一維光子晶體光學性質的一種簡化分析方法

羅 杰 須 萍 高 雷

(蘇州大學物理科學與技術學院,江蘇蘇州 215006)

近年來,光子晶體是光子學與光學工程研究中的熱門課題,因為其擁有可以如人所愿地控制光子的運動的特點,而光子器件的研究和發展直接影響光通訊業的發展,所以對光子晶體的研究是有價值的.光子晶體是在1987年由John和Yablonovitch提出來的[1,2]一類在光學尺度上折射率周期性變化的人工設計和制造的晶體,與半導體晶格對電子波函數的調制相類似,光子晶體能夠調制具有相應波長的電磁波,其重要特性是光子帶隙和光子局域化的現象.其中光子局域效應是電子局域化的光子學模擬.

一維光子晶體在結構上最為簡單,實驗上易于制備,傳統的多層膜就可以看作一維光子晶體.對于一維光子晶體,其內部存在著前進波與后退波的強烈的干涉作用,導致了其內部存在光子局域效應,如果光強局域在光學活性物質中,活性物質的光學效應將會得到增強,這是因為光的絕大部分能量集中的發生局域的地方,光與物質之間的相互作用主要在這里發生,而光強是局域在晶體內何處,則要考慮到整體結構與組成晶體的介質的性質.

研究一維光子晶體的理論方法主要有傳輸矩陣法[3,4]、時域有限差分法[5]和平面波展開法[6]等.但這些方法都是從電動力學基本觀點出發,側重于復雜的數值計算,而不能以一種直觀的方式幫助我們理解光子晶體的基本光學性質,我們往往要通過大量的數值計算結果對比來總結出一些光子晶體的重要性質,而本文將基于光學中的一些基本概念和規律,來討論一維光子晶體中各介質層對入射光的作用,進而以一種直觀的方式來對一維光子晶體光學性質做出分析,這就使得我們能夠以光學中的一些簡單、容易理解的概念和規律來解釋電動力學中的這一復雜的前沿問題,本文提出的分析方法淺顯易懂,因而有助于我們直觀地理解數值計算中的一些重要結果.

本文第1部分通過光學中的基本規律解釋了單一介質層對光的作用,第2部分基于第1部分的結論討論了兩種典型結構的一維光子晶體(A/B)和(A/B)/C(B/A)＾m的光學性質,并基于這些討論分析了(A/B)/(C/D)＾m型結構的光學性質,在前兩種光子晶體中,A、B、C都為均勻、線性且各向同性的無損耗的電介質,A、B的光學厚度取的光學厚度取其中 λ0為中心波長.本文所考慮的都是正入射而且光子晶體的處于真空中的情形.

1 理論基礎

1.1 單一介質層與基質間反射、干涉性質.

圖1

圖2

表1 單一介質層與基質間反射、干涉性質

如果介質層兩側基質的折射率不同時大于或小于該介質層的折射率,通過與上面類似的分析方法可以得到表1.

1.2 單一介質層內的多次反射、干涉性質

對于一個處于基質中的單一介質層,除了介質層與基質間的反射、干涉現象外,在介質層的內部還存在著反射與干涉現象.

當一介質層兩側基質的折射率同時大于或小于該介質的折射率,且該介質層的光學厚度取時,如圖2所示,介質層 C中入射光i先后經界面2、1反射回到介質 C中,對于中心波長,光 i′與入射光i在界面 2處相位相差2π或4π(介質層的折射率大于兩側基質折射率時,在界面1和2處反射都存在半波損失),即前進波與內反射前進波干涉相長,這時該介質層對于中心波長可以看作是增透層;當介質層的光學厚度取時,對于中心波長,該介質層中光 i′與入射光i在界面2處的相位相差 π或3π,這時該介質層對于中心波長可以看作是增反層.

如果介質層兩側的基質的折射率不同時大于或小于該層的折射率,通過與上面類似的分析方法可以得到表2.

表2 單一介質層內的多次反射、干涉性質

通過表1和表2的對比可以發現,當一個單一介質層的光學厚度不變,且所處環境與入射光的波長一定,則該介質層與基質間的反射、干涉作用就與其內部的反射、干涉作用相同.

