無網格法的研究發展及工程應用簡述

陳曉珞

0 引言

大量復雜的工程實際問題為計算力學提出了許多迫切需要解決的難題。傳統的依賴于網格的有限元法在處理大變形問題時經常由于網格糾纏而導致求解失敗，而且局部應力集中等現象的精細分析必須進行網格細化并反復迭代求解。這使得通常的有限元在處理這一類問題時不僅要花費大量的時間，而且求解過程非常繁瑣且計算精度較差。基于上述原因，無網格法近幾年來引起了國內外學者的廣泛關注。無網格法無需計算網格，可以避免大變形分析網格畸變而引起的計算困難，使其在處理移動不連續、大變形、高梯度問題等方面比基于網格的近似方法具有特殊的優越性。

1 無網格法的研究發展歷史[1］

對無網格法的研究可以追溯到20世紀70年代初對非規則網格有限差分法的研究，但由于當時有限元法的巨大成功，這類方法沒有受到高度重視。1977年，有Lucy和Gingold等分別提出了基于拉格朗日公式的光滑質點流體動力學(SPH)法。經過Johnson，Swegle等的改進，SPH法的精度有所提高，并且改進了其穩定性。1994年Belytschko在修正了模糊單元法(DEM)的基礎上提出了無網格Galerkin法(EFG)。1995年，Liu等根據函數積分變換的思想，基于Galerkin法提出了再生核質點法(RKPM)，隨后結合小波的概念，構造了多尺度再生核質點法(MRKPM)和小波質點法。1996年，Liu等又引入了移動最小二乘法的思想提出了移動最小二乘法重構核近似方法(MLSRK)。

1995年，Oden和Duarte等利用最小二乘原理建立單位分解函數，提出了Hp云團法，并進行了嚴格的數學論證。此后，Liszka等采用配點形式，提出了Hp無網格云團法。Babuska等將單位分解法與有限元法結合，利用單位分解的形函數將局部定義的近似解相連接，構造出總體常函數的近似解，提出了單位分解法(PUM)。Onate等采用最小二乘插值函數，采用配點格式離散微分方程，提出了有限點法(FPM)。Atluri等提出了局部邊界積分方程法(LBIE)，并在此基礎上，利用移動最小二乘逼近構造局部子域上的權函數和形函數，提出了無網格局部Petrov-Galerkin法(MLPG)。

徑向基函數(RBF)具有形式簡單、各向同性等優點，也可以用來構造無網格形函數形成基于徑向基函數的無網格法。張雄等[3］基于徑向基函數構造了配點型無網格法，并從加權殘量法出發構造了最小二乘配點型無網格法和加權最小二乘無網格法。

2 三種主要的無網格法

根據所使用的計算模型的不同，無網格法可分為三大類[2］:1)基于配點的無網格法;2)基于弱式(主要是各種Galerkin弱式)的無網格法;3)基于積分弱式和配點結合的無網格法。以下僅就兩類討論三種主要的無網格法。

2.1 光滑質點流體動力學法(SPH法)

在通常的分類中，SPH法被歸為基于配點法的無網格法[2］。作為較早提出的一種無網格法，SPH法的主要思想是認為任何一個連續系統可離散為一系列的任意分布的質點，所有有關這一系統的量(物理的或數值的)都認為集中于這些質點上。它的基礎理論是插值理論，采用近似方法將偏微分方程轉換成積分方程，然后用質點近似方法將連續形式的積分方程轉換成離散形式的方程。

SPH法滿足CFL條件，但具有張力不穩定的缺點。美國Sandia國家實驗室[4］提出了在SPH法中出現的張力不穩定性的解決方案。另外，Dyka等提出了一種解決SPH法張力不穩定性的方法，不僅消除了張力不穩定性，還保證了計算的精確性。Swegle等提出了保守光滑方法來解決SPH法的張力不穩定性問題。

SPH法中對邊界條件的處理是一個難點又是容易被忽略的問題。在早期的流體動力學中應用SPH法不需要處理邊界條件或僅需作簡單的處理，但在廣義的邊界條件下，則會在邊界上出現密度的不連續現象。因此改進廣義邊界條件下的SPH法，使其具有更好的適應性是很必要的。

2.2 無網格Galerkin法(EFG法)

EFG法是典型的基于積分弱式的無網格法，一般應用Galerkin方法獲得離散方程，通過對原控制方程的弱形式實施Galerkin過程，然后應用無網格形狀函數進行離散[2］。

EFG法只需節點信息而不需劃分單元，其節點可以隨機分布，且與積分網格無關。該方法采用移動最小二乘函數近似試函數，這與伽遼金有限元法中常用的插值函數不同。它的基本思想是在變量域上用一些離散點的函數值并采用移動最小二乘法來擬合場函數，從而擺脫了單元的限制。

EFG法解決場問題的一般步驟如下[5］:1)根據具體問題的平衡方程，利用變分原理得到EFG法整體平衡方程，利用最小二乘擬合可以將場函數表示成節點未知量和形函數的關系式，這樣場函數對坐標的偏導數就可以表示成形函數對坐標的偏導數，積分式采用高斯積分法計算。2)在整個區域布置節點，并劃分積分子域，根據節點疏密確定影響半徑。3)在所有高斯點上循環集成整體平衡方程組，并求解。

2.3 再生核質點法(RKPM法)

RKPM法是在SPH法的基礎上發展起來的。它是Liu針對SPH法的穩定性的不足，通過對SPH法核函數乘以一項修正函數以滿足邊界上的相容性條件后，首次提出的[6］。引入了修正函數和具有緊支撐的光滑連續核函數并借鑒小波分析中多尺度分析技術，使得RKPM法完全消除了SPH法中的不穩定性，并且具有了很多優點。

