對(duì)一題多解的辯證理解

435100 湖北省大冶市第一中學(xué) 余錦銀

1 一題多解的優(yōu)點(diǎn)

“一題多解”之所以深受數(shù)學(xué)教師的重視，就是因?yàn)樵诮忸}過(guò)程中能夠引導(dǎo)學(xué)生多層次、多角度的思考問(wèn)題，全面地應(yīng)用知識(shí)來(lái)分析問(wèn)題與解決問(wèn)題.

例如人教版第二冊(cè)(下B)的習(xí)題9.8的第4題：如圖，已知正方體ABCD－A'B'C'D'的棱長(zhǎng)為1，求直線 DA'與 AC的距離.教師可以引導(dǎo)學(xué)生從不同的入口，挖掘不同的解法.

解法1∵AC∥平面A'DC'，

∴點(diǎn)A到平面A'DC'的距離h就等于異面直線AC與DA'的距離，從而轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距.

解法2不妨在AC上任取一點(diǎn)H，過(guò)H作GH⊥AD交AD于點(diǎn)G，則GH⊥平面ADD'A'，

∴GH⊥A'D，在A'D上再任取一點(diǎn)F，轉(zhuǎn)化為異面直線上任意兩點(diǎn)距離的最小值.

解法3以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則D(0，0，0)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，D'(0，0，1)，A'(1，0，1)，設(shè)MN的一個(gè)方向向量為a=(x，y，1)，利用a⊥→—AC，

在教學(xué)中，教師應(yīng)發(fā)掘問(wèn)題的多解因素，結(jié)合學(xué)生的實(shí)際情況，鼓勵(lì)學(xué)生以問(wèn)題為出發(fā)點(diǎn)，不囿于單一的解題思路和方法，引導(dǎo)學(xué)生在解法上求異，盡可能尋求較多的解題思路、方法.而教學(xué)中通過(guò)一題多變的教學(xué)手段，能使學(xué)生深刻吃透知識(shí)的外延與內(nèi)涵，同時(shí)培養(yǎng)了學(xué)生的發(fā)散思維能力，挖掘出學(xué)生的創(chuàng)新潛力，形成探究意識(shí)，從而達(dá)到以一勝多的功效.

2 一題多解的常見(jiàn)誤區(qū)

在高三復(fù)習(xí)中，許多教師都非常重視一題多解教學(xué)，因?yàn)橐活}多解教學(xué)既能幫助學(xué)生夯實(shí)“雙基”，又可以培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性和靈活性，提高學(xué)生能力，從而提高高三習(xí)題教學(xué)的復(fù)習(xí)效果.然而筆者發(fā)現(xiàn)，有些深愛(ài)學(xué)生的老師，正是用自己的奮斗——“一題多解”的使用不當(dāng)，去摧毀自己的復(fù)習(xí)目標(biāo)——老師精彩講解后，很多學(xué)生卻感慨“老師講的頭頭是道，可是我為什么就想不到?”.

常見(jiàn)誤區(qū)一教師或尖子生唱“獨(dú)角戲”.有的教師在課堂上常把自以為得意的“巧解妙法”大肆羅列，或?qū)€(gè)別尖子學(xué)生的思維代替全班學(xué)生的思維，把大多數(shù)學(xué)生放在一邊作陪襯，以至于很多的巧解妙法難于為多數(shù)學(xué)生所理解和接受.

高效原則1面向大多數(shù).試想，對(duì)一名基礎(chǔ)題型都搞不明白的學(xué)生，大談什么“一題多解”有什么實(shí)際意義呢?這樣做恐怕只能是麻雀跟著蝙蝠飛——熬了眼睛受了罪.結(jié)果越聽越糊涂.如同邯鄲學(xué)步——跑沒(méi)學(xué)會(huì)，走也忘了.這顯然與我們實(shí)施“一題多解”的初衷背道而弛.對(duì)這樣的學(xué)生，教師必須先解決好他們的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，然后循序漸進(jìn)，登堂入室.在基礎(chǔ)條件不具備的情況下，“一題多解”先緩一緩也未嘗不可.雖然我們一貫強(qiáng)調(diào)面向全體卻無(wú)法使所有的學(xué)生齊頭并進(jìn)，但我們必須面向絕大多數(shù)學(xué)生——以獲得復(fù)習(xí)效益的最大化.

