兩類高斯超幾何多項式零點的漸近分布*

周建榮，黃民海，王紅勇

(1. 佛山科學技術學院理學院數學系，廣東 佛山 528000；2. 肇慶學院數學與信息科學學院，廣東 肇慶 526061；3. 南華大學數理學院，湖南 衡陽 421001)

近年來，關于超幾何多項式零點漸近行為的研究引起了國內外許多專家學者的廣泛興趣和關注[1-4]。 對此類問題的研究通常有如下幾種方法：其一，基于2F1類多項式與經典的 Jacobi 正交多項式的聯系，可以獲得關于零點位置及其漸近分布等重要信息[5]。 其二，利用經典的復分析方法直接研究超幾何多項式零點的漸近行為[6]。 其三，從超幾何函數所滿足的歐拉積分替換出發，應用鞍點法導出其零點的漸近性質[7-8]。

本文從歐拉積分替換出發，采用經典的復分析方法探討了超幾何多項式2F1(-n,a;b;z)零點的漸近分布，進一步借助于 Pfaff 的恒等公式，得到了2F1(-n,λ;-n+μ;z)零點的漸近行為。此外，應用Mathematic軟件，給出了相關定理的直觀說明。

1 高斯超幾何多項式

高斯超幾何函數的定義如下：

(1)

其中

(ν)k=ν(ν+1)(ν+2)…(ν+k-1)=

是Pochhammer符號。當α=-n為負整數時，(1)中的級數退化為一個n次多項式，此多項式稱為高斯超幾何多項式。

高斯超幾何函數有如下歐拉積分替換

(1-t)γ-β-1(1-zt)-αdt,Re{γ}>Re {β}> 0

(2)

選取α=-n，β=a>0并且γ=b>a，則有

(3)

2 零點的漸近分布

以下，我們基于高斯超幾何函數的歐拉積分替換(2)，采用經典的復分析方法，得到了超幾何多項式2F1(-n,a;b;z)零點的漸近分布(定理1)，進一步借助于 Pfaff 的恒等公式 (13)，得到了2F1(-n,λ;-n+μ;z)零點的漸近行為(定理2)。

定理1 對任意常數b>a>0，超幾何多項式2F1(-n,a;b;z)的零點漸近分布于如下曲線|z-1|=1,n→∞。(如圖1)

圖和的零點及漸近曲線(x-1)2+y2=1

證明為了討論2F1(-n,a;b;z) 零點的漸近行為，需先得到如下積分的漸近展開式

(4)

其中f(t)=1-zt。令

(5)

首先計算I1(z)，作變量替換r=1-zt，從而有

(6)

由于

(z-1+r)b-a-1=zb-a-1·

從而，I1(z)有如下漸近展開式

(7)

(8)

由于

因此，I2(z)的漸近展開式為

(9)

由(3)-(5)式，可知2F1(-n,a;b;z)的每一個零點均滿足

I1(z)+I2(z)=0

(10)

(11)

式(11)兩邊取模并且開n次方，容易得出，當n→∞時，

|z-1|=1

(12)

引理1 (Enestrom-Kakeya Theorem[9]136) 若0

為了方便起見，我們將用到如下的 Pfaff 恒等公式[10]

2F1(-n，α；-n+1+α-β；1-z)

(13)

定理2 對任意的常數λ>0且μ<1，超幾何多項式2F1(-n,λ;-n+μ;z)的零點漸近分布于單位圓周: |z|=1。而且當0<μ<1，λ>1時，其所有零點均在單位圓盤: |z|<1之內；當μ<0，0<λ<1時，其所有零點均在單位圓盤:|z|<1之外(如圖2)。

圖和的零點及漸近曲線x2+y2=1

證明式(13)的左邊令α=λ，β=-n+μ可得

(14)

(15)

(16)

由(14)式和定理2，容易得出如下推論。

推論1 (i)當1

(ii)當0

參考文獻：

[1]DRIVER K, JORDAAN K. Separation theorems for the zeros of certain hypergeometric polynomials [J]. J Comput Appl Math, 2007, 199: 48-55.

[2]DRIVER K, JORDAAN K. Pólya frequency sequences and real zeros of some3F2polynomials [J]. J Math Anal Appl, 2007, 332: 1045-1055.

[4]DOMINICI D, DRIVER K, JORDAAN K. Polynomial solutions of differential-difference equations [J]J Approx Theory,2011 163:41-48

[5]DRIVER K, DUREN P. Zeros of the hypergeometricpolynomialsF(-n,b;2b;z) [J]. Indag Math (New Ser), 2000, 11: 43-51.

[6]DRIVER K, M?LLER M. Zeros of the hypergeometric polynomialsF(-n,b;-2n;z) [J]. J Approx Theory, 2001, 110: 74-87.

[7]BOGGS K, DUREN P. Zeros of hypergeometric functions [J]. Comput Methods Funct Theory, 2001, 1: 275-287.

[8]DUREN P, GUILLOU B J. Asymptotic properties of zeros of hypergeometric polynomials [J]. J Approx Theory, 2001, 111: 329-343.

[9]MARDEN M. Geometry of polynomials [M]. American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 1996.

[10]ANDREWS G, ASKEY R, ROY R. Special function，encyclopedia of mathematics and its applications [M]. Cambridge: Cambridge University Press, 1999.