一類隨機微分方程的軌道唯一性*

趙輝艷

(中山大學數學與計算科學學院，廣東 廣州510275)

考察方程

(1)

其中σ:Rd→Rd?Rm和b:Rd→Rd為連續函數，W為布朗運動。眾所周知，如果σ和b滿足Lipschitz條件或者滿足局部Lipschitz條件和線性增長條件，則方程(1)具有唯一的強解[1-2]。之后，Watanabe等[3]在方程為一維的情況下在更弱的條件下得到方程解的軌道唯一性的，即方程系數滿足一定意義下最弱的H?lder連續性。最近，在方程的系數σ為常數或b=0的情形下，方程在更弱的條件下具有解的存在唯一性得到了討論。當方程的系數均非常數時，文獻[4]中給出了一個解的存在唯一性的充分條件，之后[5]中又做了稍許的推廣。

另一方面，根據Airault-Ren[6]和Malliavin[7]的工作，研究中將會碰到如下的非Lipschitz系數的無窮維布朗運動驅動的隨機微分方程

(2)

文獻[8]研究了這類的方程在一般非Lipschitz系數下的解的存在唯一性。之后，在文獻[9]中，把文獻[8]的存在唯一性結果推廣到系數更為一般的情形，即

|σ(x)-σ(y)|≤ρ(|x-y|)，

|b(x)-b(y)|≤γ(|x-y|)

受到了文獻[10]的啟發，在這篇文章中，我們同樣考察方程(2)，我們的主要任務是減弱γ的限制，即在某種意義下，把上述的條件中γ的凹性去掉。

1 基本記號及假設條件

假設σi(x)，i=1,2,…和b(x)為R→R的可測函數。考慮下述的隨機微分方程

(3)

其中Wi,i=1,2,…為一串獨立的標準的布朗運動序列。記

σ(x)=(σ1(x),σ2(x),…)，

另外假設對所有的x∈R，有σ(x)∈l2。

我們將不加證明地陳述幾個無窮維布朗運動的隨機微分方程的性質，若需要證明，請查看文獻[8-9]。

引理1 假設(Ft)為由布朗運動Wi(i=1,2,…)生成的自然流。假設Hi(i=1,2,…)為一串Ft可測適應過程。如果對所有的t≥0，有

為連續的L2鞅。如果對所有的t≥0，有

那么M為連續的局部鞅。如果Gi(i=1,2,…)為一族Ft可測適應過程，且

則M和N的交互變差過程為

我們有下述的Yamada-Watanabe定理。

定理1 方程(3)有唯一強解當且僅當存在弱解和軌道唯一性。

若需要了解更多的關于方程(3)的強解和弱解，請參看文獻[9]。我們還有如下結果[9]。

命題1 方程(3)存在一弱解如果σ和b為有界連續函數。

2 主要結果

定理2 假設γ∈C1((0,1])為嚴格正的函數并且滿足

(4)

并且對任意的a>0，滿足

對|x-y|<1，假設

|b(x)-b(y)|≤c|x-y|γ(|x-y|)

我們假設嚴格正函數ρ滿足

(5)

另外假設，對所有的x,y∈R，有

|σ(x)-σ(y)|≤ρ(|x-y|)

則方程(1)具有軌道唯一性。

假設

事實上，在(4)式中，以Nγ代替γ，對足夠大的N>0。那么就有

(6)

令

和

Φδ(s):=exp(φδ(s)),δ>0,s∈(0,1]

則有

假設Xt，Yt為方程(1)的兩個強解。則有

令τ=inf{t>0,|Zt|≥ε}，則有

對上式兩邊同時取期望，得到

gk″(Zs)(σi(Xs)-σi(Ys))2ds)≤1 +

E(Φδ(|Zt∧τ|))≤1 +

根據Gronwall不等式，對每一個δ>0，可以得到

E(Φδ(|Zt∧τ|))≤exp(ct)

令δ→0，則對每一個給定的t，有

|Zt∧τ|=0a.s.

如果有P(τ<+∞)>0，則對某個T足夠大，就會有P(τ0。根據上式，幾乎處處對所有的t∈Q∩[0,T]，有|Zt∧τ|=0。因此在集合{τ≤T}上，有 |Zτ|=0，這就與τ的定義矛盾。因此幾乎處處有τ=+∞并且對任意給定的t，幾乎處處有|Zt|=0。根據的軌道的連續性，命題得證。

根據命題1，我們有下面的推論。

推論1 假設σ和b為有界連續函數并且滿足上述定理的條件。則方程 (3) 具有唯一強解。

參考文獻：

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