萬向鉸傳動(dòng)偏斜軸系橫向振動(dòng)的主共振分析

馮昌林,朱擁勇,王德石

(海軍工程大學(xué)兵器工程系,湖北 武漢 430033)

0 引 言

偏斜軸系在各種艦艇機(jī)械結(jié)構(gòu)中廣泛存在,考慮用萬向鉸(萬向聯(lián)軸器)運(yùn)動(dòng)約束描述一類軸系的偏斜。由于萬向鉸的運(yùn)動(dòng)傳輸特性,即使在主動(dòng)軸轉(zhuǎn)速和輸入力矩恒定的定常工況下,從動(dòng)軸依然表現(xiàn)出波動(dòng)的轉(zhuǎn)速,承受波動(dòng)的傳遞彎矩和軸向轉(zhuǎn)矩的作用,從而引起軸系的非線性振動(dòng)[1]。1958年,Rosenberg曾采取具有集中轉(zhuǎn)子質(zhì)量的均勻無質(zhì)量彈性軸模型對萬向鉸傳動(dòng)的旋轉(zhuǎn)軸的橫向振動(dòng)穩(wěn)定性進(jìn)行過研究[2],得到了偏斜角導(dǎo)致的各種亞臨界失穩(wěn)條件,研究成果至今仍得到學(xué)術(shù)界的普遍重視。結(jié)果同時(shí)表明,振動(dòng)的穩(wěn)定性依賴于傳遞力矩的幅度。T.Iwatsubo與M.Saigo,研究了彈性支撐下的有非跟隨力矩作用的剛性軸,將幾何約束處理為0偏斜角度,即類似于直軸,而考慮萬向鉸約束下的運(yùn)動(dòng)波動(dòng),給出了力矩表達(dá)式,發(fā)現(xiàn)了參數(shù)失穩(wěn)和顫振型失穩(wěn);并在廣義坐標(biāo)的選擇方法上,給出了萬向鉸驅(qū)動(dòng)軸橫向振動(dòng)的Euler坐標(biāo)描述方法[3]。與此同時(shí),H.Ota,M.Kato與H.Sugita等發(fā)表了2部研究報(bào)告[4-5],導(dǎo)出了萬向鉸約束中的波動(dòng)力(力矩),研究了約束激勵(lì)下的橫向強(qiáng)迫振動(dòng)機(jī)理與規(guī)律,給出了特征參數(shù)的實(shí)驗(yàn)研究結(jié)果。其后,又進(jìn)一步考慮了摩擦[6],將軸系中的從動(dòng)軸考慮為無質(zhì)量、偏心且對稱的轉(zhuǎn)子,將軸柔性處理為集中剛度,研究了參數(shù)共振問題,得到主軸轉(zhuǎn)速接近于扭轉(zhuǎn)、或者橫向固有頻率的偶數(shù)倍時(shí),產(chǎn)生參數(shù)共振。盡管由于研究過程中做了較多假設(shè),還存在進(jìn)一步的待研究空間,Rosenberg[2]與T.Iwatsubo[3]的工作仍然成為研究萬向鉸傳動(dòng)軸系橫向振動(dòng)與穩(wěn)定性的經(jīng)典成果,對本文的模型研究也具有參考價(jià)值。本文將研究萬向鉸傳動(dòng)的剛性旋轉(zhuǎn)軸橫向振動(dòng)的主共振問題。應(yīng)用希爾無限行列式方法對萬向鉸傳動(dòng)的從動(dòng)軸的橫向振動(dòng)微分方程進(jìn)行穩(wěn)定性分析,得到系統(tǒng)主共振的穩(wěn)定圖,并分析系統(tǒng)參數(shù)對主共振穩(wěn)定性邊界的影響。

1 模型描述

取單萬向鉸傳動(dòng)的偏斜軸系,系統(tǒng)包括主動(dòng)軸、從動(dòng)軸和萬向鉸十字軸。只考慮存在萬向鉸固有結(jié)構(gòu)偏斜時(shí),驅(qū)動(dòng)軸與從動(dòng)軸處于同一平面內(nèi),且2軸之間的夾角用 φ表示。當(dāng)驅(qū)動(dòng)軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),在萬向鉸的作用下,從動(dòng)軸產(chǎn)生橫向振動(dòng),如圖1所示,用廣義坐標(biāo)(角位移)αL和 βL描述從動(dòng)軸的橫向振動(dòng)。

圖1 偏斜旋轉(zhuǎn)軸橫向振動(dòng)的廣義坐標(biāo)Fig.1 The sketch map of lareral vibration on mialigned rotary shaft

