時標上三階非線性p-Laplacian三點邊值問題的正解*

武利猛，楊 軍，陸海波， 張 娟

(1.華東師范大學數學系，上海 200241；2.燕山大學理學院， 河北 秦皇島 066004；3.河北省數學研究中心，河北 石家莊 050000)

近年來，時標上的動力方程已引起了許多學者的廣泛關注，越來越多的學者對在時標上利用不動點定理解決p-Laplacian邊值問題產生了很大興趣，有關的內容可參看Bohner和Peterson的兩本專著[1-2]及相關的參考文獻[3-10]。目前，關于時標上二階p-Laplacian動力邊值問題的研究較多，但針對三階p-Laplacian動力邊值問題的討論較少[7]。

在本文中，Τ表示時標，為了方便，對R上的每一個區間I，仍用I表示時標區間，即I:=I∩T，受文獻[8-9]的啟發，我們將研究時標上三階非線性p-Laplacian邊值問題

t∈[0,T]

(1)

βu(0)-γuΔ(0)=0,uΔ(T)=αu(η),

(2)

貫穿全文假設以下條件成立

(H1)f(t,u(t)):[0,T]×R→R+是連續的，其中R+記為非負實數；

(H2)p(t)∈C([0,T],(0,+∞))為單調增加函數；

(H3)a:[0,T]→[0,∞)是ld-連續的，且a(t)在[0,T]上的任意子集上不恒為零。

1 定義與引理

為了證明本文的主要結果，需要如下定義及引理。

定義1 如果α:P→[0,∞)是連續的且

α(tx+(1-t)y)≥tα(x)+(1-t)α(y)

對所有的x,y∈P和t∈[0,1]成立，那么映射α被稱為在實的Banach空間E上錐P中的一個非負連續凹泛函。相似地，如果β:P→[0,∞)是連續的且

β(tx+(1-t)y)≤tβ(x)+(1-t)β(y)

對所有的x,y∈P和t∈[0,1]成立，那么映射β被稱為在實的Banach空間E上錐P中的一個非負連續凸泛函。

設γ,β,θ是在錐P上的非負連續的凸泛函，α,φ是錐P上非負連續凹泛函。對非負實數h,a,b,d和c，定義下面的凸集

P(γ,c)={x∈P|γ(x)

P(γ,α,a,c)={x∈P:a≤α(x),γ(x)≤c}；

Q(γ,β,d,c)={x∈P:β(x)≤d,γ(x)≤c}；

P(γ,θ,α,a,b,c)={x∈P:a≤α(x),

θ(x)≤b,γ(x)≤c}；

Q(γ,β,φ,h,d,c)={x∈P:h≤φ(x),

β(x)≤d,γ(x)≤c}。

定義2 令Banach空間E=Cld[0,T]且范數‖u‖=supt∈[0,T]|u(t)|。定義錐P?E，且

P={u∈E|u在[0,T]中是凹的，遞增且非負}

引理1 如果d≠0，則對h(t)=Cld[Τ,R]，動力方程邊值問題

βu(0)-γuΔ(0)=0,

(4)

有唯一解

s+

(5)

證明對式(3)從0到t進行積分，得到

即

(6)

對式(6)從0到t進行積分，得到

s

(7)

再對式(7)從0到t進行積分，得到

u(t)=u(0)+tuΔ(0)-

(8)

令t=T,η代入式(7)和(8)有

s

(9)

u(η)=u(0)+ηuΔ(0)-

(10)

將式(9)、(10)代入式(4)有

s-

(11)

(12)

將式(11)、(12)代入式(8)，可以在[0,T]得到式(5)。證畢。

引理2 如果0<α<β/γ和d>0，則邊值問題(3)，(4)的唯一解u(t)滿足

u(t)≥0，t∈[0,T]

