一類無攪拌Chemostat模型平衡態正解存在性與數值模擬*

姜洪領 ，王利娟

(1.陜西師范大學數學與信息科學學院，陜西 西安 710062;2.寶雞文理學院數學系，陜西 寶雞 721016 )

Chemostat模型又稱恒化器模型，它是一個自然生態模型，對恒化器的研究以及各種推廣是目前非?；钴S的課題，研究者對模型進行各種合理的改進和推廣以使其能更加逼真地描述自然現象。Butler和Wolkowicz[1]于1986年在生物數學學報上給出下列模型

v′=v(m2f2(S)-θ),

w′=w(m3f3(u)-θ)

St=Sxx-m1f1(S,u)u-m2f2(S,v)v,

ut=uxx+m1f1(S,u)-m3f3(u,w)w,

vt=vxx+m2f2(S,v),

(1)

wt=wxx+m3f3(u,w)

B-D功能函數的推導見文獻[2-3]。涉及使用B-D功能函數研究的部分文獻可見[4-6]。對式(1)的平衡態系統，令z(x)=S(x)+u(x)+v(x)+w(x)，則z(x)滿足

zxx=0,x∈(0,1),

zx(0)=-1,zx(1)+γz(1)=0

(2)

顯然式(2)有唯一解z(x)>0。因此方程組(1)可等價與下列方程組

uxx+m1uf1(z-u-v-w,u)-m3wf3(u,w)=0,

vxx+m2fv2(z-u-v-w,v)=0,

wxx+m3wf3(u,w)=0,

ux(0)=0,ux(1)+γu(1)=0;

vx(0)=0,vx(1)+γv(1)=0;

wx(0)=0,wx(1)+γw(1)=0

(3)

1 主要引理

-Δφ+q(x)φ=λφ,x∈Ω,Bφ=0,x∈?Ω

則λ[-Δ+q(x)]關于q(x)連續且具有單調性:當q1(x)≤q2時，λ[-Δ+q(x)]≤λ[-Δ+q2(x)]；特別地，如果q1(x)?q2(x)，則λ[-Δ+q1(x)]<λ[-Δ+q2(x)]。

-Δφ+Pφ=ξ(a(x)+P)φ,

x∈Ω,Bφ=0,x∈?Ω

(4)

沒有小于1的特征值；反之若λ[-Δ-a(x)]<0則式(4)有小于1的特征值。

引理3[7-8]設W是Banach空間E的一個錐，θ是E中的零元。設F:W→W是緊的，連續可微算子且θ∈W是F的不動點，A=F′(θ)表示F在θ處的Fréchet導數。進而假設W-W在E中稠密，則有以下結論

(i)如果特征值問題Ah=λh,h∈W不以1為特征值，則θ是F的孤立不動點。

(ii)如果上述特征值問題沒有大于1的特征值，則indexW(F,θ)=1。

(iii)如果上述特征值問題有大于1的特征值，則indexW(F,θ)=0。

考察邊值問題

-Δu=f(x,u),x∈Ω,Bu=0,x∈?Ω

(5)

-Δv+μPv=μ[f(x,u)+Pu],

x∈Ω,Bφ=0,x∈?Ω

(6)

其中u∈E,μ∈[0,1]，P是一個適當大的正常數，定義算子Tμ:[0,1]×E→E，Tμ(u)=v,T=T1，則Tμ是緊的，且易知u是式(5)的古典解當且僅當u是式(6)的不動點。特別的當m=3,u=(u1,u2,u3)，f=(f1,f2,f3)時，有下面的結論。

(i) 邊值問題

只有零解；

(ii) 特征值問題

φ,ψ∈K0

有特征值λ∈(0,1);則indexW(T,y1)=0。

2 半平凡解存在性

uxx+m1uf1(z-u,u)=0,x∈(0,1),

ux=0,ux(1)+γu(1)=0

(7)

vxx+m2vf2(z-v,v)=0,x∈(0,1),vx=0,

vx(1)+γv(1)=0

(8)

定理1 設u是式(7)的非負解且u?0，則0

φxx+λφf1(z,0)=0,x∈(0,1),

φx(0)=0,φx(1)+γφ(1)=0;