2 運(yùn)動(dòng)方程

本文主要研究偏斜軸系的橫向振動(dòng),因此忽略從動(dòng)軸的扭轉(zhuǎn)彈性。從動(dòng)軸受到的外力主要包括2個(gè)部分:一是萬向鉸十字架作用在從動(dòng)軸上的力,這些力共同產(chǎn)生的合力矩就是主動(dòng)軸輸入力矩通過萬向鉸傳遞到從動(dòng)軸上的力矩;二是軸承處的彈簧力和阻尼力,分別對從動(dòng)軸作用產(chǎn)生彈簧力矩和阻尼力矩。萬向鉸傳動(dòng)偏斜軸系的橫向振動(dòng)可以看成是從動(dòng)軸在外力矩的作用下繞萬向鉸十字軸的中心的轉(zhuǎn)動(dòng)。利用改進(jìn)的從動(dòng)軸繞原點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的普遍運(yùn)動(dòng)微分方程(即歐拉方程),可以建立該萬向鉸傳動(dòng)的從動(dòng)軸的橫向振動(dòng)微分方程:

其中:T0為主動(dòng)軸上的輸入力矩;l為從動(dòng)軸長度;J0為從動(dòng)軸橫向轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;κ為從動(dòng)軸的極向轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和橫向轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的比值;Kx2和Ky2為從動(dòng)軸端部軸承處彈簧剛度系數(shù);Cx2和Cy2為從動(dòng)軸端部軸承處阻尼器阻尼系數(shù);p(τ)為萬向鉸傳遞的角速度波動(dòng)函數(shù)。

方程(1)左邊第2項(xiàng)的系數(shù)矩陣為阻尼矩陣,阻尼矩陣中的元素有的是常數(shù),由系統(tǒng)參數(shù)決定,有的是變量,與無量綱時(shí)間 τ有關(guān);左邊第3項(xiàng)的系數(shù)矩陣為剛度矩陣,剛度矩陣是常數(shù)矩陣,只與系統(tǒng)參數(shù)有關(guān);左邊第4項(xiàng)不含無量綱時(shí)間 τ的函數(shù),僅與橫向振動(dòng)本身有關(guān),故它能引起系統(tǒng)的自激振動(dòng),產(chǎn)生顫振型失穩(wěn);左邊第5項(xiàng)和第6項(xiàng)含有無量綱時(shí)間 τ的正弦、余弦函數(shù),作為參數(shù)激勵(lì),能引起系統(tǒng)的參數(shù)共振;方程右邊為強(qiáng)迫振動(dòng)項(xiàng),它能引起系統(tǒng)的強(qiáng)迫共振,方程左邊第4～6項(xiàng)及右邊項(xiàng)都含有從動(dòng)軸受到的彎曲力矩,它們均與主動(dòng)軸輸入力矩T0有關(guān),是對由萬向鉸傳遞力矩引起從動(dòng)軸橫向振動(dòng)的定量描述。可見,對于萬向鉸驅(qū)動(dòng)的偏斜軸系橫向振動(dòng)問題,萬向鉸傳遞力矩不僅能引起系統(tǒng)的自激振動(dòng),還能引起系統(tǒng)的參數(shù)振動(dòng)。

3 穩(wěn)定性分析

令 φ=0,采用希爾無限行列式方法[3]進(jìn)行主共振穩(wěn)定性分析。將方程(1)對應(yīng)的齊次方程組中的三角函數(shù)表示成復(fù)數(shù)形式:

由于式(1)中三角函數(shù)的周期T*=π,設(shè)式(2)解的形式為:

其中,Q(τ)=[q1(τ),q2(τ)]T為復(fù)周期函數(shù),其周期為T*或2T*。由此,可將Q(τ)展開為傅立葉級數(shù)形式:

其中,向量qi=(qi1,qi2)T,且當(dāng)其周期為T*,有qi=0(i=±1,±3,±5,……)。方程(2)的解可表示為:

將式(5)代入式(2)中,得到如下2個(gè)關(guān)系式:

其中 ,Fi(z)=- ν2(z+i)2I+j(z+i)ν C+K+Γ E2(i=0,±1,±2,±3,±4, ±5, ±6,…);S1和S2為無窮階矩陣。則式(2)的解為非零解的充要條件為:

即式(2)存在非零解時(shí)必須滿足矩陣S1和S2的行列式均為0。由于f2(z)=f1(z+1),說明式(8)和式(9)是等價(jià)的,分析系統(tǒng)穩(wěn)定性,只需對式(8)或者式(9)進(jìn)行穩(wěn)定性分析即可。由于式(8)中既含有參數(shù)振動(dòng)項(xiàng)和,又含有自激振動(dòng)項(xiàng) E2,因此,式(8)可同時(shí)給出參數(shù)激勵(lì)與自激振動(dòng)共同作用時(shí)的穩(wěn)定性條件。

