一類帶兩個形狀參數(shù)的類四次三角Bézier曲線

楊 煉，李軍成

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一類帶兩個形狀參數(shù)的類四次三角Bézier曲線

楊 煉，李軍成

（湖南人文科技學(xué)院數(shù)學(xué)系，湖南婁底417000）

給出了帶兩個形狀參數(shù)，的類四次三角多項式Bézier曲線。該曲線不僅具有與四次Bézier曲線類似的性質(zhì)，而且無需有理形式即可精確表示圓、橢圓、拋物線等二次曲線弧以及高精度近似表示圓柱螺線等超越曲線。利用兩個參數(shù)的不同取值能夠局部或整體調(diào)控曲線的形狀，并且可以從兩側(cè)逼近控制多邊形。討論了兩段曲線和連續(xù)的拼接條件。實例表明，該曲線在造型設(shè)計方面具有較高的應(yīng)用價值。

Bézier曲線；三角多項式；類四次；形狀參數(shù)；拼接性

在計算機(jī)輔助幾何設(shè)計中，低次Bézier曲線與B樣條曲線因其結(jié)構(gòu)簡單、使用方便等特點而成為構(gòu)造自由曲線、曲面的常用工具，然而它們卻不能精確表示圓弧等二次曲線。有理Bézier曲線和NURBS曲線雖然解決了上述問題，但是其求導(dǎo)和求積的計算較復(fù)雜，且權(quán)因子選擇和參數(shù)化問題至今還沒有完全解決。近年來，人們對非多項式曲線，特別是三角多項式曲線樣條的研究產(chǎn)生了興趣，開始在帶三角函數(shù)的空間上尋求構(gòu)造曲線曲面的表示方法，其中文獻(xiàn)[5]基于{1,, sin, cos}構(gòu)造了著名的-曲線，文獻(xiàn)[6]與文獻(xiàn)[7]分別構(gòu)造了帶形狀參數(shù)的二次與三次三角多項式曲線；文獻(xiàn)[8]提出了一組具有Bézier曲線特征的T-Bézier曲線；文獻(xiàn)[9-10]研究了形狀可調(diào)的二次三角Bézier曲線；文獻(xiàn)[11-12]以三角函數(shù)為基構(gòu)造了類三次參數(shù)曲線。

本文研究一種帶有兩個形狀參數(shù),的具有四次Bézier曲線特性的三角多項式曲線，稱之為帶兩個參數(shù)的類四次三角Bézier曲線。事實表明，這種帶兩個參數(shù)的類四次三角Bézier曲線不僅與相應(yīng)的四次Bézier曲線具有絕大部分相似的性質(zhì)，而且在適當(dāng)條件下還可精確表示直線段、橢圓（圓）弧、拋物線、心臟線等二次曲線以及高精度近似表示圓柱螺線等超越曲線。

形狀參數(shù)λ, λ具有明確幾何意義：當(dāng)增大時，曲線從左側(cè)逼近控制多邊形，當(dāng)增大時曲線從右側(cè)逼近控制多邊形；當(dāng)=時，曲線就成為帶一個形狀參數(shù)的類四次三角Bézier曲線；當(dāng),同時增大時，曲線整體逼近控制多邊形。

1 基函數(shù)的定義

圖1 5個基函數(shù)圖形(λ1=λ2= 1)

2 類四次三角Bézier曲線及性質(zhì)

稱式(2)所定義的曲線為帶兩個形狀參數(shù)的類四次三角Bézier曲線。

由基函數(shù)性質(zhì)，可以導(dǎo)出曲線具有下列幾何性質(zhì)：

性質(zhì)1 端點性質(zhì)

（3）

式(3)說明曲線具有與四次Bézier曲線完全相同的端點性質(zhì)：插值于首末兩個端點且與端邊相切。

性質(zhì)2 對稱性

性質(zhì)3 凸包性與保凸性

由基函數(shù)的非負(fù)性和權(quán)性，可知曲線是落在其控制頂點生成的凸包之內(nèi)。另外，當(dāng)控制多邊形為凸時，相應(yīng)的曲線也是凸的，即曲線具有保凸性。

性質(zhì)4 幾何不變性和仿射不變性

曲線僅依賴于控制頂點而與坐標(biāo)系的位置和方向無關(guān)，即曲線的形狀在坐標(biāo)平移和旋轉(zhuǎn)后不變；同時，對控制多邊形進(jìn)行縮放或剪切等仿射變換后，所對應(yīng)的新曲線就是相同仿射變換后的曲線。

