隱形的翅膀——“二次函數與一元二次方程”送教下鄉教學實錄與點評

224200 江蘇省東臺市實驗中學教育集團 李長春

1 引言

數學教學有兩條線，一條是數學知識教學的明線，一條是數學思想方法滲透的暗線.數學知識的學習是基礎，數學思想方法的形成是基礎知識的升華，是將數學知識的學習引向深入.初中階段學習數學，除了掌握必須的“雙基”，還要了解數學知識的生成背景和發生過程，深入體會其中的思想方法，從有形的數學知識中探尋無形的數學思想方法，讓數學思想方法轉化成“隱形的翅膀”，完成數學學習中的智慧托舉.

筆者在最近一次送教下鄉活動中執教了一節課——“二次函數與一元二次方程”(蘇科版《義務教育課程標準實驗教科書·數學》九年級下冊第6.3節)，現以該課的教學實錄為例，談談數學思想方法在教學中的滲透.

2 教學片段實錄與點評

2.1 創設情境 發現問題

(課前，多媒體播放歌曲《隱形的翅膀》，不少學生跟著旋律哼唱.)

師：李老師來自東臺市實驗中學.今天在時堰鎮中學和大家一起交流、學習，我有一種特別親切的感覺，為什么這么說呢?

(大屏幕上顯示：東臺市時堰鎮中學、東臺市實驗中學)

師：大家一起將兩個校名讀一遍.

生(齊讀)：東臺市時堰鎮中學，東臺市實驗中學.

師：哪位同學發現其中的奧妙?

生1：“時堰”和“實驗”讀音相同.

師：對了!“時堰”和“實驗”讀音相同，用數學的眼光看，“時堰”和“實驗”讀音不僅相似，而且全等.難道這就是傳說中的“緣分”?

師：我們剛剛學習了二次函數，請大家思考，在本學期所學的內容中，有哪個章節的內容和“二次函數”特別有“緣分”，聯系較密切?

生(齊答)：一元二次方程!

師：下面和大家一起來學習第6.3節“二次函數與一元二次方程”.

點評通過兩校校名的讀音相同，引出課題：“二次函數與一元二次方程”，不僅能拉近師生之間的距離，激發學生學習的興趣，還滲透了類比的數學思想，暗示著本節課探究的這兩個“二次”之間也有著很深的淵源.

2.2 合作交流 探索問題

探究1求二次函數y=x2-2x-3的圖象與x軸的公共點坐標.

師：請同學們畫出二次函數y=x2-2x-3的圖象，仔細觀察拋物線與x軸的公共點情況，它與一元二次方程x2-2x-3=0的兩個實數根之間有什么聯系呢?

生2：令y=0，可得x2-2x-3=0，解得x1=-1，x2=3.所以二次函數y=x2-2x-3的圖象與x軸的公共點坐標是(-1，0)和(3，0).

經過各位同學在準備好的網格紙上的畫圖(如圖1)，得出結論：拋物線與x軸的公共點橫坐標-1，3，即為一元二次方程x2-2x-3=0的兩個實數根.

圖1

點評“探究1”從“函數值為0”著手，溝通了二次函數與相應的一元二次方程之間的關系，①從函數關系式看，當二次函數y=x2-2x-3中的函數值y取特殊值0時即得到一元二次方程x2-2x-3=0;②從一元二次方程x2-2x-3=0的根的幾何意義看，一元二次方程x2-2x-3=0的兩實數根即為二次函數y=x2-2x-3的圖象與x軸的公共點的橫坐標，滲透了數形結合、從特殊到一般的數學思想方法，也體現了對立統一的辯證思想.

2.3 理性概括 構建新知

在老師指導下探究更一般的情形.

探究2一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個不相等的實數根x1，x2，那么二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸有沒有公共點?如果有，那么有幾個公共點?并說出公共點的坐標.

生3：有兩個公共點，坐標為A(x1，0)，B(x2，0).

注如圖2，老師適時地把圖1中的A，B兩點的橫坐標換成圖2中的x1和x2，讓學生結合圖形進行歸納，既能體現數形結合的數學思想方法，又能體會到從特殊到一般的思維方式.

圖2

點評學生經歷過“探究1”的特殊問題的探索，已經積累了一定的經驗，歸納出一般性的結論已經水到渠成，通過探索，其重點放在引導學生體驗從具體到抽象、從特殊到一般的思維方法上.

師：反過來，如果二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸有兩個公共點A(x1，0)，B(x2，0)，那么，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情況如何?

生4：有兩個不相等的實數根x=x1，x=x2.

師：對，這就是說“如果二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸有兩個公共點A(x1，0)，B(x2，0)，就等價于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個不相等的實數根x1，x2”.而一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情況又可以根據什么式子進行判斷呢?

生5：根的判別式.

師：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個不相等的實數根x1，x2，則根的判別式的符號如何?

生6：大于 0.