根據干涉理論,當通過介質層的光的波長遠離中心波長時,原先的增反層會隨著波長的遠離逐步轉化為增透層,如果波長繼續遠離,增透層又會轉化為增反層,實際上,特定介質層對光的作用效果會隨著入射光波長相對中心波長的遠離而發生周期性變化.

2 光子晶體

2.1 (A/B)＾n型光子晶體

2.1.1 禁帶

在該晶體中,除了其最外側的兩介質層外,對于中心波長,其他的介質層均可以看作是增反層,而最外側的介質層會因為基質的不同而等效成不同的情形,由于邊界層層數相對中心層層數少得多,因而可以忽略邊界層的影響,因此(A/B)＾n型光子晶體可以看作是由周期性增反層疊加而成,進而等效簡化為單一的特殊的增反層,其特殊之處在于該結構能夠對中心波長以及其鄰域內的一段波長的光都起著強烈的增反作用,形成以中心波長為中心的透射禁帶,但隨著入射光波長相對中心波長的遠離,增反作用減弱,而增透作用逐漸變強,隨著波長的繼續遠離,介質層的等效作用將發生周期性改變,形成多級禁帶.

2.1.2 通帶

隨著入射波長相對中心波長的遠離,光在各介質層中的光程將發生變化,介質層的增反作用將較小,并逐漸起到增透作用,形成透射通帶,與禁帶類似,存在著多級通帶.

各級通帶頻率中心分別為2kω0(k=1,2,3,…),因為這時晶體內各介質層才能夠起到增透層的作用.

總的來說,(A/B)＾n結構的光子晶體可以看作是一個單一的特殊的增反層,其特殊之處在于該等效增反層對以特定波長為中心的一段波長的光都可以起到近乎100%的增反作用,形成透射禁帶,而一般的增反層只能對于某一特定的波長起到近乎100%的增反作用.禁帶的主要影響因素是調節參數 φ、重復數 n以及中心波長λ0.

2.2 (A/B)＾n/C(B/A)＾m 型光子晶體

該結構相比于結構(A/B)＾n,相當于多了一個缺陷層C.從透射曲線圖3可以看出,該結構同樣存在著透射禁帶與通帶,這個是由缺陷層 C兩側的等效增反層產生的,因而禁帶與通帶的性質主要由兩側的等效增反層決定.由于缺陷層C的存在,中心波長處的入射光有很高的透射率.缺陷層C的光學厚度為,且其兩側的相鄰介質相同,所以,對于中心波長,該缺陷層起到了增透的作用,該結構可以看作是“等效增反層/增透層/等效增反層”的類似法布里-珀羅共振腔的結構,使得圖3所示的透射曲線中心波長處存在透射尖峰;同時該結構能夠使得光多次通過缺陷層,并在缺陷層的邊界處干涉相長,最終光強在缺陷層及其兩側相鄰的介質中有很強的局域,這一點從圖4中可以看出.

因為禁帶的主要性質取決于兩側的等效增反層的性質,而這正是2.1所討論的,下面將主要討論禁帶中中心波長處透射尖峰的性質.

圖3

圖4

2.2.1 重復數n和m

在該結構中,一般取 n=m,因為這樣,中心缺陷層處于幾何中心位置,可以使得光能夠盡量多次地通過中心增透層,從而使其增透作用增強,透射尖峰變高,局域效應也同時變強.

文獻[7]通過傳輸矩陣法給出了精確的數學證明,發現當n=m 時,該結構可由“等效增反層/增透層/等效增反層”結構進一步等效簡化為一般的單一的介質層,這樣消除了晶體內的內反射,當不考慮介質的吸收時,該結構在中心波長處的透射率可以達到100%,如果n≠m,對稱性將被破壞,則該結構只能看作是至少兩種介質的組合,則必定存在一定的內反射,中心波長的透射率將會減少.另外,文獻[7]還利用有效界面法證明了這一結論.

2.2.2 缺陷層的光學厚度

值得注意的是,缺陷層的光學厚度的改變基本不影響該結構的禁帶的寬度,這是因為禁帶是由缺陷層兩側的等效增反層產生的.

圖5

2.2.3 介質的吸收

介質的吸收導致透射尖峰高度的下降,介質的吸收系數過大可能使得晶體的光學性質不滿足實際應用的設計要求,所以在設計光子晶體時要根據實際要求來選擇材料.