3 形狀參數(shù)對曲線的調(diào)節(jié)作用

圖2 形狀參數(shù)對類四次三角Bézier曲線的影響

4 曲線的拼接

將式(3)代入上式得

,

將式(3)和式(6)代入式(5)，化簡可得

將式(4)代入上式，可得

圖3 兩段曲線的G2拼接(δ=1.5, h2=2.25h1)

綜合以上三式，可解得

（8）

綜合前面的條件，可解得

（9）

綜合前面的條件，可解得

（10）

圖4 兩段曲線的C4拼接

5 曲線的應(yīng)用實例

5.1 橢圓弧與圓弧的精確表示

當(dāng)（或）時，上式表示半橢圓（圓）弧；時表示上半橢圓（圓），時表示下半橢圓（圓）。當(dāng),時橢圓（圓）弧的精確表示如圖5、圖6所示。

圖6 圓弧的精確表示

5.2 心臟線的精確表示

即，。顯然，當(dāng)滿足上述條件時，曲線式(2)精確表示一段心臟線（如圖7所示）。

5.3 拋物線的精確表示

上式顯然表示一段拋物線弧，其圖形如圖8所示。

5.4 圓柱螺線的高精度近似表示

上式便是近似圓柱螺線方程，得證。

5.5 花瓣圖形

開曲線和閉曲線的構(gòu)造是曲線設(shè)計中最基本的內(nèi)容，在工業(yè)設(shè)計中需要研究開曲線的端點性質(zhì)和如何構(gòu)造閉曲線。帶兩個形狀參數(shù)的類四次三角Bézier曲線具有較強(qiáng)的造型功能，它可以表示開曲線和閉曲線的模型。圖10(a)、圖10(e)是當(dāng)兩個參數(shù)相等且同時由大到小變化時開曲線的花瓣圖形；圖10(b)、圖10(c) 是當(dāng)兩個參數(shù)相等且同時由大到小變化時閉曲線的花瓣圖形；圖10(d)、圖10(f)分別是當(dāng)兩個參數(shù)一個增大，另一個減少時開、閉曲線的花瓣圖形。

圖9 圓柱螺線的高精度近似表示

圖10 花瓣圖形的擬合

6 結(jié)束語

提出的一種由三角多項式基函數(shù)構(gòu)造的帶有參數(shù)λ, λ的類四次三角Bézier曲線，它與四次Bézier曲線具有類似的特征。該曲線的優(yōu)點是：① 對于給定的5個控制頂點，可以生成一簇三角Bézier曲線，這簇曲線在參數(shù)的控制下，能夠局部或整體調(diào)節(jié)曲線的形狀，方便造型設(shè)計；② 曲線在一定條件下，可以精確表示直線段、橢圓（圓）、拋物線等二次曲線以及高精度近似表示圓柱螺線等超越曲線；③ 曲線在一定條件下可進(jìn)行和的連續(xù)拼接，具有良好的拼接性。運(yùn)用張量積的方法，可將曲線推廣到曲面情形，曲面具有與曲線類似的性質(zhì)。

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A Class of Quasi-quartic Trigonometric Polynomial Bézier Curves with Two Shape Parameters

YANG Lian, LI Jun-cheng

( Department of Mathematics, Hunan Institute of Humanities, Science and Technology, Loudi Hunan 417000, China )

A class of quasi-quartic trigonometric polynomial Bézier curves with two shape parameters ofandis presented. The trigonometric polynomial curves have the same featurs with traditional quartic Bézier curves, and it can represent exactly some quadratic curves such as the arc of a circle, an ellipse, or a parabola and some transcendental curves such as circular helixwithout using rational form. Its shape can be adjusted locally or totally through changing the value of the two parameters, and it can approach to the given control polygon from both sides. Theandcontinuity condition of two pieces of curves is discussed. Examples are given to illustrate the new curve in model design.

Bézier curves; trigonometric polynomial; quasi-quartic; shape parameter; continuity

TP 391

A

1003-0158(2011)06-0009-07

2010-07-21

湖南人文科技學(xué)院科研資助項目（2010QN09）；湖南省教育廳科研資助項目（11C0707）

楊 煉（1980-），男，湖南隆回人，講師，碩士，主要研究方向為計算機(jī)圖形學(xué)，計算機(jī)輔助幾何設(shè)計。