師：正確，我們可以把它們之間的關系歸納如下表：

二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸有兩個公共點?一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個不相等的實數根?根的判別式的符號b2-4ac＞0

點評把二次函數的圖象與x軸有兩個公共點、一元二次方程有兩個不相等的實數根以及b2-4ac＞0三者關系由特殊到一般進行分析，最后歸納，大有瓜熟蒂落之感!并且三者之間關系緊密，用“等價于”符號相連接，體現了轉化的數學思想方法.

2.4 實踐應用 類比創新

師：經歷了上述探究過程，我們已經基本學會了如何探索二次函數的圖象與x軸公共點的情況以及相應的一元二次方程根的情況這兩者之間的關系.下面，請大家分組合作，完成探究，并把本小組討論的最后結果歸納到數學探究報告單上.

數學探究報告單(一)

數學探究報告單(二)

點評 由于在“探究1”、“探究2”中，學生已經學會了探究問題的方法，故后面的兩個問題可以放手讓學生分小組在合作過程中運用類比的方法繼續進行探究，老師對有困難的小組適時進行引導、點撥，并以數學探究報告單的形式按“由特殊到一般”、“類比”的數學思想方法進行歸納，然后以小組代表匯報的形式上臺進行陳述，老師及時補充、小結、鼓勵，使學生逐步形成技能.

2.5 歸納小結提煉升華

師：同學們，經歷了前面三組問題的探究，我們已經體會了哪些數學思想方法?

生7：數形結合.

生8：分類討論.

生9：從特殊到一般.

生10：類比的思想.

師：這節課的課題是“二次函數與一元二次方程”，當然蘊含函數思想和方程思想.通過上面的探究，你能把我們剛剛得到的成果完整地歸納一下嗎?

生11：拋物線與x軸的公共點個數與一元二次方程根的判別式Δ之間的關系(如圖3)：

(1)拋物線與x軸有兩個公共點?Δ＞0;

(2)拋物線與x軸只有一個公共點?Δ=0;

(3)拋物線與x軸沒有公共點?Δ＜0;

筆者拿出一根粗電線做成的“拋物線”，配合生11在黑板上進行拋物線的平移演示(主要目的是讓學生進一步體會拋物線與x軸的公共點的個數)，然后帶著滿臉的疑惑問：如果拋物線的開口方向向下呢?

生12：同樣的只需要看其與x軸的公共點的個數就能知道相應的一元二次方程的解的情況，也即知道根的判別式Δ與0的大小關系.

點評 讓學生對照圖形進行歸納，體現了數形結合的數學思想方法，平移“拋物線”，演示其與x軸的不同位置還體現了分類討論的數學思想方法;通過圖3中的拋物線開口向上的情況進行歸納，然后提問開口向下時有何結論，體現了類比的數學思想方法，在這些數學思想方法的引領和滲透下，讓學生把探究的過程、形成的結論進行歸納，學生的感受當然很“自然”.

圖3

師：同學們，課前大家欣賞的是什么歌曲?

生(齊答)：《隱形的翅膀》.

師：大家會唱這首歌嗎?

學生齊答會唱.

師：今天這一節課我們運用了不少的數學思想方法來解決問題，這些數學思想方法就像“隱形的翅膀”，能幫助我們解決問題，能使我們的思維自由飛翔.老師將歌曲中的兩句歌詞改動了兩個字.

(大屏幕上顯示“我看見，每天的‘習題’也會有變化，我知道，我一直有雙隱形的翅膀”，學生充滿激情地齊唱.)

師：大家唱得太好了!同學們，我們已經學得“本領”，應該到了大顯身手的時刻了，讓我們試試數學思想這個“隱形的翅膀”，怎樣助你飛翔，請運用所學知識解決下列問題.練習(略)

3 教學內容的簡略分析

新課程標準下的數學教材，既保留了數學的基礎知識與基本技能的系統學習與訓練，同時又充分體現了數學知識的背景、知識的發生與發展過程，重視蘊含于數學知識發生、發展過程中的思想方法.如何處理好“有形”的數學“雙基”教學與“無形”的數學思想方法的形成、發展之間的關系，讓學生真正地學會兩條腿走路，是目前中學數學教學值得研究的課題!

在本課例中，函數與方程都是刻畫現實生活中數量關系的數學模型.研究函數時，我們研究的是函數關系的表述、函數的圖象和性質以及函數的應用;研究方程時，我們研究的是不同類型的方程的解法及其應用，通過本節課的學習，能讓學生深刻體會到兩者之間實際上是互通的，是一般和特殊的關系，讓學生感受到兩者之間“對立統一”的辯證思想，從而達到三個教學目標：

(1)體會二次函數與一元二次方程之間是一般和特殊的關系;

(2)理解二次函數的圖象與x軸公共點的個數和一元二次方程的實數根的個數之間的關系;

(3)理解一元二次方程的實數根就是相應的二次函數的圖象與x軸公共點的橫坐標.