ψxx+μψf2(z,0)=0,x∈(0,1),

ψx(0)=0,ψx(1)+γψ(1)=0

uxx+m1uf1(z-u-v,u)=0,x∈(0,1),

ux(0)=0,ux(1)+γu(1)=0;

vxx+m2vf2(z-u-v,v)=0,x∈(0,1),

vx(0)=0,vx(1)+γv(1)=0

(9)

uxx+m1uf1(z-u-w,u)-m3f3(u,w)=0,

wxx+m3wf3(u,w)=0,

ux(0)=0,ux(1)+γu(1)=0;

wx(0)=0,wx(1)+γw(1)=0

(10)

(11)

(12)

φx(0)=0,φx(1)+γφ(1)=0

(13)

定理5 若(u,v,w)是式(3)的正解，則m1≥λ1,m2≥μ1,m3≥η1。

3 正解存在性

引入式(3)的輔助問題

-uxx+μMu=μ[M+m1f1(z-u-v-w,u)]

u-m3wf3(u,w),

-vxx+μMv=μ[M+m2f2(z-u-v-w,v)]v,

-wxx+μMw=μ[M+m3f3(u,w)]w

(14)

其中邊界條件與式(3)一致。μ∈[0,1]，M是個充分大的正數且使得Mui+fi≥0，則對已知的(u,v,w)∈E，下列線性問題

-Uxx+μMU=μ[M+m1f1(z-u-v-w,u)]·

u-m3wf3(u,w),

-Vxx+μMV=μ[M+m2f2(z-u-v-w,v)]v,

-Wxx+μMW=μ[M+m3f3(u,w)]w

(15)

有唯一解。

命題1 (i) 若m1>λ1,m2≠μ1或m1≠λ1,m2>μ1，則indexW(F,θ)=0；

(ii)若m1<λ1且m2<μ1，則indexW(F,θ)=1。

(16)

考慮輔助問題

-φxx-m1f1(z,0)φ=ξφ;φx(0)=0,

φx(1)+γφ(1)=0

命題2 degW(I-F,D,θ)=1。

證明由拓撲度的同倫不變性有

degW(I-F,D,θ)=degW(I-Fμ,D,θ),μ∈[0,1]

當μ→0時，Fμ在W上只有θ這個不動點，根據Leray-schauder度的定義知degW(I-Fμ,D,θ)=indexW(Fμ,θ)，且此時可使得μm1<λ1,μm2<μ1，再重復命題 1的證明可得indexW(F,θ)=1，從而有degW(I-F,D,θ)=1。

為了書寫方便，我們引進記號G=(g1,g2,g3)，DG為G的線性化算子

g1=m1uf1(z-u-v-w,u)-m3wf3(u,w),

g2=m2vf2(z-u-v-w,v),

g3=m3wf3(u,w)

1) 考察邊值問題

(17)

則該問題等價于

矛盾。同理對第三個方程也只有零解，于是得

2)考察特征問題

(18)

化簡得下列方程組

(v,w)∈K0×K0

同理可證命題4。

D1={(u,v)∈P1|u>0,v>0,u,v∈D}，

D2={u∈P2|u>0,u∈D},

D2(ε)={u∈D2|uE2<ε,?ε>0}

其中P1=K0×K0,P2=K0,W=P1⊕P2。依引理5來證明。由F的定義，令

F1(u,v,w)=K[Mu+m1uf1(z-u-v-w,u)

-m3wf3(u,w),

Mv+m2vf2(z-u-v-w,v)],

F2(u,v,w)=K[Mw+m3wf3(u,w)]

(19)

同理可證命題6。

定理6 當m1>a1,m2>a2,m3>a3時，系統(3)存在正解(u,v,w)。

4 數值模擬分析

本節用MATLAB軟件工具箱中的bvp4c算法模擬2-3節所給出的結論。區間采用等分法，計算[0,1]中等分節點處u,v,w的值。取α1=1,α2=1.5,α3=0.5,β1=0.7,β2=0.3,β3=0.6,γ=1，模擬結果如圖1(a)-(e)。

圖1(a)顯示v,w消亡，u生存，其中m1=3,m2=1.5,m3=2；圖1(b)顯示u,w消亡，v生存，其中m1=1.8,m2=1.9,m3=2；圖1(c)顯示v消亡，u,w生存，其中m1=2,m2=1.7,m3=3.2；圖1(d)顯示w消亡，u,v生存，其中m1=1.8,m2=2,m3=0.1；圖1(e)顯示u,v,w生存，其中m1=3,m2=2,m3=2.6。此外在數值模擬的過程中，還發現u,v有周期共存現象，有待進一步研究。

參考文獻：

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