一種快速重復控制策略在APF中的實現和分析

宮金武 查曉明 陳佰鋒

（武漢大學電氣工程學院 武漢 430072）

1 引言

當今電力系統中，非線性負載日益增多，有源電力濾波器（APF）已經被證明是一種有效的補償諧波電流的裝置[1-2]。如何實現既快速又準確的電流控制器是APF需要解決的一個大問題。目前常用的控制器有如下幾種：

簡單的比例-積分（PI）控制器具有比較快的跟蹤速度，也易于實現，但是它存在很嚴重的弱點：在三相交流系統中，它在靜止坐標系下的穩態誤差較大，而且需要解耦[3]。理論上，任意次諧波均可以經過旋轉坐標變換后轉換為直流分量，從而使用PI控制器達到無差控制。但是每次諧波均需要一個旋轉坐標變換和一個PI控制器，數字控制器實現起來很復雜。

諧振控制（PR）易于數字控制器實現，而且可以在靜止坐標系下達到類似于 PI控制在同步旋轉坐標下的頻率響應特性[4-5]。諧振控制的傳遞函數通常表示為

PR控制器的框圖和伯德圖如圖1所示。

圖1 PR控制的框圖和伯德圖Fig.1 Block diagram and Bode plots of PR controller

由圖1b可見，PR控制對特定頻率的交流信號可以實現無靜差跟蹤，這是因為諧振環節可以看作一個交流積分器[6]。但是每個頻率的交流信號均需要單獨的 PR控制器，用現有的數字控制器實現一系列的PR控制器是比較復雜的工作[7-8]。

為了克服PI控制和PR控制的不足，基于內模原理的重復控制（RE）在風力發電、太陽能發電、不間斷電源（UPS）、動態電壓恢復器（DVR）、有源電力濾波器（APF）等場合取得廣泛的應用[9]。重復控制的傳遞函數一般表述為

式中，Kr表示直接反饋控制的增益系數；Ks表示重復控制的增益系數。在APF控制器中應用重復控制可以加入前饋環節或反饋環節，這樣具有良好的魯棒性和自穩定性[10]。

圖2a和圖2b分別表示重復控制的框圖和伯德圖，圖 2b表示重復控制對各次諧波都有無窮大增益，這表明重復控制可以消除各次諧波。但是重復控制具有一個工頻周期的延時，因而影響到控制系統的動態響應速度。

圖2 重復控制器的的框圖和伯德圖Fig.2 Block diagram and Bode plots of repetitive controller

在APF系統中，為了解決PI控制、PR控制、傳統的重復控制的缺點，本文提出了一種新的控制策略，它易于數字控制器實現，可以消除所有奇次諧波，不僅具有諧振控制的特性，相比傳統重復控制，也具有更快的響應速度和更小的靜態誤差。

2 控制策略分析

2.1 本文提出的控制策略

本文提出的控制策略的傳遞函數如下。

圖3 本文提出的快速重復控制的框圖和伯德圖Fig.3 Block diagram and Bode plots of proposed controller

顯然，式（3）類似于一系列奇次諧波諧振控制器的和。本文所提出的控制策略的框圖和伯德圖如圖 3所示，在 (2 k±1)×50Hz,k=1,2,3…處，它具有無窮大增益，這就可以用來消除電力系統中所有的奇次諧波，符合多數實際系統的要求。對偶次諧波，本文所提出的控制策略沒有補償效果，但是不會引起偶次諧波放大。如圖3a所示，這種控制策略只需要一個延時環節，很容易由DSP+FPGA構成的數字控制器實現[11-12]。

2.2 收斂性分析

為了分析本文提出的控制策略的動態特性和穩態誤差，本文將典型的APF系統表述成圖4所示的形式[13]。諧波電流信號ish取自電網側，重復控制器據此產生參考信號，用來控制逆變器輸出合適的諧波電流iAF，以完全補償負荷產生的諧波電流。圖5是本文所提出的控制策略的閉環控制框圖。

圖4 APF的系統框圖Fig.4 Block diagram of APF configuration system

圖5 本文提出的APF閉環控制框圖Fig.5 Block diagram of the APF closed-loop control system

圖5中，Id(s) 和 e(s) 分別表示負荷側諧波電流和系統側諧波電流，GAF(s) 表示PWM逆變器和諧波檢測環節的二階低通濾波器的傳遞函數，GSP(s)表示逆變器輸出濾波器的傳遞函數，Kr和Ks分別代表直接反饋環節的增益和重復環節的增益。

