軸向主動磁軸承的模糊自抗擾控制

盧立戶，劉海娟，諸德宏，徐榮

( 1. 江蘇大學(xué) 電氣信息工程學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212013；2. 西門子變壓器有限公司，濟南 250022 )

磁懸浮軸承[1-2](簡稱磁軸承)在航空航天、機械加工以及醫(yī)療等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用前景[3-4]，控制系統(tǒng)的好壞直接影響到整個系統(tǒng)的性能，常用的控制方法有：變參數(shù)PID控制、模糊控制[5]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制[6]、自適應(yīng)控制和變結(jié)構(gòu)控制[7]以及各種方法的綜合等。

自抗擾控制器(ADRC)是一種改進(jìn)型非線性PID控制器，通過安排過渡過程解決了“快速性和超調(diào)之間的矛盾”；非線性擴張狀態(tài)觀測器的使用實現(xiàn)了不用積分反饋也能達(dá)到“無靜差”，避免了積分反饋的副作用；該控制器在對象參數(shù)發(fā)生變化或遇到不確定性擾動時能得到很好的控制效果，因此，具有很強的適應(yīng)性、魯棒性和抗干擾性[8]。根據(jù)自抗擾控制器的基本原理，針對軸向主動磁軸承設(shè)計了自抗擾控制系統(tǒng)，并對該系統(tǒng)進(jìn)行了階躍響應(yīng)、抗干擾性和魯棒性試驗，而且還引入了模糊邏輯控制對ADRC非線性模塊進(jìn)行參數(shù)整定。

1 軸向主動磁軸承的結(jié)構(gòu)與數(shù)學(xué)模型

1.1 結(jié)構(gòu)及工作原理

軸向主動磁軸承的基本結(jié)構(gòu)如圖1所示，由軸向控制線圈、軸向定子和吸力盤等組成。定子鐵芯采用硅鋼片疊壓而成，轉(zhuǎn)子(吸力盤)是一質(zhì)量為m的整體鋼盤，置于2個軸向定子之間。圖1中帶箭頭的虛線表示軸向控制線圈通電后產(chǎn)生的控制磁通，在軸向定子、軸向氣隙和轉(zhuǎn)子之間構(gòu)成回路。當(dāng)轉(zhuǎn)子處于軸向平衡位置，線圈通入的電流大小相等，軸向控制線圈在軸向兩端氣隙處所產(chǎn)生的磁通是相等的。因此，轉(zhuǎn)子受到軸向的磁吸力為零。假設(shè)當(dāng)轉(zhuǎn)子受到外界擾動力向右運動時，傳感器檢測出轉(zhuǎn)子偏離平衡位置的位移，通過控制作用使左側(cè)控制線圈中電流增加，右邊控制線圈中電流減小，則轉(zhuǎn)子受到向左的懸浮力增加，而轉(zhuǎn)子受到向右的懸浮力減小，其合力與擾動力方向相反，從而把轉(zhuǎn)子“拉回”到平衡位置。如轉(zhuǎn)子受到向左的外力擾動，可以通過控制作用得到類似結(jié)果。所以不論轉(zhuǎn)子受到向左或向右的擾動，通過控制器調(diào)節(jié)控制電流，均可使轉(zhuǎn)子始終保持在平衡位置。

1—控制磁通；2—軸向控制線圈；3—軸向定子；4—轉(zhuǎn)軸；5—吸力盤

1.2 數(shù)學(xué)模型

由文獻(xiàn)[9]可知，軸向主動磁軸承的懸浮力方程為

(1)

式中：F為磁軸承轉(zhuǎn)子所受的軸向磁吸力；x為軸向位移偏移量；i為控制電流；i0為偏磁電流；μ0為空氣磁導(dǎo)率;δ0為氣隙長度；N為控制線圈匝數(shù)；Sa為軸向磁極面積。

