超出損失保險的純保費估計和風險度量

歐陽資生

（湖南商學院金融學院，長沙 410205）

0 引言

根據瑞士Sigma雜志統計，自1990年以來全球巨災損失(包括自然災害和人為災禍)發生變得更加頻繁和嚴重。巨大的保險損失給國際保險業帶來了新的挑戰，嚴重威脅著保單持有者的利益。單純的依靠保險業自身的實力已經無法應對這些巨災風險，保險公司的承保能力急劇下降，保險公司和保險監管部門亟待研究制定新的巨災保險費率的方法以解決這些保險公司的賠付能力。

當然，保險業發展至今日，其風險轉移的方式已多樣化，如再保險、保險衍生證券等都已經成為很好的風險轉移的方式。在再保險中，精算師研究的實際上就是超出損失保險(Excess-of-Loss)(簡稱XL)的純保費問題。在XL中，被保險人只能對超出某一固定值(門限值)的損失部分提出索賠要求。這時，純保費就是下一個時期內總索賠數目的期望值。如果設SN為下一個時期內總索賠數目，N是下一個時期內索賠額超出某一固定值u的索賠次數，Zi為超出u的索賠額，Xi表示索賠額超出固定值u的該張保單的索賠額。那么,Zi=Xi-u。而下一期總索賠數目就是

因此純保費就是E[SN]。

對于式（1）的研究，至少涉及到兩個方面，一是索賠次數N的估計問題，目前文獻中索賠次數大多采用Poisson過程來描述。事實上，如果N為服從一參數為λ的Poisson過程。顯然，此時純保費就是E[SN]=λm(F)(這里m(F)表示Zi的分布F的均值)。二是對超出某固定值的索賠額Zi的分布的刻畫問題?？紤]到索賠數據的厚尾性，目前在索賠額Zi的分布的描述，多采用極值分布，如廣義Pareto分布、全Paretian分布來刻畫。本文的目的在于通過適當選取索賠次數和索賠額的分布對超出損失保險的純保費進行合理估計，并對其風險進行度量。

1 負二項分布模型及其參數估計

在保險精算中，索賠次數N服從時齊的Poisson分布已被廣泛使用,但是嚴格說來，Poisson分布只適應同質性保單組合。所謂同質性是指一個保單組合中每份保單具有相同的索賠頻率，且相互獨立。但是在許多保險中，這種同質性并不能保證成立，而是往往表現出非同質性和相關性。所謂非同質性是指保單組合中每份保單的索賠頻率并不相同，而相關性是指一次保險事故的發生有可能導致多份保單的同時索賠。保單組合的非同質性和相關性在保險實踐中并不少見，特別是在火災保險和汽車保險中的情況更是如此。例如在一家保險公司投保的兩車在道路上發生碰撞且各負部分責任；在火災保險中，一次火災可能引起多家被保險人的同時索賠等。因此，我們采用能反映這種非同質性和相關性的負二項分布模型作為索賠次數N的分布。

現在我們假定在一個給定的時間內，保單持有者的索賠次數K服從參數為λ的Possion分布，而參數為λ又服從參數為(α,β)的Gamma分布，這時保單持有者的索賠次數K就服從一負二項分布。事實上，負二項分布是Poisson分布在Gamma分布作為結構函數時的混合分布。因此，它屬于混合Poisson分布，它的一個顯著特征就是其方差大于均值。因此，當保單組合的索賠次數的觀察值的樣本方差大于其均值時，即可斷定此保單組合存在某種程度的非同質性。而且方差越大，這種非同質性越嚴重。

現在來考慮負二項分布的概率函數，負二項分布的概率函數為：

其中，k=0，1，2，…；μ＞0為過去時間內保單持有者的平均索賠次數,即E(K|μ)=μ=α/β，而參數α通常用來度量個體的索賠特征。它是一個大于零的未知常數,并且我們一般假定對所有的個體而言，α的值是相同的。索賠次數K的方差為σ2(K|μ)=μ(1+1/β)。 因此，β決定了負二項分布相對于Poisson分布的過分分散程度。平均索賠次數μ越大，負二項分布越過度分散；β越大，過度分散程度越小。當β→∞時,f(k|μ)趨向于均值為μ的Poisson分布。

現在我們來探討保單組合在t年內發生了k1,k2,???,kt次索賠的條件下（其中ki表示第i年的索賠次數），下一年度該保單組合發生索賠的索賠次數K的最優估計。這里我們采貝葉斯估計方法進行估計。事實上，由貝葉斯定理，我們很容易得到參數λ的后驗分布為：

如果我們用+1表示在第(t+1)年時對索賠頻率λ的后驗估計，記Ft+1(+1,λ)為用t+1估計λ的損失，它是一個關于估計誤差(λt+1-λ)的非負函數，稱為損失函數。則我們希望下式（即平均損失）達到最小：

