪力和靜水彎矩，通過計算得出在最危險工況下的最大靜水剪力和靜水彎矩;文獻［4]根據裝載計算軟件依據船體強度曲線的變化趨勢提出一種指導策略，從可行方案集合中選出優化方案.

本文考慮船體彎矩，且兼顧船體剪力、局部強度、吃水差和穩性［5]等多項要求，通過設計一種特別形式的目標函數，建立通用的散貨船優化積載數學模型.針對計算實例借助LINGO軟件編程求解出全局最優解，從而獲取設定的優化積載方案.

1 模型建立

1.1 基本原理

散貨船積載的特點是:船舶吃水差條件易于滿足，穩性的調整范圍非常有限，而船體多個剖面上剪力和彎矩指標變化幅度較大.據此，在建立的散貨船優化積載模型中考慮下列約束條件［6-8]:

(1)第k(0)貨艙初始配貨質量mk(0)(設有K個貨艙，k(0)∈［1，K])之和等于航次貨載總質量 m0，即相對于船舶初始配貨狀態，第k貨艙配貨質量改變量 Δmk(k ∈［1，K])之和為0.0，即

(2)第k貨艙配貨質量的改變量Δmk應大于等于-mk(0)(即第k艙實際配貨質量應大于等于0)，且小于等于該艙艙容限制下最大裝載量mk(max)減去mk(0)(即第k艙實際配貨質量mk(0)+Δmk小于等于mk(max)):

(3)船舶第n(設共使用N個壓載水艙，n∈［1，N])個壓載艙實際壓載質量應大于或等于0.0，且小于或等于該艙艙容限制下最大壓載量mn(max);同時船舶壓載水總質量不得大于設定值 m′0(當然mn(max)≤m′0)，且不得導致船舶因壓載而發生超載情況，即

(4)船舶吃水差t介于適當的吃水差范圍內，即t∈［tmin，tmax]:

式中:t0和t′0分別表示初始配貨時船舶吃水差和壓載前船舶的吃水差，m;

Δtk和Δtn分別表示在第k貨艙和第n壓載艙加載q t載荷時船舶吃水差的改變量，m.

(5)船舶初穩心高度hGM要求介于適度范圍內，即 hGM∈［hGMmin，hGMmax]:

式中:hGM0和h′GM0分別表示初始配貨時船舶初穩心高度和壓載前船舶初穩心高度，m;ΔhGMk和ΔhGMn分別表示在第k貨艙和第n壓載艙加載q t載荷時船舶初穩心高度的改變量，m.

船舶初穩心高度最大值hGMmax可取船舶橫搖周期為9 s對應的船舶初穩心高度，其最小值hGMmin可取該裝載狀況下船舶臨界初穩心高度值加0.20 m.

(6)任何相鄰的兩個貨艙配貨質量mk和mk+1(k∈［1，K-1])之和應小于等于散貨船局部強度限制的最大值 mk＆k+1(max)(t)，即

在上述約束條件下，建立的目標函數是追求規范要求的船前部、中部和后部最少7個強度校核剖面上的剪力比(即實際剪力與最大允許剪力之比)和彎矩比(即實際彎矩與最大允許彎矩之比)均小于1.0(或100%)，且其中的較大值為最小.

為了具體求解散貨船優化積載數學模型，采用的數據處理方法是:先設定某一滿足船舶航次裝載量和航次油水儲備量(無壓載水)要求的初始裝載狀態(這里推薦的是按艙容比例分配各貨艙配貨質量);隨后分別計算出相對于各貨艙初始裝載量下加載和減載0.5 q(該艙裝載量3%左右)時的船舶吃水差、初穩心高度、各個設定的強度校核剖面上實際剪力和彎矩改變量的平均值.對于計劃壓載的各個壓載水艙，也按與貨艙相同的方法計算出加載q t時的船舶吃水差t，hGM和強度數據的改變值.

為簡化目標函數的表達式并達到求取多個值中較大值為最小的目的，建立的目標函數式(11)中選用由多個指數函數求和的形式.其中的各項指數函數采用下列表達式:

式中:w為權重;x被定義為船舶設計時設定校核剖面上數值大于或等于0.0且不得超過1.0的剪力比或彎矩比.很明顯，當某一設定校核剖面上某一剪力比或彎矩比接近或超過1.0時，其目標值y將迅速增大直至趨向于無窮大.式(10)中不同權重w下的函數曲線見圖1.

