基于二階段抽樣的雙重抽樣框估計量設(shè)計

賀建風

（仲愷農(nóng)業(yè)工程學院 統(tǒng)計系，廣州 510225）

0 引言

傳統(tǒng)抽樣調(diào)查設(shè)計及其估計理論一般基于單一抽樣框的假定。然而，隨著社會經(jīng)濟的飛速發(fā)展，城市化進程的推進與產(chǎn)業(yè)政策的轉(zhuǎn)移使得人口流動與生產(chǎn)單位轉(zhuǎn)移變得比以往任何時期都要頻繁，很難建立覆蓋所有目標單位的單一抽樣框，有時即使可以建成，建設(shè)費用也一定是高昂的，或者需要很長的時間才能完成，建成后還得耗費大量資源對其進行不斷地更新與維護，這不符合抽樣調(diào)查成本低、時效性強的原則。有一種方法可以彌補單一抽樣框覆蓋不完全問題，那就是采用雙重抽樣框（即兩個相互獨立的抽樣框），使他們聯(lián)合起來能夠完全覆蓋目標總體，當然這些抽樣框應(yīng)該是現(xiàn)有的資料，或者能夠輕易構(gòu)建起來，使提高調(diào)查精度的同時還可以節(jié)約調(diào)查的固定成本。

國外對于雙重抽樣框的理論研究起源于上世紀60年代。Hartley(1962，1974)對雙重抽樣框的估計問題進行了開創(chuàng)性研究[1]，隨后 Fuller and Burmeister(1972)，Bankier(1986)，Kalton and Anderson(1986)等人在此基礎(chǔ)上對雙重抽樣框的估計問題進行了拓展[2][3]，但是這些研究僅局限于單一階段抽樣，對于在雙重抽樣框抽樣情形下的二階段抽樣估計量研究的甚少，其中Casady,Snowden,and Sirken（1981）將Hartley 提出的基于雙重抽樣框的估計方法應(yīng)用于電話名錄框與區(qū)域框組合抽樣設(shè)計的分層多階段抽樣[4]，B.C.Saxena,P.Narain,A.K.Srivastava（1984）探討了雙重抽樣框下的二階段抽樣估計問題，但是只考慮了次級抽樣單元在各域的單位調(diào)查成本相同的情形[5]。在國內(nèi)，由于行政分級的政治模式，多階段抽樣調(diào)查成為實際中應(yīng)用較廣泛的一種調(diào)查手段（尤其是政府調(diào)查項目）。國內(nèi)理論界對于多階段抽樣的研究僅局限于單一抽樣框的前提，對于雙重抽樣框的情形未曾涉及。基于此，本文擬引進國外相對豐富的雙重抽樣框估計理論，研究國內(nèi)目前流行的多階段抽樣調(diào)查，將多階段抽樣擴展到雙重抽樣框的情形，以求彌補國內(nèi)在這一領(lǐng)域的空缺。為了分析問題的簡便及計算的簡單可行，本文僅對雙重抽樣框下的二階段抽樣調(diào)查進行研究，對于更多階段的抽樣調(diào)查情形可以按照本文的思路進行推廣。

1 符號及含義

圖1 雙重抽樣框的一般結(jié)構(gòu)

在二階段的抽樣中，假定每個階段都面臨著從雙重框中抽選調(diào)查單元。設(shè)第一階段抽樣有兩個存在相互重疊部分的抽樣框A與B共同組成目標總體，并記NA與NB分別為抽樣框A與B中的總體單位個數(shù)，nA與nB為獨立取自抽樣框A與B的樣本數(shù)。從總體中抽取的初級抽樣單元能夠被分入三個子域（見圖1），即域a，域b和域ab。

域a：包含來自于抽樣框A而不在抽樣框B中的總體單位，記Na為總體單元個數(shù)；

域b：包含來自于抽樣框B而不在抽樣框A中的總體單位，記Nb為總體單元個數(shù)；

域ab：包含來自于抽樣框A與B公共部分的總體單位，記Nab為總體單元個數(shù)。

2 總體總值估計量

Hartley's(1962)提出簡單隨機抽樣情形下的總體總量事后分層估計量：

其中是域a的總體總值估計量，是域b的總體總值估計量，是域ab中來自A抽樣框的總體總值估計量，是域ab中來自B抽樣框的總體總值估計量，θ為抽樣權(quán)重系數(shù)，且0≤θ≤1。

類似（1）式，第i個初級抽樣單元的總體總量事后分層估計量為：

將（2）式代入第一階抽樣下各子域的總體總值估計量公式中，再代入式（1）可得：

3 總值估計量方差和方差的無偏估計

由于從兩個抽樣框選取樣本是相互獨立的，所以來自A抽樣框的統(tǒng)計量與來自B抽樣框的統(tǒng)計量之間的協(xié)方差為0，即：

所以（1）式中總體總值估計量的方差可以表示為：

對于每個抽樣框的兩個子域進行事后分層，估計量的方差接近于：

根據(jù)式（5）估計量(θ)的方差，利用二階段抽樣的估計量方差公式可以推出（3）式估計量(θ,ξ)的方差為：

接下來，可以給出估計量方差的無偏估計，其具體形式如（8）式：

4 結(jié)束語

本文打破了傳統(tǒng)抽樣調(diào)查僅基于單一抽樣框分析的束縛，引進了在實際中成本更低廉、覆蓋面更廣的多重抽樣框調(diào)查新思路；針對雙重抽樣框下的二階段抽樣估計理論進行了研究，給出了總體總值估計量及其估計量方差，并給出了方差的無偏估計。本文的重要意義在于為二階段抽樣中采用雙重抽樣框提供理論支持。

本文的研究展望有如下幾點：其一，本文的研究僅基于所有階段以及各抽樣框的調(diào)查均為簡單隨機抽樣的情形，更進一步的研究需要將這一估計方法拓展到一般類型抽樣調(diào)查的場合；其二，對于多重抽樣框以及多階段的情形本文并未展開分析，感興趣的讀者可以在本文的基礎(chǔ)上進行拓展，但估計量的計算將更為繁瑣；其三，本文考慮的是二個階段均為雙重抽樣框的情形，并且假定所有雙重抽樣框的結(jié)構(gòu)均為圖1所示，對于某階段為單一抽樣框以及雙重抽樣框的結(jié)構(gòu)為完全重疊或某抽樣框包含另一個的情形而言，其估計量的計算比本文更簡單。限于篇幅，這里不再贅述。

[1]Hartley H.O.Multiple Frame Surveys[C].In Proceedings of the Social Statistical Section,ASA,1962.

[2]Hartley,H.O.Multiple-Frame Methodology and Selected Applications[J].Sankhya,Ser.C,1974，（36）.

[3]Fuller,W.A.,Burmeister,L.F.Estimators for Samples Selected from Two Overlapping Frames[C].In Proceedings of the Social Statistics Section,American Statistical Association,1972.

[4]Casady,R.,Snowden,C.,Sirken,M.A Study of Dual Frame Estimators for the National Health Interview Survey[C].Proceeding of the Survey Research Methods Section,American Statistical Association,1981.

[5]B.C.Saxena,P.Narain,A.K.Srivastava.Multiple Frame Surveys in Two Stage Sampling[J].The Indian Journal of Statistics，1984，(4).