對(1)式進(jìn)行線性處理，在平衡位置附近(x?δ0，ix?i0)進(jìn)行Taylor展開并略去高階無窮小量可得

(2)

式中：kx為軸向位移剛度系數(shù)；ki為軸向電流剛度系數(shù)。在磁軸承的結(jié)構(gòu)和工作點確定后，kx和ki為常數(shù)。

2 控制系統(tǒng)的設(shè)計

2.1 自抗擾控制器的結(jié)構(gòu)及原理

自抗擾控制器由非線性跟蹤-微分器(TD)、擴張狀態(tài)觀測器(ESO)和非線性狀態(tài)誤差反饋(NLSEF)控制規(guī)律3部分組成，如圖2所示。TD用來安排過渡過程，并給出各階微分信號；擴張狀態(tài)觀測器(ESO)由對象輸出來觀測其各階的導(dǎo)數(shù)和估計擾動；非線性狀態(tài)誤差反饋(NLSEF)利用TD和ESO的輸出之差來形成控制量u0(t)。用這些誤差的非線性組合和總擾動估計補償量來生成對對象的控制量u(t)。

圖2 自抗擾控制器的結(jié)構(gòu)框圖

2.2 控制器的設(shè)計

(1)安排過渡過程TD[8]

(3)

A=v1-ur+v2|v2|/2R。

(2)擴張狀態(tài)觀測器ESO[10]

(4)

(3)非線性狀態(tài)誤差反饋NLSEF[11]

(5)

式中：R，det1，det2，det3，bet1，bet2，bet3，a1，a2，a3，a4，a5，b，bt1，bt2為待定參數(shù)，都需經(jīng)調(diào)整確定。由控制規(guī)律的表達(dá)式可知，系統(tǒng)控制規(guī)律與系統(tǒng)內(nèi)部的參數(shù)無關(guān)，而只與系統(tǒng)的輸出和給定輸入有關(guān)。

2.3 模糊自抗擾控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)

圖3所示為軸向磁軸承模糊自抗擾控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)框圖，由二階TD、非線性狀態(tài)誤差反饋NLSEF、三階ESO和模糊控制器組成。因在實際應(yīng)用中，非線性反饋參數(shù)β1和β2與PD控制器的2個參數(shù)Kp，Kd的整定十分相似，β1為比例系數(shù)，β2為微分系數(shù)。因此設(shè)計了一個模糊控制器，以e1和e2作為控制器的輸入，利用模糊控制規(guī)則在線對自抗擾參數(shù)進(jìn)行修改，以滿足不同時刻的e1和e2對β1和β2自整定的要求。

圖3 磁軸承閉環(huán)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖

2.4 自抗擾控制的參數(shù)整定

由于ADRC的3個組成部分TD，ESO和NLSEF是相互獨立設(shè)計的，其參數(shù)可以獨立進(jìn)行整定。在參數(shù)整定過程中可以發(fā)現(xiàn)，TD的參數(shù)可以固定化；ESO的參數(shù)與擾動幅值成正比，擾動幅值越大則相應(yīng)的參數(shù)也就越大[12]；NLSEF參數(shù)的整定可以用PD中的P，D的模糊整定方法[13]。因此，運用模糊控制理論，以誤差E和誤差變化率EC作為輸入，利用模糊控制規(guī)則在線對β1和β2參數(shù)進(jìn)行修改，從而滿足不同時刻的E和EC對β1和β2自整定的要求。

將系統(tǒng)誤差E、誤差變化率EC、輸出U1和U2變化范圍定義為模糊集上的論域：E,EC,U1,U2= -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3，且其隸屬度函數(shù)均采用靈敏度很強的三角函數(shù)，如圖4所示。

圖4 E, EC, U1, U2的隸屬度函數(shù)

在該控制器中模糊控制子集為E,EC,U1,U2={NB, NM, NS, ZO, PS, PM, PB}，針對β1和β2分別建立了模糊控制規(guī)則表，見表1、表2。