圖1 不同w下指數函數圖像

1.2 數學模型

目標函數

式中:

式中:xi和x′i分別表示船舶設計時設定的第i個強度校核剖面上實際配貨后和壓載后的剪力比;FSi和FS′i分別表示船舶初始裝載狀態和壓載前裝載狀態下第i個強度校核剖面上的實際剪力值，kN;FSi(lim)表示考慮波浪附加彎矩條件下船舶第i強度校核剖面上最大允許剪力值，kN;ΔFSki和ΔFSni分別表示船舶第k貨艙和第n壓載艙載荷變化q t時第i強度校核剖面上剪力值的改變值，kN;xj和xj′分別表示船舶設定的第j強度校核剖面上實際配貨后和壓載后的彎矩比;MBj和M′Bj分別表示船舶初始裝載狀態和壓載前裝載狀態下第j強度校核剖面上的實際彎矩值，kN·m;MBi(lim)表示考慮波浪附加彎矩條件下船舶第j強度校核剖面上最大允許彎矩值，kN·m;ΔMBkj和ΔMBnj分別表示船舶第k貨艙和第n壓載艙加載q t載荷時第j強度校核剖面上彎矩的改變值，kN·m;ρ1和ρ2分別表示船舶設計時在設定強度校核剖面上剪力比衡準指標之和與彎矩比衡準指標之和的權重，用于反映兩者的相對重要程度.具體計算可以通過大范圍數據測試確定其取值的較小范圍，再在較小范圍內測試，以確定其適宜值.ai和aj分別表示第i(∈［1，in])個剪力校核剖面上的剪力衡準指標和第j(∈［1，jn])個彎矩校核剖面上的彎矩衡準指標的權重.具體計算可以先取相同值進行初始測試，隨后按較大剪力或彎矩處取較大值的原則確定其權重.

2 計算實例

為驗證數學模型，嘗試采用通用優化模型求解軟件LINGO編程［9]，借助德國SEACOS公司開發的SEACOS V 3.21版散貨船裝載系統軟件平臺，完成散貨船優化積載實例計算.

SEACOS V 3.21版散貨船裝載系統是通過多家船級社認證、功能較強且應用廣泛的一種散貨船裝載計算軟件.該軟件具有能實現貨物自動優化配艙的功能.其演示軟件中包含一艘典型的9個貨艙尾機型散貨船的資料(見表1).

表1 M V Seabulk主要參數

2.1 船舶初始裝載狀態設定

設定船舶初始狀態:離港油水已裝妥(燃潤油3 375 t，淡水949 t)，壓載艙全部空載，船舶常數和備品350 t，各貨艙按艙容比例確定的配貨質量mk(0)見表2.

表2 各貨艙初始裝貨質量 t

在初始裝載狀態下船首吃水17.51 m，尾吃水17.27 m，平均吃水17.39 m，經自由液面修正后的初穩心高度5.89m，船舶典型的兩個橫剖面Fr.49(49號肋骨)和Fr.311上剪力FS及最大允許剪力FSlim，彎矩MB及最大允許彎矩MBlim見表3(介于Fr.49和Fr.311之間的8個剖面數據被省略).

表3 強度校核剖面初始剪力、彎矩及其最大允許值

經裝載軟件測試改變少量載荷q t后可獲得:在初始裝載狀態下各貨艙允許減少的貨載量Δmk(min)(即為約束條件中-mk(0)的值)和允許增加的貨載量 Δmk(max)(即為約束條件中mk(max)-mk(0)的值)，相鄰兩貨艙之間貨載的最大裝載量mk＆k+1(max)(t);各貨艙改變q t時船體吃水差的變化量Δtm，初穩心高度的變化量 ΔhGMm，兩個典型橫剖面Fr.49和Fr.311上剪力FS和彎矩MB的變化量見表4.

表4 各貨艙載荷變化范圍限制和載荷變化1 000 t吃水差，hGM，剪力和彎矩變化量

為在船舶非滿載狀態下進一步優化船舶性能參數，選擇船舶首部、中前、中部、中后、尾部的12個壓載水艙，其允許減小的壓載量mn(min)(即為0)，允許增加的壓載量mn(max)(見式(18)，取 m0′=1 400 t)，加載q t時吃水差、穩性、剪力和彎矩的變化量見表5(介于WB2D和WB4D之間的3個壓載艙數據被省略).

2.2 數學模型的求解

LINGO是解決最優化模型的軟件平臺，可以借助軟件編程獲得計算模型的局部最優解或全局最優解.本文采用LINGO 11.0版編程，所獲結果均為全局最優解.以下為求解的具體過程.

(1)借助LINGO平臺將上述目標函數和約束條件轉變成LINGO編程語言.

表5 壓載艙最大壓載限制和壓載變化1000 t時吃水差，hGM，剪力和彎矩變化量

(2)先考慮貨艙配貨而不考慮壓載艙的壓載，即壓載總質量m′0取0，上述目標函數式(11)中后兩項取值為0.

