相交圓內(nèi)接蝶形的等積性質(zhì)

366100 福建省大田第一中學(xué) 田富德 吳賽瑛

相交圓內(nèi)接蝶形的等積性質(zhì)

366100 福建省大田第一中學(xué) 田富德 吳賽瑛

筆者對相交圓內(nèi)接蝶形進行探究時，得到了兩個有趣的等積性質(zhì).

為了陳述方便，先給出定義如下：

定義 兩圓相交，若一個圓的圓弧含于另一個圓內(nèi)，則稱此段圓弧為該圓的內(nèi)弧;若一個圓的圓弧不含于另一個圓內(nèi)，則稱此段圓弧為該圓的外弧.其中內(nèi)弧和外弧均不包含兩圓交點.如圖 1所示，為⊙O2的內(nèi)弧，為⊙O1的外弧.

定理1 ⊙O1與⊙O2相交于A，B兩點，過A的直線分別交⊙O1與⊙O2于F，E，過B的直線分別交⊙O1與⊙O2于D，C，若線段CD和線段 EF不相交，CF交DE于 M，則 S△CDM=S△EFM.

證明 易知C，D至多一點在內(nèi)弧，E，F(xiàn)至多一點在內(nèi)弧.

(1)若 C，D，E，F(xiàn) 均在外弧上，如圖 1所示，連接CE，AB，DF，

因為 A，B，D，F(xiàn) 四點均在⊙O1上，

所以∠AFD=∠ABC.

因為 A，B，C，E 四點均在⊙O2上，

圖1

(2)若 C，F(xiàn) 在內(nèi)弧上，D，E在外弧上，如圖2所示，

連接 AB，DF，CE，

因為 A，D，B，F(xiàn) 四點均在⊙O1上，

圖2

(3)若 D，F(xiàn)在內(nèi)弧上，C，E在外弧上，如圖3所示，

連接 AB，DF，CE，

因為 A，B，F(xiàn)，D 四點均在⊙O1上，

所以∠BDF=∠BAF.

因為 A，B，E，C 四點均在⊙O2上，

(4)若F在內(nèi)弧上，C，D，E在外弧上，如圖4所示，

圖3

若 C，D，E，F(xiàn) 其中一點在內(nèi)弧，另三點在外弧，同上可證 S△CDM=S△EFM.

綜上，定理1得證.

定理2 ⊙O1與⊙O2相交于A，B兩點，過A的直線分別交⊙O1與⊙O2于F，E，過B

的直線分別交⊙O1與⊙O2于D，C，若線段CD和線段EF 相交于 M，連接 CF，DE，則 S△CFM=S△EDM.

證明 易知C，D至多一點在內(nèi)弧，E，F(xiàn)至多一點在內(nèi)弧.

圖4

(1)若 C，D，E，F(xiàn) 均在外弧上，如圖5所示，

連接 AB，CE，DF，AC，BE，

因為 A，B，D，F(xiàn) 四點均在⊙O1上，

所以∠AFD=∠ABC.

因為 A，B，E，C 四點均在⊙O2上，

所以∠CAE=∠CBE及∠ABE+∠ACE=180°.

(2)若D，F(xiàn)在內(nèi)弧上，C，E在外弧上，如圖6所示，

連接 AB，DF，CE，AC，BE，

圖5

若C，E在內(nèi)弧上，D，F(xiàn)在外弧上，

同上可證 S△CFM=S△EDM.

若C，F(xiàn)在內(nèi)弧上，D，E在外弧上，線段CD和線段EF不相交，與條件矛盾.

若D，E在內(nèi)弧上，C，F(xiàn)在外弧上，線段CD和線段EF也不相交，與條件矛盾.

圖6

(3)若 F在內(nèi)弧上，C，D，E在外弧上，如圖7所示，

連接 AB，DF，CE，

因為 A，F(xiàn)，B，D 四點均在⊙O1上，

所以∠BAF=∠BDF.

因為 A，B，E，C 四點均在⊙O2上，

若C，D，E，F(xiàn)其中一點在內(nèi)弧，另三點在外弧，同上可證 S△CFM=S△EDM.

綜上，定理2得證.

圖7

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