辨“中國元素”，妙解幾何問題

200237 上海西南模范中學 張太樹

中國古代的數學大師劉徽在公元263年的劉徽原理中闡明：任何一個多面體都可分解為長方體、塹堵、陽馬、鱉臑.本文就和大家一起辨“中國元素”，妙解高中立體幾何問題.

首先，來認識一下這些“中國元素”，塹堵是長方體體積的一半.

將塹堵沿以頂點到相對的一棱分割，便得到一個陽馬，與一個鱉臑.

本文大膽的古為今用，把平行六面體分割出來的組件都稱為塹堵、陽馬、鱉臑.

1 辨“墻角型”鱉臑

特征：三線兩兩垂直解題思路：補成正方體或長方體.

例1 過球O的球面上一點P作球的兩兩垂直的三條弦PA，PB，求球O的半徑.

解析 構造長方體，以P為頂點的三條棱PA，PB，PC兩兩垂直，球O就是這個長方體的外接球，對角線PD就是球O的直徑，設半徑等于R，則有2R=

2 辨“正四面體型”鱉臑

特征：正四面體 解題思路：補成正方體.

例2 甲烷分子(CH4)由一個碳原子和四個氫原子組成，其空間構形為一個各條棱都相等的四面體，其中四個氫原子分別位于該四面體的四個頂點上，碳原子位于該四面體的中心，它與每個氫原子的距離都相等.若視氫原子、碳原子為一個點，四面體的棱長為a，求碳原子到各個氫原子的距離.

解析 顯然，四面體的四個頂點在以中心(碳原子)為球心，中心到各頂點(氫原子)的距離為半徑的球面上.

如圖，將此四面體ABCD補成正方體BD'，其中A'，B'，D'也在球面上.設碳原子到每個氫原子的距離為x，則 2x=BD'，BD'，AB(a)，AA'之間的關系是a=AB=

3 辨“直二面角型”鱉臑

特征：直二面角 解題思路：補成正方體

例3 如圖4，把正方形ABCD沿對角線AC折起，使得平面DAC⊥平面BAC，求折疊后直線AB與直線CD所成的角.

解析 此題思路并不復雜，但按常規方法有一定的運算量，如果我們來研究如圖5的正方體EFCA-QGHP，可以很容易地發現圖5中的平面DAC與平面BAC即為符合題意的圖形.

∴求直線AB與直線CD所成的角即求直線AF與直線CP所成的角，而正方體中CP∥QF，

∴直線AF與直線CP所成的角即為直線AF與直線QF所成的角.

∵△AFQ是正三角形，

∴直線AF與直線QF所成的角等于60°，

∴直線AB與直線CD所成的角為60°.

4 辨“古代直”陽馬

特征：直四棱錐 解題思路：補成正方體或長方體.

例4 如圖6，四棱錐P—ABCD的底面ABCD是正方形，側棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點.(1)求證：PA∥平面BDE;(2)在棱PB上是否存在點F，使PB⊥平面DEF?證明你的結論.

解析 (1)略(2)原圖為正方體紅色部分，顯然黑色平面DGH⊥PB，故平面DGH與PB交點為F.

5 辨“現代正”陽馬

特征：正四棱錐 解題思路：補成正四棱柱.

由正四棱錐補成正四棱柱從而做題.

例5 如圖，求所有棱長為a的最“美麗幾何體的體積.

以上思路，希望給大家一點啟發，與大家共勉.