確定合適的權重過程是:先設定權重ai和aj暫時取1.0;權重 ρ1∈［0.0，1.0]分別取0.0，0.2，0.5，0.7，0.8，1.0;權重 w 分別取 0.05，0.5，1，10，25 和100.由不同ρ1和w的多種組合，運用LINGO編程分別求解比較得出:在ρ1=0.7，w=10時的船舶裝載狀態下的目標函數取值較優.隨后在ρ1=0.7，w=10下，通過改變權重ai和aj，使得設定強度校核剖面處較大的xi和xj明顯減小.可以發現:根據LINGO編程求得的xi，xj值(以下簡稱“LINGO值”)與按模型求解各艙配貨質量輸入SEACOS軟件獲取的xi和xj值(以下簡稱“SEACOS值”)之間存在正負誤差，選擇不同ai和bi權重組合也可以減小上述兩者間的誤差.

(3)嘗試適量壓載，在滿足船舶穩性、吃水差等條件下進一步優化船舶的強度指標值.

計算結果表明，在貨艙范圍以外的壓載水艙適量壓載對減小各強度校核剖面上最大剪力比和彎矩比的效果非常明顯.

基于LINGO 11.0編程求得的各貨艙優化配貨質量(簡稱“LINGO配艙量”)見表6.

表6 各貨艙貨物優化裝載量mk(0)+Δmkt

在上述LINGO配艙量下，由LINGO編程獲得的預測剪力比RFSk和彎矩比RMBk，將 LINGO配艙量輸入SEACOS裝載軟件顯示的剪力比RFS1和彎矩比RMB1，以及借助SEACOS軟件優化配艙功能在配貨總質量不變下獲得的剪力比RFS2和彎矩比RMB2數值見表7.

由表7計算和SEACOS裝載軟件測試的結果表明:船舶10個強度校核剖面RFSk值平均為10.1%(SEACOS優化配貨 RFS2平均14.8%)，最大值為40%(SEACOS優化配貨RFS2最大41%);RMBk值平均為5.2%(SEACOS 優化配貨 RMB2平均 9.6%)，最大為16%(SEACOS優化配貨RMB2最大21%)，即由LINGO編程獲得的預測剪力比RFSk和彎矩比RMBk結果優于SEACOS優化配貨所得結果.另外，船體多個強度校核剖面上ΔRFS1和ΔRMB1絕對值平均為1.5%和0.7%，最大值為6%.這也可以驗證本文建立的優化積載數學模型的求解方法是可行的.

因設定的初始裝載狀態尚未到達船舶滿載，所以嘗試采用適量的壓載進一步優化船體強度指標.假定壓載質量m′0取1 400 t(在實例裝載狀態下，船舶滿載尚剩余載質量1 437 t).將LINGO配艙量確定的裝載狀態作為初始狀態，重復前述的各壓載艙數據取樣(表5)等過程，在LINGO 11.0平臺上運行編程軟件求得優化壓載質量(見表8).

在上述優化壓載下船舶各強度校核剖面上的剪力比RFS3和彎矩比RMB3見表9.

此優化壓載下船舶吃水差0.30 m，在設定的范圍內，船舶初穩心高度hGM為5.75 m，也處于設定的適度范圍之內.

表7 各艙優化配貨下剪力比、彎矩比及其差值

表8 各壓載艙優化裝載量mnt

表9 壓載后剪力比和彎矩比

從表8可見，優化壓載的位置處于貨艙范圍之外的首尖艙和尾尖艙.同時，表9的結果表明，在滿足船舶吃水差和初穩心高度約束條件下，壓載后船舶的最大剪力比從40%降為28%，最大彎矩比從16%下降到11%.

3 結束語

在滿足船體強度、吃水差和穩性等要求前提下，通過研究各艙配貨質量與船舶設計時設定強度校核剖面上的剪力和彎矩之間的函數關系，建立優化貨物積載的數學模型.采用上述優化模型確定各艙配貨質量，其計算結果優于SEACOS裝載軟件優化計算功能給出的結果.本文給出的船舶優化配貨數學模型不僅能夠優化散貨船的強度指標，而且可將此模型推廣應用到散裝液貨、集裝箱等其他類型船舶.

從計算實例可以發現，船體某些剖面上剪力和彎矩幾乎不隨貨艙配貨質量的改變而改變，但通過適當改變不在貨艙范圍內的某些壓載艙的壓載量，則可以明顯優化船體特定強度校核剖面上的剪力和彎矩指標.此外，在上述計算實例中，船體某些強度校核剖面上的優化LINGO值與SEACOS軟件測試值之間還存在一定的誤差，這類誤差可以通過下述方法予以減小或消除:將已獲得的優化模型的計算結果作為初始裝載狀態，進行再一輪的初始狀態數據取樣和數學模型優化求解.

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