一類高考題解法再思考——高數背景下，慎用高數結論

441021 湖北襄陽四中 馬海俊

近幾年，高考數學壓軸題中常出現函數型不等式的恒成立問題，可歸結為“對?x≥0時，f(x)≥g(x)或f(x)≤g(x)恒成立，其中g(x)含有參數a，試確定a的范圍”.此類問題綜合性強，難度大，能力要求高.對于考生能夠起到一定的甄別及選拔功能.張潤平老師在文［1］中，利用高數知識，給出如下命題，并通過此命題解決了幾例高考題.筆者在學習了張老師的文章之后深受啟發，感覺如果老師能站在高數背景下講解數學考題，勢必會有一種高屋建瓴之氣勢，對于學生開拓視野，提升能力也極為有用.可是，當我再細細品味張老師文章，發現張老師的命題稍有瑕疵.今整理出來與張老師及各位同行交流.

張老師在文［1］中給出以下證明過程：

則F(x)在［m，t］上連續，在(m，t)內可導.

由拉格朗日中值定理知：?ξ∈(m，t)，使得

成立，

則F(t)=F'(ξ)t，

∴F(x)=F'(ξ)x，由于F(x)=f(x)-g(x)≥0，

∴ 當x＞0 時，F'(ξ)≥0，即F'(ξ)=f'(ξ)-g'(ξ)≥0，

∴ 當x＞0時，f'(x)≥g'(x)恒成立.

細細推敲張老師的證明過程發現問題出在ξ上.證明過程中ξ只是存在，卻不是任意的.盡管t是任意的，但是對應于每個t，一旦取定，在區間(m，t)內，都是存在ξ使得F'(ξ)=f'(ξ)-g'(ξ)≥0成立，即 ξ不是取遍區間(m，t)內所有值.所以不能因為能找得到 ξ使得F'(ξ)=f'(ξ)-g'(ξ)≥0 成立，就下結論對任意的x＞0，f'(x)≥g'(x)恒成立.

通過以上分析，我們發現，盡管目前高考壓軸題雖然大多具有高數背景，具備一定的高數知識有助于解題，但在使用有關結論及定理時，要慎重考慮定理成立的條件，不然就會出現以特例代替一般而犯錯.

事實上，張老師在文［1］中選擇的五個例題之所以使用命題可以解答，得到正確答案，就在于題目本身隱含了一個條件，那就是構造函數F(x)=f(x)-g(x)后二階導數是大于或等于零的，這就說明F'(x)是一個增函數，再有初始條件F'(x0)=0，就能得到x＞x0時，f'(x)≥g'(x)恒成立.

下面僅以文［1］中例1為例說明.

(Ⅰ)，(Ⅲ)略

(Ⅱ)若f(x)≥lnx在［1，+∞)上恒成立，求a的取值范圍;

此時，令 F(x)=f(x)-lnx，則

上述過程再次告訴我們，利用高數命題簡化證明的過程中，一定要注意充分挖掘隱含條件，慎將高數結論推廣.

1 張潤平.高等數學背景下一類壓軸題的簡解［J］.中學數學(高中版).2011，2