高效原則2時(shí)機(jī)要恰當(dāng).一題多解教學(xué)要在學(xué)生對(duì)有關(guān)的知識(shí)和技能熟練掌握的基礎(chǔ)上進(jìn)行.如果學(xué)生對(duì)有關(guān)的知識(shí)和技能沒(méi)有熟練掌握，就談不上靈活運(yùn)用，就談不上縱向、橫向聯(lián)系，也就不能進(jìn)行一題多解.所以，一題多解教學(xué)一般應(yīng)在學(xué)生對(duì)某一部分知識(shí)或某幾部分知識(shí)熟練掌握的時(shí)候，在綜合練習(xí)時(shí)進(jìn)行.學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)掌握得越深刻，越透徹，基本技能越嫻熟，越靈活，就越能夠進(jìn)行一題多解，上這種課就越能收到好的效果.

高效原則3選題要得當(dāng).選題得當(dāng)是學(xué)生一題多解的前提條件.它既要能夠一題多解，又要顧及班上差生、好生的具體情況，使差生想想也能找出幾種解法，使好生也有用武之地.

常見(jiàn)誤區(qū)二忽視學(xué)生主體.學(xué)生面對(duì)一道例習(xí)題的多種解法，為什么會(huì)發(fā)出“想不到”“到底哪種解法好”的困惑?

高效原則4學(xué)生參與.開展一題多解的教學(xué)，首先要把各種解法的發(fā)言權(quán)徹底交給學(xué)生，讓學(xué)生在主動(dòng)參與、獨(dú)立探索中充分暴露解決問(wèn)題的思維過(guò)程.這樣，學(xué)生解題過(guò)程中思維受阻的現(xiàn)象、典型錯(cuò)誤、閃光點(diǎn)等會(huì)充分展示出來(lái).接著，引導(dǎo)學(xué)生逐一剖析、交流、反思，讓學(xué)生在激烈的多樣化的思維碰撞中感悟各種解法的本質(zhì).最后，教師再有針對(duì)性的加以引導(dǎo)、點(diǎn)撥與評(píng)價(jià)，從而最大限度的促進(jìn)每個(gè)學(xué)生的發(fā)展.這樣的一題多解教學(xué)才是有效的.

常見(jiàn)誤區(qū)三教師“啟發(fā)”過(guò)多.過(guò)多的“啟發(fā)”就會(huì)剝奪學(xué)生思維“長(zhǎng)度”，甚至打斷學(xué)生思維.

高效原則5還課于生.擠牙膏式的“啟發(fā)”并不是真正的啟發(fā)!并不能真正培養(yǎng)學(xué)生的思維.因?yàn)檫@樣的教學(xué)并沒(méi)有讓學(xué)生整體地面對(duì)問(wèn)題、整體地思考問(wèn)題、獨(dú)立地探究問(wèn)題，不僅對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的思維沒(méi)有實(shí)質(zhì)幫助，甚至連學(xué)生探求知識(shí)的熱情也會(huì)扼殺.因此，教師在備課時(shí)一定要搞清楚的一個(gè)問(wèn)題就是：“什么內(nèi)容是非講不可的?什么內(nèi)容可以不講?”