為便于計(jì)算,可將無窮維矩陣S1近似為有限維n階矩陣進(jìn)行穩(wěn)定性分析,階數(shù)越高,則所得穩(wěn)定性結(jié)果與理論結(jié)果越相近。當(dāng)驅(qū)動(dòng)軸旋轉(zhuǎn)角頻率 ω接近于主共振頻率 ω10時(shí),無窮維矩陣S1近似為2階矩陣,其相應(yīng)的行列式寫為:

可得系統(tǒng)主共振(產(chǎn)生在固有頻率 ω10處)時(shí)的穩(wěn)定性條件:

或者

從式(11)和式(12)可以看出,主共振穩(wěn)定性條件不僅與輸入扭矩T0、支撐軸承安裝位置l以及軸承剛度Ky2有關(guān),還與阻尼系數(shù)Cy2以及從動(dòng)軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J0等因素有關(guān),通過合理選取系統(tǒng)參數(shù),減小系統(tǒng)的不穩(wěn)定區(qū),可以達(dá)到抑制系統(tǒng)主共振的產(chǎn)生。

同樣,當(dāng)主動(dòng)軸角速度 ω接近于主共振頻率 ω20時(shí),系統(tǒng)主共振(產(chǎn)生在固有頻率 ω20處)穩(wěn)定性條件為

或者

分析系統(tǒng)參數(shù)對主共振穩(wěn)定性邊界的影響。以固有頻率 ω10作為中心頻率時(shí),根據(jù)式(12)可知,若輸入扭矩T0一定,增大支撐軸承彈簧剛度系數(shù)Ky2與阻尼系數(shù)Cy2,增大從動(dòng)軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J0或者增大軸長l,均可使主共振的不穩(wěn)定區(qū)變大,系統(tǒng)在頻率 ω10附近易產(chǎn)生主共振。以固有頻率 ω20作為中心頻率時(shí),也存在同樣的規(guī)律。因此,在實(shí)際萬向鉸傳動(dòng)的偏斜軸系中,要抑制系統(tǒng)主共振的產(chǎn)生,應(yīng)適當(dāng)選擇支撐軸承的安裝位置,并盡量選取大剛度且足夠光滑的支撐軸承,同時(shí)減小從動(dòng)軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J0。

圖2 系統(tǒng)主共振穩(wěn)定圖Fig.2 Stability of principal resonance

圖3 主共振穩(wěn)定圖(Kx2=Ky2)Fig.3 Stability of principal resonance(Kx2=Ky2)

若支撐軸承具有均勻性,則Kx2=Ky2,此時(shí)有ω10=ω20=Ω0,同樣取C11=C22=0.3,則根據(jù)式(11)或式(13)可得到系統(tǒng)產(chǎn)生主共振時(shí)的穩(wěn)定圖,如圖3所示。此時(shí),由于兩固有頻率相同,系統(tǒng)主共振時(shí)只存在1個(gè)不穩(wěn)定區(qū),其中心頻率為 Ω0;注意到(ω10+ω20)/2=Ω0,這說明系統(tǒng)在Kx2=Ky2時(shí)產(chǎn)生的主共振即為系統(tǒng)的和型組合共振。

4 結(jié) 語

偏斜軸系的振動(dòng)是機(jī)械科學(xué)及力學(xué)領(lǐng)域的重要研究內(nèi)容。本文在考慮萬向鉸結(jié)構(gòu)偏斜,將從動(dòng)軸當(dāng)作剛性細(xì)長軸,將從動(dòng)軸端部支撐軸承簡化為2對彈簧阻尼器的基礎(chǔ)上,建立了萬向鉸傳動(dòng)偏斜軸系的橫向振動(dòng)微分方程。應(yīng)用希爾無限行列式方法對方程進(jìn)行了穩(wěn)定性分析,得到了系統(tǒng)主共振的穩(wěn)定圖,并分析了系統(tǒng)參數(shù)對主共振穩(wěn)定性邊界的影響。結(jié)果表明,增大支撐軸承彈簧剛度系數(shù)與阻尼系數(shù)、增大從動(dòng)軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量或者增大軸長,均可使主共振的不穩(wěn)定區(qū)變大,系統(tǒng)在固有頻率附近易產(chǎn)生主共振;系統(tǒng)在支撐均勻(Kx2=Ky2)時(shí)產(chǎn)生的主共振即為系統(tǒng)的和型組合共振。研究工作對進(jìn)一步確定萬向鉸傳動(dòng)的偏斜軸系的動(dòng)力學(xué)行為,抑制偏斜軸系振動(dòng)具有重要的意義。

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