筆者對“二次函數與一元二次方程”這一節的教學內容處理上以其滲透的數學思想方法為主線，引導學生體驗從具體到抽象、從特殊到一般的思維方式，讓學生在合作中探究，在探究中升華.在具體教學過程中，注重從數學知識的本質特征和內在聯系兩個方面組織學生進行探究，引導學生從二次函數的圖象與x軸的位置關系、一元二次方程是否有實數根、有怎樣的實數根的內在聯系上來理解兩者之間的關系，帶領學生通過探索活動，從“發現”知識的過程中發展思維能力，掌握兩者關系.事實證明，這是一節設計和實踐都比較成功的課例.

4 教學方法的理論依據

課程標準指出：“數學教學活動必須建立在學生認知發展水平和已有的知識經驗基礎之上.教師應激發學生的學習積極性，給學生搭建數學實踐的平臺，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數學知識與技能、數學思想和方法，獲得廣泛的數學活動經驗.”評價一堂數學課的質量，首先要關注教學過程是否揭示了數學的本質，讓學生理解數學內容的精神.這里所說的本質與精神，就是數學思想方法.由于數學思想是以數學內容為載體的對數學內容的一種本質認識，是一種隱性的知識，所以學生要領悟理解并掌握運用數學思想，就需要教師精心設計課堂教學內容，并引領學生“下水”實踐，從而提煉歸納，形成技能，學為所用.

本節課的教學設計分三個層次：首先是引入;其次是引導，讓學生探索二次函數的圖象與x軸有兩個公共點、一元二次方程有兩個不相等的實數根以及b2-4ac＞0三者的關系，由特殊到一般進行分析、歸納，接著后面的兩個類似的問題，在類比思想的立意下，放手讓學生分小組在合作過程中運用類比的方法繼續進行探究，并以數學探究報告單的形式分小組陳述探究成果;最后是應用，靈活運用所學知識解決實際問題.三個層次構建了層層深入的探求鏈條，其中知識內容是數學思想的教學載體，沒有載體，也就沒有思想;第二個探究活動是整個教學過程的核心，數學思想和方法在這個過程中也就如同宣紙上的水墨畫一樣慢慢浸潤生成.當然在整個教學活動中，自始至終都是在凸顯隱形的數學思想和方法.充分體現了數學思想的三大特點：隱喻性、過程性和概括性.

5 隨感隨想

這節送教下鄉課，課堂氣氛和諧，師生互動自由，學生學得輕松、用得自如，教學效果明顯.之所以能夠達成預期的教學目標，不外乎以下幾點原因：

(1)吃透教材

新課標要求授課老師應當用教材“教”，而不是“教”教材.教師不能認為讓教材再現就是完成了教學任務，必須根據具體內容、具體學情，對教材進行再加工、再創造，為學生量身定做，使教材“新鮮出爐”，最大程度地把知識的教學滲透在培養態度、能力的過程之中.一節課的成功離不開教者對教材的“精心”處理.

(2)導課激趣

通過“時堰中學”和“實驗中學”的讀音相同，引出課題“二次函數與一元二次方程”，可謂獨具匠心，別出心裁.從課堂氣氛來看，這樣的設計能充分激發學生的好奇心，有效地調動學生學習數學的積極性，為漸入課堂佳境做鋪墊，達到了預期的效果.(課本的處理是開門見山，直接提問：二次函數y=x2-2x-3與一元二次方程x2-2x-3=0有怎樣的關系?)

(3)精選例題

本節課補充的練習都具有很強的針對性和代表性.

(4)浸潤思想

在數學思想的指引下探究二次函數y=x2-2x-3的圖象與x軸的公共點坐標以及一元二次方程x2-2x-3=0的根，通過函數關系中自變量與函數值的對應關系，從而得出拋物線與x軸公共點的橫坐標即一元二次方程的實數根，并依此推廣至一般情形，最后學以致用.縱覽全課，教者先后滲透了數形結合、分類討論、類比、轉化、由特殊到一般的數學思想方法以及對立統一的辯證唯物主義思想等.

1 教育部.全日制義務教育數學課程標準(實驗稿)［M］.北京：北京師范大學出版社，2001

2 楊裕前，董林偉.義務教育課程標準實驗教科書·數學(九年級上冊)［M］.南京：鳳凰出版傳媒集團，江蘇科學技術出版社，2007

3 涂榮豹，季素月.數學課程與教學論新編［M］.南京：江蘇教育出版社，2007

4 張奠宙，宋乃慶.數學教育概論［M］.北京：高等教育出版社，2009

5 沈文選，楊清桃.數學思想領悟［M］.哈爾濱：哈爾濱工業大學出版社，2008

6 何志平，李海東.立意于數學思想的教學［J］，中學數學教學參考(中旬刊)2011，3