高效原則6適時(shí)靜默、少講多聽多看.中國(guó)古代哲學(xué)認(rèn)為治國(guó)的最高境界是“無(wú)為而治”，與此類比，我們的教學(xué)是否也可以“不教而學(xué)”呢?“練在講之前”，只有在老師講解之前學(xué)生已經(jīng)深入地鉆研了問(wèn)題，他才能有“資本”與老師進(jìn)行平等的對(duì)話、交流，他才能真正成為學(xué)習(xí)的主體.但學(xué)生思考練習(xí)時(shí)，教師要靜默，不能用所謂的啟發(fā)打斷學(xué)生的思維，即使輪到自己講時(shí)，也只能“講在關(guān)鍵處”，一是以學(xué)生的學(xué)定老師的教，讓學(xué)生得到真正的啟發(fā)，而不是以教代學(xué);二是確保能夠騰出時(shí)間、空間讓學(xué)生投入到問(wèn)題的探究之中，讓他們真正成為課堂學(xué)習(xí)的主人.

常見(jiàn)誤區(qū)四忽視總結(jié)規(guī)律.在教學(xué)中，有些教師常常忽視了多解教學(xué)中的歸納概括，孤立地看待多解中的各種解法，從而使學(xué)生的思維滯留在感性階段，不能產(chǎn)生質(zhì)的飛躍.

高效原則7目的明確.不但一題多解，還要善于歸納：應(yīng)該說(shuō)，一題多解對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生從不同角度、不同側(cè)面去分析問(wèn)題、解決問(wèn)題，加深對(duì)教材和知識(shí)的理解，提高他們的學(xué)習(xí)能力是十分必要的.但一題多解的最終目的不是來(lái)展示有多少種解決問(wèn)題的途徑，也不是所有的題目都需要用多種方法去解決，而是要尋找一種最佳、最近的途徑，也就是說(shuō)，掌握“一題多解”的最終目的是為了“一題一解”.不要胡亂堆砌，讓學(xué)生驚嘆于教師的高明之余卻茫然于各種解法，而要突出解題分析和解題回顧，引導(dǎo)學(xué)生提煉數(shù)學(xué)思想方法，優(yōu)化已有的解題習(xí)慣與方法.

高效原則8反思回顧.在學(xué)生了解多種解題方法之后，學(xué)生的解題思維不能到此完結(jié)，因?yàn)閷W(xué)生此時(shí)對(duì)各種解題方法的認(rèn)識(shí)還不是非常深刻：幾種解題方法是否完全正確，分析解題的過(guò)程是否都很恰當(dāng)，哪些是一般的解法，哪些是創(chuàng)新的巧法，哪種最簡(jiǎn)便的解法等等，這些都要引導(dǎo)學(xué)生自己去進(jìn)一步思維，進(jìn)一步去認(rèn)識(shí).否則是對(duì)是錯(cuò)，是優(yōu)是劣，是簡(jiǎn)是繁，學(xué)生都不知道，這樣就不能達(dá)到提高學(xué)生解題能力的目的.只有通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生自己對(duì)上述求得的各種解題方法進(jìn)行逐一比較，展開熱烈的討論或爭(zhēng)論，才能真正把握該題型的最簡(jiǎn)便的解題方法，才能進(jìn)一步提高解答數(shù)學(xué)題的能力和效率.這一過(guò)程，就是一個(gè)繼續(xù)思維的過(guò)程，也是一個(gè)對(duì)應(yīng)用題的各種解法的再認(rèn)識(shí)的過(guò)程.它是一題多解訓(xùn)練的一個(gè)不可忽視的環(huán)節(jié).只有這樣，學(xué)生遇到陌生的問(wèn)題，便會(huì)迅速抓住各種方法的精神實(shí)質(zhì)，迅速尋找到(或靈活變換)解題的切入點(diǎn)和突破口.

常見(jiàn)誤區(qū)五忽視講解順序.若忽視講解順序，則各種解法之間容易造成學(xué)習(xí)心理學(xué)中的“前抑?jǐn)z制”或“后攝抑制”.