表1 參數(shù)β1的模糊控制規(guī)則表

表2 參數(shù)β2的模糊控制規(guī)則表

3 控制系統(tǒng)的仿真試驗及結(jié)果分析

文中所采用的軸向主動磁軸承仿真參數(shù)如下：控制線圈匝數(shù)為572匝，平衡氣隙δ0為0.45 mm，軸向線圈偏磁電流i0為0.5 A，磁極面積為392 mm2，飽和磁感應(yīng)強度Bs為0.8 T，轉(zhuǎn)子質(zhì)量m為1 kg，最大承載力為200 N，電流剛度系數(shù)Ki為-397.8 N/A，位移剛度系數(shù)Kx為441 947.1 N/mm。

給定ADRC的參數(shù)取值為：R=220, det1=0.01, det2=0.003, det3=0.003, bet1=5 000,bet2=600 000, bet3=500,α1=0.75,α2=0.5,α3=0.25,α4=0.5,α5=0.75,b=0.5。

利用Matlab軟件的Simulink工具箱搭建磁軸承系統(tǒng)模型并進(jìn)行仿真，其仿真框圖如圖5所示。

圖5 軸向主動磁軸承模糊自抗擾控制系統(tǒng)的仿真框圖

3.1 階躍響應(yīng)仿真試驗

圖6所示為系統(tǒng)在輸入單位階躍信號時的位移響應(yīng)特性曲線，從中可以看出，系統(tǒng)在0.12 s后進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)，響應(yīng)速度非常快，超調(diào)量很小，進(jìn)入穩(wěn)態(tài)的時間短，幾乎沒有靜差，動、靜態(tài)性能良好。

圖6 單位階躍響應(yīng)位移曲線

3.2 抗干擾性仿真試驗

ADRC利用ESO所產(chǎn)生的信號z3(t)對總擾動(包括系統(tǒng)模型攝動和外擾動)進(jìn)行估計，然后進(jìn)行相應(yīng)的反饋補償，因而系統(tǒng)的抗擾動能力依賴于z3(t)對系統(tǒng)總擾動估計的精確度。

假設(shè)系統(tǒng)受到了幅值為30 N按鋸齒波變化的擾動，圖7給出了z3(t)對擾動力的估計曲線。由圖可知z3(t)能夠較準(zhǔn)確地估計出系統(tǒng)受到的擾動力。

圖7 z3對擾動力的估計曲線

圖8所示為轉(zhuǎn)子在平衡位置空載，系統(tǒng)只受到幅值為30 N按鋸齒波變化的擾動時轉(zhuǎn)子的響應(yīng)曲線。從仿真結(jié)果看出系統(tǒng)受到外界擾動時轉(zhuǎn)子只有極其微小的偏移量，說明系統(tǒng)控制性能良好，抗干擾性能比較強。

圖8 受干擾時的位移曲線

3.3 魯棒性仿真試驗

在系統(tǒng)參數(shù)電流剛度系數(shù)Ki比較理想的情況下，將其減小30%時，輸入單位階躍信號，則系統(tǒng)的響應(yīng)曲線如圖9所示。對照圖9和圖6可知，如果磁軸承的電流剛度減小30%，控制系統(tǒng)的階躍響應(yīng)變化很小，從而驗證了該控制系統(tǒng)具有比較強的魯棒性，控制性能良好。

圖9 Ki變化后的階躍響應(yīng)位移曲線

4 結(jié)束語

將模糊和自抗擾控制理論用于軸向主動磁軸承的控制中，在軟件Matlab的 Simulink上搭建了模糊自抗擾控制系統(tǒng)的模型并對其進(jìn)行了仿真研究。仿真試驗表明：所設(shè)計的軸向主動磁軸承模糊自抗擾控制系統(tǒng)具有響應(yīng)速度快、超調(diào)量小、精度高、抗干擾能力強和魯棒性好等特點。