數學建模思想融入《數學分析》教學

陳濤，李金龍，楊凱凡，劉延軍

數學建模思想融入《數學分析》教學

陳濤，李金龍，楊凱凡，劉延軍

數學素質和創新能力是現代數學教育的目標，將數學建模的思想方法融入《數學分析》教學，從教學的主要環節提出了滲透數學建模思想方法的一些方法和實踐。

數學分析；數學建模；教學改革

當今數學教育，不僅要教給學生數學知識，還要培養學生的數學素質以及應用數學的意識和能力，讓學生學會用數學的思維方式觀察周圍的事物，用數學的思維方法分析、解決現實世界中的實際問題。《數學分析》是高校應用數學和信息與計算科學專業最重要的基礎課程之一，是以微積分為基礎內容，深度和廣度比高等數學和一般的微積分教程更深更廣的一門課程。通過這門課程的學習，可以使學生很好地掌握《數學分析》的基本理論、思想和方法，特別是學生對數學的認識和運用方面的悟性與智慧潛能都得到開發，激發他們的學習興趣，培養他們的數學素質和創新實踐能力。

數學建模是運用數學方法和手段分析解決實際問題的過程，實際問題因其鮮明的生動性激發我們的形象思維。數學建模問題來源于現實生活，所提出的問題容易引起學生的興趣，但問題往往沒有清晰的條件和結論，可用的信息和最終的結論要靠學生自己去挖掘，更沒有一套典型的解法，用已知的知識方法和傳統的方式去處理往往會失敗，需要學生重新組合所學的知識，提出一套新的程序甚至新的理論才能解決。建模過程充分體現了知識可以通過“體會”、“構建”、“再創造”等創造性過程及認識過程而獲得。

在數學分析教學中，雖然不能直接開展建模競賽，但是，可以通過引入建模競賽的思維和方法，來發揮學生的積極性和自主性，以案例分析為重點，以“用”為標準，取舍教學內容。在不損害知識體系的前提下，以“題”為中心組織基礎知識講授，以“練”為手段選擇靈活多樣的教學方法，突出重點、講解難點、精講多練。讓學生在“練”中發現自己的知識缺陷，激發求知欲。在《數學分析》教學中滲入數學建模思想方法，結合適當的數學模型，展現數學思想的來龍去脈，把枯燥的知識和豐富的現實架起橋梁，既有利于展現知識發生的過程，又能增強數學知識的目的性，體現數學知識的應用價值，對培養學生的興趣、提高數學素質有重要意義。

一、數學建模思想在概念和定義講授中的滲透

《數學分析》中的函數、極限、連續、導數、微分、積分、重積分、級數等概念都是從客觀事物的某種數量關系或空間關系抽象出來的數學模型。在教學中可從其“原型”和學生熟知的日常生活中自然而然地引出來。因而，從概念上人手，滲透數學建模思想可以取得良好效果。

（1）所引用實際問題要有原始背景資料，應講清來龍去脈。《數學分析》理論體系的完善蘊藏著豐富的數學建模思想的軌跡，充滿著創造性，了解和學習前人所付出的努力，能給人以啟發和激勵。在介紹數學建模時，能介紹其思想軌跡、來龍去脈，教學效果會更好。例如，我們常用瞬時速度及切線斜率模型來引入導數概念，便取得了較好的效果。但由于此處我們是用已嚴格化的分析語言，集速度、斜率之共性給出導數定義的，而在反映先驅者在嚴密化的創造性工作方面做得不夠。如果我們能補充介紹費馬在1629年設計透鏡求曲線在一點處的切線這一典故，那么，生動的史實就能讓學生了解前人在創立新理論時的建模過程，更能激發學生學習的興趣。

（2）重視每一個概念，但不必都滲透數學模型，應該做到恰到好處。有觀點認為，每引出一個新概念或一個新內容，都應有一個刺激學生學習欲的實例，說明該內容的應用性。如果將此作為一個教學模式是不可能的，也是沒有必要的。恩格斯說：“自然界對這一切想象的數量都提供了原型。”這里并沒有說“這一切想象的數量都是由原型引進來的”，這也是數學本身的一個特點。數學一旦形成基本概念，就可以不借助外界的刺激，只需數學內在的規律，就可以發現新的定義定理，推動數學發展，先有數學原理再發現生活原型的例子比比皆是。因而，在將數學建模思想滲入《數學分析》教學的時候，不必形而上學，機械地在每一個概念定理前添上一個模型，把本來一個完整的系統用支離破碎的模型加以解釋說明。我們要抓住重點，只針對本課程中的核心概念和定理進行滲人，有時也可以反其道而行之，即先給概念，再給原題。

