裝水后,游泳池底仍是水平的嗎?——利用Excel軟件分析視深度問題

薛 峰

(蘇州立達中學,江蘇 蘇州 215002)

問題:如果你站在一個裝滿水、并且池底是水平的游泳池邊,你所看到的池底是否仍是水平的?

這個問題的答案是否定的,裝滿水的游泳池池底看上去是傾斜的.盡管多數人都去過游泳池,但很少有人注意到這個現象,我們可以用如下的實驗再現這一現象.

實驗:用加滿水的長方體塑料盒模擬游泳池,用數碼照相機模擬人眼進行實驗,拍攝照片如圖1所示,從照片中可以看出“池底”不是水平的,而是呈現斜坡狀.同樣,用兩個相同的長方體塑料盒進行實驗,則可以對比裝水前后“池底”的情況.如圖2所示,左側盒中未裝水,右側裝滿水,從圖中不僅可以看到“池底”是傾斜的,還可以看出整個“池底”看上去明顯變淺了.

圖1

圖2

裝水后的“池底”看上去變淺了,這被稱為“視深度”現象,它是初中物理中有關光的折射的一個重要知識點,其基本內容是“人在空氣中看到水中物體比其實際位置高”,在學習了光的折射規律后,學生可以通過畫出典型光路圖(如圖3)解釋這一現象.在圖 3中,若點A是水中某物體上的一點,它發出光線穿過水面進入人的眼睛里,人便能看到點A,但由于光在水面發生了折射,人眼的定位功能將折射光線的反向延長線的交點(A′)認為是A的位置,而實際上 A′只是A的虛像,它在水中的位置比點A高.如果點A恰好是游泳池底上的一點,那么,點A′便直觀地說明了裝水后的“池底”為什么看上去變淺了.但是如果就此認為池底上每一點的視深度都和點 A′相同,從而把過點A′的水平虛線MN看成整個“池底”的像的話,就大錯特錯了.這里需要討論到水中某物體的視深度是否變化這一問題.

圖3

猜想:在水中物體和水面都不變的情況下,很容易猜想到水中物體的視深度可能會隨光路圖中兩根光線的入射角度的變化而變化.

圖4

分析1:為了便于分析,首先對光路作一些簡化:如圖4所示,假設A是水中的一個物體,它發出兩根光線,其中一根光線垂直于水面入射,則它的折射光線不改變方向,折射光線的反向延長線和入射光線重合;我們只需要根據另一根光線的光路就可以確定A物體的像A′的位置,設另一根光線的入射角為i,對應折射角為 r,A物體實際深度h=OA=10 cm,其虛像A′的深度(即視深度)為H=OA′.查表得水的折射率約為n=1.33,空氣折射率近似為1.

由幾何關系可知

將(1)、(2)代入(3)式,可得

利用Excel軟件可以快速而簡便地作出H與i的函數圖像,具體做法如下:

(1)在 Excel中新建一個工作表(如表 1),第1行至第3行分別表示入射角i、折射角r和視深度H.

表1

(2)入射角i以3°為間隔增加(輸入幾格后可通過拖動實現),但有兩點要注意:①起點不能設為 0°,因為當i=0°時,圖4中的兩根光線重合,交點不能確定,所以此處起點設為0.1°.②因為光從光密媒質向光疏媒質傳播,會產生全反射現象,根據計算可知臨界角約為48.75°,所以這里入射角 i以48°為終點.

(3)在B2單元格中輸入“=ASIN(1.33*SIN(B1*PI()/180))*180/PI()” ,表示公式“γ=arcsin(nsini)”,這里要注意角度與弧度之間的轉換.

(5)選定單元格 B2:B3,拖動至 R2:R3,各單元格內的計算即刻完成.

(6)選中 A1:R1和 A3:R3中的數據,再點擊插入菜單中的“圖表”,然后在圖表類型中選擇“XY散點圖”,并在子類型中選擇“無數據點平滑線散點圖”,再按幾次下一步,就可以得到視深度H與入射角i的函數圖像,即H-i曲線(如圖5).

(7)選中 A1:R1和 A2:R2中的數據,同樣也可作出視深度H與折射角r的函數圖像(H-r曲線,如圖6)

圖5

圖6

從以上兩圖可以得出結論:在空氣中看水中物體的視深度不是一個定值,它會隨著入射角和折射角的變化而變化;入射角i越大,視深度 H越小(如圖5);折射角r越大,視深度H越小,或者說視線和豎直方向角度越大看到水中物體的深度越淺(如圖6).

分析2:利用上述結論就可以解釋游泳池底為什么看上去是傾斜的.如圖7所示,點S是游泳池邊觀察者的眼睛,A、B、C是水平池底上的3個點,它們發出的光線在水面發生折射后進入觀察者眼睛S,觀察者所看到的像分別是 A′、B′、C′.由于 A、B、C3點到觀察者的水平距離不同,則人看到這3點的視線與豎直方向的角度也不同,由幾何知識可知,圖中3個折射角的大小關系為∠4＞∠5＞∠6,即離觀察者越遠的點所對應的折射角越大,根據從圖6中得到的結論——折射角 r越大,視深度H越小,可知游泳池底的某點離觀察者水平距離越遠,它的視深度就越淺(如圖7中A′、B′和 C′所示),這樣本來水平的“池底”看起來應呈一個斜坡狀,如圖7中的虛線M N所示.

圖7

在實驗過程中,通常還會發現這樣一個現象:照相機鏡頭離水面越近,所拍攝到的“池底”傾斜的現象越明顯;相反,如果觀察者眼睛離水面過高,有時幾乎察覺不到“池底”是傾斜的.換言之,即當視線和豎直方向角度越大時,“池底”傾斜的現象越明顯.

要解釋這一現象,只需要再次用到上面的函數圖像(如圖6),但要進一步挖掘出圖像中視深度H關于折射角r的變化率大小的問題,這是中考圖像分析題中經常考到的一類問題,學生經過觀察能發現,視深度H的變化量隨折射角r的增大而增大的規律.進而可知當觀察者眼睛離水面越近時,也就是進入眼睛的折射光線的折射角r越大時,“池底”的視深度隨折射角變化得越快,因此“池底”的傾斜程度也越大.這一現象很好地說明了為什么多數人站在游泳池邊不易發現“池底”是傾斜的,而為了更明顯發現這一現象,可以選擇蹲在或趴在泳池邊.

對分析1中所作簡化的再討論:在分析1中,為了使問題簡化,假定一根光線總是垂直于水面入射,只需分析另一根光線的入射角度即可.這一簡化雖然并不妨礙解釋“池底”傾斜的成因,但畢竟與實際情況有所出入,簡化結果使畫出的像A′始終位于A的正上方;但實際上,人眼瞳孔很小,一般正常成人瞳孔在彌散自然光線下的直徑大約在2.5 mm到4.0 mm之間,因此只能讓很窄的光束通過,多數情況是看不到垂直入射的光線的,這就會造成所成的像在水平方向上有一個側移.如圖 8所示,L1和 L2表示剛好進入瞳孔的光束中最下沿和最上沿的兩根光線,根據上述簡化分析可知,由 L1和 L2找到的像分別位于圖中A1和A2,但實際上人眼只能根據能進入瞳孔的光線L1和L2的反向延長線將像定位于圖中A′點,這樣虛像就不在物體的正上方,而發生了側移,不過側移量微小,不易覺察.此處限于篇幅,就不對這個問題深入展開了.

圖8