RKPM方法離散方程的獲得一般是用Galerkin方法，具體實現過程和普通有限元方法并無區別。Aluru等用配點法來得到RKPM方法的離散方程，配點法的實現過程非常簡單，但其穩定性和收斂速度有待于進一步的研究。

和其他無網格方法一樣，RKPM法數值實現中的一個難點是本質邊界條件的處理。由于RKPM法的形函數并不是插值函數，所以它們并不滿足Kronecker delta條件，導致邊界上質點處的近似值是區域內部和邊界上質點值的線性組合，所以本質邊界條件的處理要比有限元法復雜。RKPM法處理本質邊界條件的方法主要有:Lagrangian乘子法，約束質點位移消除法，修正的變分原理法，坐標變化法，引入在邊界處為零的核函數或修正函數，以及基于達朗伯原理的方法。

和其他無網格方法一樣，目前尚沒有一種處理RKPM方法本質邊界條件非常簡單而完美的方法。

3 以上三種無網格法的應用

3.1 SPH 法

這種方法最初在天體物理學領域中用來模擬三維無界空間中天體的演化。如今，SPH法在計算流體力學和計算固體力學也有廣泛運用，例如Monaghan將SPH法用于自由面水波的模擬，Edmond和Shao Songdong用SPH法結合大渦模型模擬近岸孤立波的爬升，Libersky將SPH法應用于爆炸問題模擬，Swegle和Attaway使用SPH法進行水下爆炸模擬研究，Liu把SPH法應用于模擬水的沖擊減震方面的研究。除了在流體力學中的應用外，SPH法還在人為粘性和熱傳導中有比較多的應用。

3.2 EFG 法

EFG法的主要用處在于求解邊值問題的數值解，如固體力學、計算流體力學、熱力學、聲學、電磁學等。目前，EFG法在固體力學應用較多[8］，主要有以下幾個方面:

1)斷裂力學:EFG法對局部高梯度應力分布良好的表現能力和它不需要單元網格的特點，使它很適合用于斷裂力學的計算并跟蹤裂紋的擴展。

2)巖土工程:巖土工程的復雜性在于其材料的高度非均勻性和離散性，裂隙、節理及成層結構的存在，通常的數值分析工具往往無法很好地反映實際情況。EFG法在這個方面的應用則較好的解決了這類問題。

3)板、殼分析:EFG法本身所具有的、能自然求得高次連續解答的優良性能，使得它很適合用于板、殼結構的分析。

4)新材料的性能分析和模擬:對于不能以彈性模量、泊松比等參數來簡單衡量力學性能的新型材料而言，對這些材料性能的模擬就顯得相對復雜。利用EFG方法求解，可通過賦予積分網格中積分點不同的材料參數來模擬材料特性的非均勻分布。

此外，EFG法在梁的振動分析、隨機力學分析和可靠度分析、地下水流分析、非破壞評價、求解河道水流動力等方面也有廣泛的應用。

3.3 RKPM 法

RKPM法作為一種有潛力的無網格方法，逐漸引起人們的關注，越來越多的關于RKPM法的研究也在不斷地進行。

Liu和Chen等[9］用RKPM法對結構動力學和聲學問題進行了研究。計算了波動方程和梁的橫向振動方程，將RKPM法計算結果和解析解進行對比，驗證了不同膨脹參數對RKPM法計算結果的影響。RKPM法在大變形分析領域取得的成果很引人注目。Chen等用RKPM方法對金屬成型大變形過程進行了模擬。采用基于Lagrangian的再生核函數近似，對金屬薄片沖壓成型過程及冷鐓粗過程進行了數值模擬。Chen等用配點法離散接觸約束的邊界積分方程，提出了處理本質邊界的一系列方法。

除此之外，RKPM法在固體力學，微電機系統的力學分析以及在空氣動力學中對某些計算模型進行了計算[10］，得到了比較好的計算結果。

4 結語

無網格法應用范圍廣泛，雖然發展歷史不長，只有短短二三十年。但是在傳統的計算力學領域，解決特殊問題，如大變形問題、裂紋擴展問題等，以及一些新興的工程科學領域，如生命科學、納米技術等，無網格法所表現出的優勢越來越明顯。雖然它在理論基礎及嚴格的數學證明上還有不足，但是隨著無網格法研究的進一步發展和深入，這些問題的解決應該只是時間的問題了。

[1]張 雄，宋康祖，陸明萬.無網格法研究進展及其應用[J］.計算力學學報，2003，20(6):730-742.

[2]顧元通，丁 樺.無網格法及其最新進展[J］.力學進展，2005，35(3):323-337.

[3]張 雄，宋康祖，陸明萬.Meshless Methods Based on Collocation with Radial Basis Functions[J］.Comput.Mech，2000，26(4):333-343.

[4]Swegle J W，Hicks D L，Attaway S W.Smooth particle hydro-dynamics stability analysis[J］.Comput.Phys，1995(116):123-134.

[5]曹國金，姜弘道.無單元法研究和應用現狀及動態[J］.力學進展，2002，32(4):526-534.

[6]Liu W K，Jun S，Zhang Y F.Reproducing Kernel particle methods[J］.Int J Numer Methods Engrg，1995(20):1081-1106.

[7]張鎖春.光滑質點流體動力學(SPH)方法[J］.計算物理，1996，13(4):385-395.

[8]宋康祖，陸明萬，張 雄.固體力學中的無網格方法[J］.力學進展，2000(30):55-65.

[9]Liu W K，Chen Y，Chang C T，et al.Advances in multiple kernel particle methods[J］.Comput.Mech，1996，18(2):73-111.

[10]周進雄，李梅娥，張紅艷，等.再生核質點法研究進展[J］.力學進展，2002，32(4):535-544.