式(4)表明，當前t年的索賠次數為k1,k2,???,kt時，第(t+1)年的關于參數λ的最優估計為其后驗均值。由于參數λ的后驗分布為(α+Lt,β+t)的Gamma分布，因此第(t+1)年的關于參數λ的最優估計為：

2 全Paretian分布模型和超出損失保險的純保費估計

為方便記，我們將考慮Zi的標準化形式Yi=Zi/u。這時,我們參照Reiss and Thomas(1999,2002)，歐陽資生(2006)的做法，假設Yi服從形狀參數為α，刻度參數為σ的全Paretian模型，即：

這里,α＞0,σ＞0。在式(6)中，若σ=1，我們稱這個子模型為限制的Paretian模型。此時，極值指數α的HIll估計就是極大似然估計。

在式(6)中，可進一步看到為什么Hill估計及其相關估計是不精確的。事實上,刻度參數σ＜1越小,形狀參數就越大，分布函數Fα,σ的右尾越厚。如果這時對分布函數進行估計,然而σ=1卻固定不變，那么由刻度參數σ＜1較小引起的厚尾就必須以低估形狀參數α作為補償，更詳細的介紹參見Reiss and Thomas(1999,2002)。

我們首先討論全Paretian模型的參數進行估計方法。這里采用極大似然估計方法對其參數進行估計。由式(6)，可得Yi的密度函數為：

其對數似然函數為：

由上式通過反復迭代，即可得到參數σ的估計值，從而估計出參數α的值，即

3 超出損失保險的極值風險度量

這里，ε為任意小的正數。式(13)意味著PML事實上就是一個樣本容量為n的隨機樣本的高分位數。由于最大值Mn超出所定義的PML的可能性只有100ε%，因此

所以，PML事實上就是在一段時間內的最大損失的分布的(1-ε)的分位數。為運用這個公式，Wilkinson（1982）提出了一個基于順序統計量的非參數方法。Kremer（1994）運用廣義Pareto分布模型考慮了這個問題，Cebrian(2003)，歐陽資生（2006）在Kremer（1994）基礎上進一步考慮了這個問題，并得出了PML的估計式為：

4 火災保險的索賠數據的實證研究

結合前面的超出損失保險的純保費估計和風險度量方法，在這里，我們利用丹麥火災保險索賠數據進行實證分析。

4.1 索賠數據的基本描述

現在對丹麥某保險公司的火災保險索賠數據進行分析，該數據包含了從1980年1月3日至1990年12月31日共2167個賠付額超過一百萬丹麥克朗的火災保險數據。為對數據有一基本了解，我們在表1中給出了索賠數據的基本統計特征。

表1 索賠數據的描述 單位：百萬克朗

從表1可以看出，75%分位數與25%分位數的差并不大，但是數據庫中包含一些損失額相當大的數據(最大的損失達263.25百萬克朗)。并且數據嚴重右偏，偏度系數達18.76282。因此,我們選擇對數刻度的直方圖(見圖1)，發現即使觀察對數刻度的直方圖，圖形還是右偏的。因此認為數據具有較嚴重的厚尾性和右偏特征，采用全Paretian模型來刻畫是合理的。

4.2 索賠數據的分布估計

首先對索賠數據的索賠頻率進行估計，由參數為(α,β)的Gamma分布的均值μ=α/β,σ2=μ(1+1/β)。采用矩估計，很容易得到參數為λ服從參數為(50.11493，3.930964) 的Gamma分布，在式（5）中 ，因t=11，Lt=1267 立即可得λt+1=197。

4.3 全Paretian模型參數估計和超出損失保險純保費的估計

我們通過式（10），采用迭代法，可求得σ=13.641，再利用式（11），很容易可以計算出α=5.368816，因此超出損失Yi服從如下全Paretian模型,即：

圖1 索賠數據的直方圖(對數刻度)1

由式（12），在下一年度，超出一百萬克朗的超出損失保險的純保費為m(λ,α,σ)=615.1042百萬克朗。

4.4 可能最大損失的估計

將本文的模型參數擬合的結果應用于式（14），同時，注意到λt+1=197，立即可得索賠數據的5%、1%、0.1%的PML的點估計，具體結果見表2。從表2可以看出，火災最大損失額為268.4537百萬克朗的可能性為5%，最大損失額為389.304百萬克朗的可能性為1%，最大損失額為637.0735百萬克朗的可能性為0.1%，可能性為1%和0.1%的最大損失額均比這11年的最大損失263.2504百萬克朗大很多。

表2 保險數據PML的點估計 （單位：百萬克朗）

[1]歐陽資生.極值估計在金融保險中的應用[M].北京：中國經濟出版社，2006.

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