證明類似于文[4]引理2.2的證明，這里省略。

引理3 令α>β/γ和d≠0，則邊值問題(3)， (4)無正解。

證明類似于文[4]引理2.3的證明，這里省略。

引理4 如果u∈P, 那么

(ii)su(t)≤tu(s)，s,t∈[0,T]，s≤t

其中‖u‖=supt∈[0,T]|u(t)|。

證明(i)見文獻[10]。接下來證明(ii)成立。如果t=s， 結論顯然成立。如果s

即

tu(s)≥su(t)+(t-s)u(0)≥su(t)

證畢。

(i){x∈P(γ,θ,α,b,k,c):α(x)>b}≠?且x∈P(γ,θ,α,b,k,c),有α(Φ(x))>b;

(ii){x∈Q(γ,β,φ,h,a,c):β(x)

(iii)對任意x∈P(γ,α,b,c)且滿足θ(Φ(x))>k,有α(Φ(x))>b;

(iv)對任意x∈Q(γ,β,a,c)且滿足φ(Φ(x))

β(x1)

易知邊值問題(1)、(2)有解u=u(t)當且僅當u是算子方程

(13)

的不動點。

2 三個正解的存在性

固定l,w∈Τ且滿足η

則邊值問題(1)、(2)至少有三個正解u1(t)，u2(t)和u3(t)滿足

且

證明由條件(H1)，(H2)，(H3)容易驗證A:P→P是全連續映射。現在證明引理5中的條件對A成立。令u∈P，由 (5)，(13) 和引理2知，當t∈[0,T]有

(Au)(T)≥0；

(Au)Δ(t)≥(Au)Δ(T)=α(Au)(η)≥0

即(Au)(t)在[0,T]中是凹的，遞增且非負，由此知Au∈P。

γ(Au)=(Au)(η)=

由(H5)可知

即引理5的(i)成立。

有

由(H6)可知

β(Au)=(Au)(l)≤

則引理5中的(ii)成立。

最后驗證引理5中的條件(iv)成立。令u∈Q(γ,β,a,c)且

由引理4可知

引理5中的條件(iv)成立。

于是，由引理5可知A至少有三個不動點，即邊值問題(1)、(2) 至少有三個正解u1(t)，u2(t)，u3(t)，使得

且

證畢。

3 應用例子

t∈[0,1]

(14)

(15)

f(t,u)=f(u)=

容易驗證f(u(t))滿足定理1的所有條件, 則邊值問題(14)， (15)至少存在三個正解u1(t)，u2(t)，u3(t)。

參考文獻：

[1]BOHNER M, PETERSON A.Dynamic equations on time scales: an introduction with applications[M].Boston: Birkh?user, 2001.

[2]BOHNER M, PETERSON A.Advances in dynamic equations on time scales[M].Boston: Birkh?user, 2003.

[3]HONG S H.Triple positive solutions of three-point boundary value problems forp-Laplacian dynamic equations on time scales[J].Journal of Computational and Applied Mathematics, 2007, 206: 967-976.

[4]王培光, 王穎.時間尺度上二階動力方程三點邊值問題解的存在性[J].數學學報, 2007, 50(3): 701-706.

[5]SUN H R, LI W T.Multiple positive solutions forp-Laplacianm-point boundary value problems on time scales[J].Applied Mathematics and Computation, 2006, 182: 478-491.

[6]LIANG S H, ZHANG J H, WANG Z Y.The existence of three positive solutions ofmpoint boundary value problems for some dynamic equations on time scales[J].Mathematical and Computer Modelling, 2009, 49: 1386-1393.

[7]HAN W, LIU M X.Existence and uniqueness of a nontrivial solution for a class of third-order nonlinearp-Laplacianm-point eigenvalue problems on time scales[J].Nonlinear Analysis, 2009, 70: 1877-1889.

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[9]HE Z M, LI L.Multiple positive solutions for the one-dimensionalp-Laplacian dynamic equations on time scales[J].Mathematical and Computer Modelling, 2007, 45: 68-79.

[10]HE Z M.Double positive solutions of three-point boundary value problems forp-Laplacian dynamic equations on time scales[J].Journal of Computational and Applied Mathematics, 2005, 182: 304-315.