基于FDTD法等離子體光子晶體的禁帶特性研究＊

郭 斌 曾進啟 張煥德

（武漢理工大學理學院 武漢 430070）

0 引 言

光子晶體（photonic cr ystal，PC）的概念是1987年由 E.Yablonovitch［1］和 S.John［2］同時提出的，前者主要著眼于控制材料的自發輻射性質，而后者則側重于研究無序介質對光局域化的影響，他們都提出了材料的介電函數周期性變化的結構能夠影響材料中光子的狀態模式，由此可以設計出能影響光子性質的材料.光子晶體迄今取得異常迅猛的發展，是一門正在蓬勃發展的有前途的新學科.近年來，光子晶體研究的新領域——一種等離子體／介質成周期性排列或者等離子體密度呈周期性分布的微納米結構，稱為等離體光子晶體（plasma photonic crystal，PPC）［3－5］的結構受到了廣泛的關注，相關的研究工作也不斷地展開.由于等離子體既是一種色散介質又是一種耗散介質，其等離子體的特性可由外加參數以及自身參數所影響，所以PPC不僅具有獨特的光子禁帶特性和光子局域態，還同時具有等離子體的特性.因此，可以通過改變等離子體的參數和磁場的大小和方向來人為的控制等離子體光子晶體的性質和參數，這在工程應用方面具有重大的實際意義.文中從時域有限差分法（finite－difference domain－time，FDTD）［6］出發，數值模擬了垂直入射電磁波在一維等離子體／介質所構成的PPC中傳播的反射和透射特性，分析和研究了一維PPC的光子禁帶特性，并討論了諸如等離子體厚度，介質材料的介電常數等因素對其禁帶特性的影響.

1 理論以及公式推導

為了簡單起見，假設這種等離子體／介質組成的微納結構是非磁性的，其結構示意圖如圖1所示.對于這種一維等離子體／介質組成的PPC結構，它的介電函數可由下面的公式給出

式中：ω 為入射電磁波的頻率；ωp＝（nee2／ε0m）1／2為等離子體頻率；ne為等離子體層中的電子密度；e為電子的電量，m為電子的質量；ε0為真空中的介電常數；εb為介質材料的介電常數.

圖1 一維PPC示意圖

在這里，假設等離子體／介質PPC被分割成許多小單元，每個單元有2種介質組成：一種是厚度為a的等離子體層；一種是厚度為b的介質材料層.Λ＝a＋b為單元的周期.

電磁波在一維PPC中傳播時，滿足麥克斯韋方程組［7］

式中：μ0為真空中的磁導率；E和H 分別為電場強度和磁場強度.在一維的情況下，6個電磁場分量以及介電常數只與電磁波傳播方向z有關，而與x和y無關.則式（2）和式（3）可以化簡為

利用中心差分的方法，可將式（4）或式（5）離散化成迭代的形式.這里，僅將式（4）離散成迭代的方程.則有如下形式

式中：l和n都為整數，分別為沿電磁波傳播z方向的空間步長Δz的個數和時間步長Δt的個數.應用一維FDTD方法的穩定性條件為

式中：c為光在真空當中傳播的速度.

2 計算結果及討論

通過Matlab編寫FDTD代碼數值模擬了時域高斯脈沖exp（－（t－5τ）2／2τ2）在一維PPC中傳播的反射和透射波形，式中τ＝10為常量，跟入射電磁波的頻率相關.其他一些重要的參數如下：等離子體頻率ωp＝2π×2×1011rad／s，周期Λ＝10－3m，FDTD計算的空間步長Δz＝1.0 mm，時間步長Δt＝2 ps，計算空間的兩端采用PML吸收邊界條件，FDTD模擬的空間為8個周期的PPC.等離子體厚度的填充因子定義為f＝a／Λ，入射電磁波頻率ω用等離子體頻率ωp來歸一化，定義為ω＝ω／ωp，介質材料的介電常數εb用真空中的介電常數ε0來歸一化，定義為εb＝εb／ε0.

圖2和圖3為介質材料的介電常數為εb＝1（真空）時不同等離子體厚度時的反射（實線）和透射（虛線）波形.圖2對應f＝0.1，圖3對應f＝0.3.從圖中可見看出此時的反射波形和透射波形是具有一定頻率禁帶特性的能帶結構，并且存在截止頻率；而且很明顯，隨著等離子體厚度的增加，光子禁帶結構的寬度變得更大.

圖2 反射（實線）和透射（虛線）波形（f＝0.1）

圖3 反射（實線）和透射（虛線）波形（f＝0.3）

圖4 反射（實線）和透射（虛線）波形（εb＝1）

圖4 和圖5為等離子體厚度為f＝0.1時不同介質材料的介電常數的反射（實線）和透射（虛線）波形.圖4對應εb＝1（真空），圖5對應εb＝2（二氧化硅）.從圖中可以看到：當等離子體密度及等離子厚度這2個參數固定時，介質材料的介電常數εb越大，光子禁帶特性結構的寬度越小；并且隨著介質材料的介電常數的增大，在低頻率的區域會形成一個新的禁帶特性結構，即，增加介質材料的介電常數εb會產生更多的光子禁帶特性結構.

圖5 反射（實線）和透射（虛線）波形（εb＝2）

3 結束語

本文研究了垂直入射的電磁波在一維PPC中的傳播特性，采用FDTD數值模擬的方法討論了等離子體厚度和介質材料的介電常數對電磁波在PPC中傳播特性的影響.結果表明：隨著等離子體厚度的增大，光子禁帶特性結構也隨之增大，而介質材料的介電常數的增加會產生更多的光子禁帶特性結構.本文中，忽略了等離子體中的碰撞對電磁波在PPC中傳播特性的影響.如果考慮到等離子體中電子與中性氣體分子的碰撞的話，電磁波在PPC中傳播的將存在吸收，其光子禁帶特性結構將變得更加復雜.相關工作有待做進一步深入的研究.

［1］Yablonovitch E.Inhibited spontaneous emission in solid－state physics and electronics［J］.Phys.Rev.Lett.，1987，58（20）：2059－2062.

［2］John S.Strong localization of photons in certain disor dered dielectric superlattices［J］.Phys.Rev.Lett.，1987，58（23）：2486－2489.

［3］Hojo H，Mase A.Dispersion relation of electro magnetic waves in one－di mensional plas ma photonic cr ystals［J］.J.Plas ma Fusion Res.，2004，80（4）：89－90.

［4］Guo B.Transfer matrix for obliquely electromagnetic waves pr opagation in one di mension plas ma photonic crystals［J］.Plasma Sci.Technol.，2009，11（1）：18－22.

［5］Guo B.Photonic band gap str uctures of obliquely incident electro magnetic waves propagation in one－dimension absor ptive plas ma photonic cr ystal［J］.Phys.Plasmas，2009，16（4）：043508－1－6.

［6］Taflove A，Susan C H.Co mputational electrodynamics：the finite－difference time－domain method［M］.3r d ed.Artech House Publishers，2005.

［7］郭碩鴻.電動力學［M］.北京：高等教育出版社，2002.