2.3 (A/B)＾n/(C/D)＾m 型結構

要在禁帶中中心波長處存在透射尖峰則需要存在類似法布里-珀羅共振腔的結構,即對于中心波長,存在“等效增反層/增透層/等效增反層”的結構.

圖6

從圖6中還可以發現,當左側光子晶體(A/B)＾n的調節參數φ等于右邊(C/D)＾m的調節參數,且不考慮介質的吸收時,中心波長處透射率可以達到100%,這是因為當光子晶體(B/A)＾m 與(C/D)＾m 的調節參數 φ、重復數 μ以及所取的中心波長λ0相同時,兩者的光學性質就相同,考慮到 n=m,(A/B)＾n/(C/D)＾m 就可以等效地看作是(A/B)＾n/(B/A)＾n,即 A/(B/A)＾(n-1)/BB/(A/B)＾(n-1)/A,該結構中間的BB層可以看作是增透層,同時該結構還具有中心對稱性,對于中心波長,(A/B)＾n/(C/D)＾m型光子晶體就能夠由“等效增反層/增透層/等效增反層”結構進一步等效簡化為一般的單一的介質層,因而中心波長處透射率可以達到100%.

通過類似的分析可得,如果 A的折射率小于B的折射率,那么禁帶中在中心波長處存在透射尖峰的條件是,C的折射率大于D的折射率,同時這也是該結構能夠存在光學表面態的必要條件[8].

3 結論

本文通過光學中的基本規律分析了一維光子晶體中各介質層的作用,將一維光子晶體等效成特殊介質層,進而以直觀的方式解釋光子晶體的基本性質,即光子禁帶以及光子局域效應.這就使得我們能夠以光學中的一些簡單、容易理解的概念和規律來容易地理解數值計算中的一些重要的結論.

一維光子晶體中的各介質層的作用由該介質層的光學厚度以及所其處環境決定,同時,作用效果會隨著入射光波長相對中心波長的遠離而發生周期性的變化.

當入射波長一定時,(A/B)＾n型光子晶體可以等效看作是單一的特殊的增反層,其特殊之處在于該結構能夠對中心波長以及其鄰域內的一段波長的入射光都起著強烈的增反作用,形成以中心波長為中心的透射禁帶,禁帶的主要影響因素是調節參數 φ、重復數 n以及中心波長λ0;(A/B)＾n/C/(B/A)＾n型光子晶體同樣具有禁帶結構,并且其性質主要由中心層C兩側的等效增反層決定,對于中心波長的入射光,該結構可以等效為“等效增反層/增透層/等效增反層”的類似法布里-珀羅共振腔的結構,使得中心波長處的入射光有很高的透射率,當n=m時,該結構又可進一步等效簡化為一般的單一的介質層;而對于(A/B)＾n/(C/D)＾m結構,在當 A的折射率小于B的折射率時,禁帶中在中心波長處存在透射尖峰的條件是,C的折射率大于D的折射率,因為這時該結構可以形成類似法布里-珀羅共振腔的結構,同時這也是該結構能夠存在光學表面態的必要條件.

1 Yablonovitch E.Inhibited spontaneous emission in solid-state physics and electronics.Phys.Rev.Lett.,1987,58:2059-2062

2 John S.Strong localization of photons in certain disordered dielectric superlattices.Phys.Rev.Lett.,1987,58:2486-2489

3 R.C.Johns.A new calculus for the treatment of optical systems.J.Opt.Soc.Am.,1941,31:500-503

4 D.W.Berreman.Optics in stratified and anisotropic media:44-matrix formulation.J.Opt.Soc.Am.,1972,62:502-510

5 Qiu M,Azizi K,Karlsson A,et al.Numerical Studies of mode gaps and coupling efficiency for line-defect waveguides in twodimensional photonic crystals.Phys.Rev.B,2001,64:155113,1-5

6 Ho K M,Chan C T,Soukoulis C M.Existence of a photonic gap in periodic dielectric structure.Phys.Rev.Lett.,1990,65(25):3152-3155.

7 唐晉發,顧培夫,劉旭等.現代光學薄膜技術.杭州:浙江大學出版社,2007:40-48

8 M.Kaliteevski,I.Iorsh,S.Brand,et al.Tamm plasmon-polaritons:Possible electromagnetic states at the interface of a metal and a dielectric Bragg mirror.Phys.Lett.B,2007,76:165415,1-5