重復控制可以消除所有由周期性擾動 e(t) 引起的周期性誤差。當周期性誤差產生時，重復控制會跟蹤實時誤差，并且在下一個重復周期里將其補償掉。所以對重復環節而言，動態響應時間是基于重復周期 T/2，（T為基波周期，T=0.02s）。本文的收斂性分析將在離散域進行，基于重復周期T/2。k代表重復周期數，k=1,2,3… 分別代表 0.5 T,T,1.5 T…。對重復控制的收斂性分析如式（4）～式（6）所示。

定義 GconF(s) 為收斂表達式，它表示控制量在兩個連續重復周期的誤差，即

在動態過程中，也可以用式（9）來分析誤差的收斂性。只有滿足

條件時，控制系統才是穩定的。也就是說，當收斂表達式的值小于 1時，誤差將會收斂到零，并且GconF(s) 越小，誤差收斂的速度越快。

由式（7）可見，誤差函數的的第二部分是由Id(s) 決定的。在閉環控制系統中，由 Id(s) 引起的誤差的傳遞函數可以表述為

式（12）表明，穩態誤差是由GAF(s)、GSP(s) 和Ks+Kr的值決定的。

3 本文提出的控制策略和傳統重復控制的對比

為了對比本文所提出的快速重復控制和傳統重復控制，特將傳統重復控制的框圖表述為圖6的形式。

圖6 傳統的重復控制系統框圖Fig.6 Block diagram of traditional repetitive control system

圖6中各個部分的含義和圖5類似，也是在離散域內進行分析，基于重復周期T（基波周期0.02s），k代表重復周期數，k=1,2,3 … 分別代表 T，2 T,3 T…。與前面不同的是：重復周期不再是0.5 T而是T。重復控制的過程可以描述如式（13）～式（15）所示。

當控制系統達到穩定后，穩態誤差是一個不變的量，它可以表示為。綜合式（13）和式（16），可以推導出

同樣，在傳統重復控制中，也可以定義GconT(s)作為收斂表達式。該式表現了控制量在兩個連續重復周期間的誤差關系：

由式（17）可見，誤差函數的的第二部分是由Id(s) 決定的。在閉環控制系統中，由 Id(s) 引起的誤差的傳遞函數可以表述為

式（19）表明，穩態誤差僅由Kr的值決定。對比誤差傳遞函數式（12）和式（19）可見：本文提出的快速重復控制比傳統重復控制具有更小的穩態誤差。

重復控制的收斂速度取決于兩個條件：重復周期和收斂性函數。

從重復周期上看，本文提出的快速重復控制的重復周期只有0.5 T，是傳統重復控制的一半。所以它具有更好的動態響應時間。

對比本文提出的快速重復控制和傳統重復控制的收斂性函數GconF(s)和GconT(s)可得

式（20）表明：本文提出的快速重復控制不僅具有更小的重復周期，還具有更小的收斂性函數，所以具有更好的動態響應性能。

4 重復控制的實現過程

傳統重復環節的框圖如圖7a所示，傳遞函數為

式中，ω0=2πf0=2π/T,f0=50Hz,T=0.02s。當 esT=1（ω=±kω0,k=0,1,2…）時可以求出重復環節的極點，極點的位置如圖7c所示。

本文提出的快速重復控制的框圖如圖7b所示，對應的傳遞函數為

根據式（22），當e?sT/2=?1(ω=±(2k+1)ω,0k=0,1,2…)時可以求出極點，當e?sT/2=1(ω=±2kω0,k=0,1,2…) 時可以求出零點。零極點的分布如圖7d所示。

圖7 傳統重復環節和本文提出的重復環節的框圖、零極點圖和伯德圖Fig.7 Block diagram,poles-zeros location and Bode plots

眾所周知，由于對偶發性的干擾也存在無窮大增益，重復環節可能導致控制系統出現不穩定。本文在重復控制的延時環節之后引入了遺忘因子Kf，這樣可以帶來阻尼，提高了控制器的魯棒性。Kf導致所有的極點向虛軸的左邊移動一個距離σ，σ＜0。對傳統重復控制環節，極點移動的過程如圖 7c所示，數學表達式如下：

對本文所提出的快速重復控制而言，Kf導致的極點移動過程如圖7d所示，數學表達式如下：

在引入Kf之后，傳統重復控制的框圖和極點分布如圖 7a、圖 7c所示；Kf將系統的極點向虛軸的左半軸移動，因而增強了系統的穩定性。相對于傳統的重復控制，本文所提出的快速重復控制具有以下優點：