二、數學建模思想在定理證明中的滲透

《數學分析》中有大量的基本定理，這些定理對學習理解內容有著重要的作用。靈活運用定理與定理的證明方法是處理教學過程的一大難點。事實上教材中的很多定理，在歷史上發明它們的時候，本來是有很自然的背景的，但經過抽象之后寫在課本上，學生學起來就不知道為什么需要這些定理，發明者的原始想法也很可能就被隱藏在邏輯推理之中，使得學生初學起來較為困難，不能很好地理解定理。因此，在教學中讓學生能在一定程度上了解所學知識的來龍去脈及歷史淵源是十分必要的，往往可激發學生的求知欲望，然后把定理的結論看作是一個特定的模型，需要我們去建立它。于是，當把定理的條件看作是模型的假設時，即可根據預先設置的問題情景引導學生一步一步地發現定理的結論，這種融入數學建模思想的教學方法，不但使學生學到知識，而且讓他們體驗到探索、發現和創造的過程，是培養學生創新意識和能力的好途徑。因此，對于一些定理的證明也可采取談化形式、注重實質的方式進行處理，往往可直觀易懂且收到事半功倍的教學效果。這正是體現出數學建模并沒有標準模式方法和思路靈活多樣的特點。

三、數學建模思想在課外習題作業中的滲透

課外作業是進一步理解、消化和鞏固課堂教學內容的重要環節。針對《數學分析》理論性較強的特點，有目的讓學生解決一些實際問題。只有把理論應用到實踐中去，解決幾個實際問題，才能達到理解、深化、鞏固所學理論的效果。學生可以自由組隊，通過合作、感知、體驗和實踐的方式完成此類作業。他們在參與完成作業的過程中，培養了不斷學習、勇于創新、團結互助的精神。適當布置一些開放型的應用題，給學生以更大的思維空間，以學生為中心，以問題為主線，積極引導學生進行探索是當前教學改革的主流。

四、數學建模思想在考試命題中的滲透

當前，《數學分析》課程的考試命題一般以課本中的例題和習題的形式為主，或者把課本中的某些問題和結論設計成填空題、選擇題等，唯獨缺乏開放型的應用題以及考查學生靈活地應用數學知識解決問題的題目。這樣做也許對教師閱卷方便，但卻導致許多學生高分低能，也產生不良的學習導向，學生平時只注重盲目做題，機械地學習，而不重視對概念的深刻理解，也不注意在知識的學習中體會和提煉數學思想和方法。在傳統的考試中，適當地增加一些開放型的應用題，要求學生按數學建模的方式方法去解答，這樣既能考查學生的數學素質和數學能力水平，又與平時的教改相配套，使學生對所學知識進一步加深理解，培養創新能力。采取與傳統考試不同的考核方式，通過命題小論文等方式，讓學生加深對所學知識的理解，初步鍛煉了學生的寫作能力，是建模思想的滲透與升華。

總之，把數學建模的思想方法融人到《數學分析》教學中，透過抽象的表達形式，更好地理解基本概念和基本理論，深刻領會構建模型過程中的一些數學思想方法，目的是要促進學生更好地學習和掌握《數學分析》的基本知識，提高學生的數學應用意識和創新能力，培養學生的數學素質，促進數學教育的改革發展。

[1]陳濤.數學分析課程教學改革的實踐[J].大慶師范學院學報，2006（10）.

[2]李大潛.將數學建模思想融人數學類主干課程[J].中國大學教學，2006（1）.

[3]黃敬頻.淺談數學建模思想在《數學分析》教學中的滲透[J].廣西大學學報，2003（10）.

[4]陳濤.數學建模競賽的實踐與認識[J].大慶師范學院學報，2006（10）.

[5]姜啟源.數學模型[M].北京：高等教育出版社，2003.

[6]羅朝暉.關于數學建模思想滲入數學分析教學的思考[J].教育與職業，2007（7）.

G642.4

A

1673-1999（2011）01-0188-02

陳濤(1979-)，男，陜西漢中人，碩士，陜西理工學院（陜西漢中723000）數學系講師，從事數學分析教學和研究。

2010-10-17

教育部教育研究項目“使用信息技術工具改造課程”；陜西省教育廳科學研究項目(09JK380)；陜西理工學院教改資助項目。