時變時滯模糊系統(tǒng)的時滯反饋控制*

郭 崗，閆曉婷，牛文生，朱 敏

(1．洛陽師范學院 信息技術學院，河南 洛陽 471022；2．中國航空計算技術研究所，陜西 西安 710068；3．西安通信學院 通信裝備管理系，陜西 西安 710106)

時滯經(jīng)常存在于許多實際系統(tǒng)中，它的存在常常會導致系統(tǒng)的不穩(wěn)定和性能的下降，時滯可分為兩類：時滯相關和時滯無關[1-9]。通常時滯相關較時滯無關有著較小的保守性。對于時變時滯模糊系統(tǒng)可用模型轉(zhuǎn)換來處理[7]，但它會導致結(jié)果的保守性。另外，上述成果大多數(shù)是基于單一的LKF[8-12]。單一的LKF要求所有的子系統(tǒng)要存在一個公共的正定對稱矩陣，這樣結(jié)果必然帶來保守性。同時上述結(jié)果多是采用無記憶狀態(tài)反饋[6-12]，對于時滯系統(tǒng)而言，無記憶反饋可能會失去系統(tǒng)時滯信息，從而也帶來保守性。

本文對一類帶有時變時滯的模糊系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析和設計提出了一個新方法，這種方法較以前文獻中所使用的方法具有更小的保守性。首先，定義一個新型模糊LKF，得到了開環(huán)系統(tǒng)的時滯相關穩(wěn)定性條件。在推導過程中，引入多個模糊的自由權值矩陣來表示系統(tǒng)方程中各個項及Leibniz-Newton公式中各個項之間的關系。其次，使用了并行分布補償算法，得到了閉環(huán)系統(tǒng)時滯相關的穩(wěn)定性條件，并設計出了時滯控制器。

1 系統(tǒng)描述

考慮一個由T-S模型描述的非線性時滯系統(tǒng),它的第i條規(guī)則可描述如下：

x(t)=φ(t),t∈[-τ,0]

i∈I:={1,2,…,s}

(1)

通過單點模糊化，乘積推理和中心平均反模糊化方法，模糊控制系統(tǒng)的總體模型為

Adix(t-d)+Biu(t))

(2)

2 模糊系統(tǒng)穩(wěn)定性分析和時滯控制器設計

2.1 開環(huán)模糊系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

考慮開環(huán)系統(tǒng)

(3)

考慮選取如下的模糊LKF

(4)

引入模糊自由權值矩陣(5),并對V(x(t))求導可得式(6)

(5)

這里的Nki,Mki,Ski,Yki,i∈I,k=1,2,3,4是待求的合適維數(shù)的常數(shù)矩陣。

(6)

由于Ri>0,i=1,2可知(6)式最后三項都是非正項，那么可知如果

定理1 對于給定的標量τ和ρ，如果存在著矩陣P>0,Qi≥0,R1i>0,R2i>0及Nki,Mki,Ski,Yki,i∈I,k=1,2,3,4滿足下列不等式

φlm1m2m3,ii<0l,m1,m2,m3,i,j∈I

(7)

i

(8)

則模糊系統(tǒng)(3)是漸近穩(wěn)定的。

其中

證明對于系統(tǒng)(3)，選取模糊LFK(4)。定義矩陣

s1∈[t-τ,t-d],s2∈[t-d,t],s3∈[t-τ,t]

(9)

顯然式(9)可表示為

由文獻[12]可知：由( 7)和(8)式成立，則可保證

(10)

根據(jù)Schur補定理，式(10)可以等價于

所以可知開環(huán)系統(tǒng)(3)漸近穩(wěn)定。

2.2 模糊控制器的設計

閉環(huán)系統(tǒng)可以表示為

(11)

s1∈[t-τ,t-d],s2∈[t-d,t],s3∈[t-τ,t]

(12)

其中

綜上分析，根據(jù)定理1可知，閉環(huán)系統(tǒng)(11)是漸近穩(wěn)定的。

其中

φlm1m2m3,ij=

(13)

證明由Kj=GjZ-1,Kdj=GdjZ-1，則Gj=KjZ,Gdj=KdjZ，代入(13)，可知

hm1(ξ(s1))hm2(ξ(s2))hm3(ξ(s3))·

s1∈[t-τ,t-d],s2∈[t-d,t],s3∈[t-τ,t]

根據(jù)文獻[14]，閉環(huán)系統(tǒng)(11)漸近穩(wěn)定。

3 數(shù)值仿真

考慮下面模糊系統(tǒng)[7]：

Ri: ifx1isMi

選取τ=1,ρ=0,λ1=0.1,λ2=1.1,λ3=0.23,λ4=7.1,根據(jù)定理2可以得到時滯反饋控制器的增益為

圖2 控制曲線

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