（1）如圖7f所示，不論Kf是否變化，本文提出的快速重復環節在相鄰的兩個奇次諧波對應的幅值增益尖峰之間，對偶次諧波有一個增益下陷，這就說明，它對奇次諧波有無窮大增益，對偶次諧波增益基本為零；相比之下，傳統重復控制沒有這個增益下陷的過程，最小幅值增益也大于 1/2 (?6.0 dB)，表明它對任意次諧波的增益均為無窮大。所以，本文提出的控制策略增強了系統的選擇性和抑制性，使之具有更大的增益和更好的表現。

（2）圖7e和7f表明，在Kf從1減小到0.9的過程中，受Kf的影響，幅值增益尖峰的幅值減小，帶寬增加。在傳統重復環節中，幅值增益尖峰從無窮大變化為：最大值1/(1?Kf)，最小值 1/(1+Kf)；在本文提出的快速重復環節中，幅值增益尖峰從無窮大變化為：最大(1+Kf)/(1?Kf)，最小(1?Kf)/(1+Kf)。由此可見，為了改善系統的魯棒性而引入Kf后，本文提出的快速重復控制比傳統重復控制具有更大的增益和更好的適應性。

為了消除開關次紋波對控制系統的影響，提高系統的穩定性，另一種有效的方法是在重復控制的延時環節之后加一個簡單的一階濾波器，例如LPF=1/(τs+1)。在一般的APF控制系統中，電流檢測環節的低通濾波器可以有效地去除高頻開關次諧波，所以 Kf取 0.95即可保證系統的穩定性，不需要在重復環節中增加LPF[14]。

5 仿真和試驗

5.1 仿真

為了證明本文提出的快速重復控制的有效性和正確性，采用Matlab/Simulink建立了基于傳統重復控制和本文提出的快速重復控制的APF仿真模型。APF的系統構成如圖8所示，各元件參數見下表，仿真結果如圖9所示。

圖8 APF的系統構成Fig.8 Configuration the APF system

表 仿真參數Tab.Simulation parameters

圖9 Matlab仿真結果Fig.9 Simulation results

在基于傳統重復控制器策略的仿真中，APF在0.06s開始工作。在控制器開始工作之后的第一個工頻周期（0.06～0.08s）內，重復環節還沒有起作用，系統側電流有四個明顯的畸變尖峰。在第二個工頻周期（0.08～0.1s），重復環節開始起作用，系統電流上的四個畸變尖峰開始變小。當控制系統達到穩定狀態時，總諧波畸變率減小到2.20%。

在基于本文提出的快速重復控制策略的仿真中，APF在 0.06s開始工作，在頭半個工頻周期（0.06～0.07s）中，重復環節也沒有起作用，系統電流有兩個明顯的畸變尖峰，在第二半個工頻周期（0.07～0.08s）重復環節開始起作用，系統電流上的兩個畸變尖峰開始變小。當控制系統達到穩定狀態時，總諧波畸變率減小到1.96%。

5.2 實驗結果

為了驗證所提出的控制策略的有效性，對比它相對傳統重復控制的優越性，特在一臺 100kVA并聯APF上分別試驗了這兩種控制方法。APF的控制系統是由DSP+FPGA構成，FPGA主要完成A-D采樣控制、諧波電流檢測、重復控制的實現、直流側電壓控制、PWM脈沖的生成等功能；DSP主要完成裝置的各種保護、數據分析、人機交互。實驗結果如圖10所示。

圖10 實驗結果Fig.10 Experiment results

在沒有補償之前，系統諧波電流有45A，THD為34.5%；采用傳統重復控制，THD降低到5.24%，采用本文所提出的快速重復控制，THD降低到5.06%。

6 結論

本文提出了一種快速重復控制策略，建立了其控制框圖和傳遞函數，推導出其收斂表達式，通過收斂性分析證明了本文提出的快速重復控制策略是穩定的，并在收斂速度、穩態誤差等方面和傳統重復控制進行了對比。為提高重復控制在偶發性干擾存在下的魯棒性，控制系統需要引入遺忘因子Kf，本文從伯德圖和幅值增益等方面分析對比證明了這種控制策略比傳統重復控制具有更好的適應性。

理論分析和仿真、實驗都表明：這種控制策略可以消除所有奇次諧波；相比傳統重復控制，這種控制策略具有更快的收斂速度和更小的穩態誤差。

在實際應用中，這種控制策略很容易由DSP或者FPGA實現。本文提出的快速重復控制策略已經成功地應用在三相并聯APF系統中，通過進一步的設計、分析，它也可以應用在DVR、UPS、PV、SVG等其他并網逆變器當中。

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