高效原則9精心設(shè)計(jì)各種解法的“出場(chǎng)”順序.若一開始就講“非常簡(jiǎn)潔的巧法”，學(xué)生就對(duì)相對(duì)繁瑣的通法沒(méi)興趣，因?yàn)楹芏鄬W(xué)生都滿足于一種解法，結(jié)果將通性通法沖淡了.反之，學(xué)生就會(huì)驚嘆于巧法之簡(jiǎn)潔美.再將之對(duì)比，學(xué)生才恍然大悟：原來(lái)通法才是最重要的方法——它是“救命的稻草”.也因此而讓我們?cè)谒伎紗?wèn)題時(shí)，底氣十足，沒(méi)有任何心理負(fù)擔(dān).若一開始就講“技巧性很強(qiáng)的巧法”，善于思考的學(xué)生就會(huì)就可能對(duì)其中的某些細(xì)節(jié)去冥思苦想，從而失去對(duì)后面解法的興趣，這從心理學(xué)角度看，就是前面的學(xué)習(xí)對(duì)后面造成前攝抑制作用，此時(shí)，剩余解法的探究對(duì)這些學(xué)生就沒(méi)有多大價(jià)值了.

常見(jiàn)誤區(qū)六片面追求多解，沖淡通性通法.一題多解是培養(yǎng)學(xué)生解題能力以及發(fā)散性思維的好方法，但應(yīng)把握度.其前提是必須考慮到學(xué)生的可接受性，全體學(xué)生在教學(xué)計(jì)劃規(guī)定的時(shí)間內(nèi)能夠掌握的方法必須講，而且要講清講透.某些入口窄、思路獨(dú)特的方法、特殊技巧方法只適合個(gè)別優(yōu)生學(xué)懂的，可少講或在課堂上不講.有些教師停留在對(duì)解法的盲目求多以及對(duì)解法數(shù)量的表面欣賞上，片面求多，甚至逢題必“多解”，這樣泛濫成災(zāi)的“多解”往往會(huì)弄巧成拙.因?yàn)椴⒉皇撬械囊活}多解都能起到培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維的作用.學(xué)生不同于科學(xué)家，學(xué)生真正能掌握的僅僅是一兩種.

高效原則10適度原則.“一題多變”、“一題多解”是數(shù)學(xué)教學(xué)中實(shí)施創(chuàng)新教育的重要手段，它對(duì)于開拓學(xué)生思路，觸類旁通，舉一反三，具有重要的不可替代的作用.但有的教師似乎對(duì)此過(guò)于執(zhí)著，言必談“多變”，逢題必“多解”，甚至對(duì)某些比較簡(jiǎn)單的題目也化簡(jiǎn)為繁，變直為彎，思路怪異，鉆入牛角尖.教師對(duì)某一命題的多解教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)按照教學(xué)目的發(fā)揮其內(nèi)在的功能和作用，給出的任何一種方法都應(yīng)重在揭示它所蘊(yùn)含的基本數(shù)學(xué)思想和方法這些本質(zhì)屬性上，都應(yīng)具有強(qiáng)烈的目的性，從而幫助學(xué)生提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，掌握學(xué)習(xí)方法.一題多解訓(xùn)練的具體方式方法是很多的，不能死搬硬套，人云亦云.要從實(shí)際出發(fā)，不能千題一律，堂堂如此.要根據(jù)班上學(xué)生學(xué)習(xí)的具體情況和實(shí)際教學(xué)需要，靈活選擇教學(xué)方法.只有這樣，才能調(diào)動(dòng)全班學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，取得好的教學(xué)效果.

只要運(yùn)用得當(dāng)，“一題多解”教學(xué)可以使學(xué)生思路開闊，思維活躍，使學(xué)生大膽質(zhì)疑，大膽創(chuàng)新，找到解決問(wèn)題的多種途徑和方法，對(duì)發(fā)展學(xué)生的思維，特別是創(chuàng)造性思維大有裨益.