生產控制系統中庫存偏差消除策略研究

劉夢麒 單汨源 汪小京

1.湖南大學,長沙,410082 2.寧波現代物流規劃研究院,寧波,315042

0 引言

在生產控制系統(production control system,PCS)中,企業需要通過調節生產節奏和調整庫存水平來滿足下游顧客的需求。企業在調節生產節奏時,不僅要考慮生產成本,而且要權衡生產率波動所導致的庫存成本的變化,這兩者之間存在著效益背反。因此,在生產控制系統中,生產控制的目標是:基于產品的市場需求,在合適的時間,生產恰當數量的產品,保持恰當數量的庫存,使計劃期內的總成本最小?？偝杀景ㄉa成本和庫存成本。

目前,很多文獻針對隨機性需求下的生產控制系統建立數學模型,設計了多種有效的算法以優化生產控制策略。然而在現實生產實踐中,由于需求波動、提前期變化、生產延遲和需求預測有誤差,這些數學模型在分析隨機系統時存在一定的局限性。對于研究和解決復雜系統問題而言,系統動力學具有較好的適用性。基于系統動力學,Simon等[1]建立了APIOBPCS(auto pipeline,inventory and order based production control system)生產控制模型,結合當期的需求預測、在制品庫存偏差、產成品庫存偏差等三方面的信息,制訂下一期的生產控制策略。APIOBPCS模型中的生產控制策略不僅可以減弱需求波動對生產率的影響,而且還可以減小庫存偏差,降低庫存成本,實現生產成本和庫存成本之間的合理平衡,達到總成本最低的目的。但是,在時變需求環境下,APIOBPCS模型中的庫存水平與實際需求之間會存在一定的偏差,且在企業對生產時間估計有偏差的情況下,庫存偏差會無限擴大,APIOBPCS模型中的生產控制策略不能夠優化系統總成本。因此,本文在APIOBPCS模型基礎上進行改進,加入了一種新穎的控制機制,有效地削弱了生產時間估計誤差帶來的負面影響,消除了庫存與實際需求之間的偏差。

1 APIOBPCS生產控制系統

1.1 模型回顧

Forrester[2]首先將系統動力學應用到 PCS系統中,隨后Towill[3]建立了IOBPCS(inventoryand order based production control system)生產控制模型。在IOBPCS模型的基礎上,很多學者進行了修正和拓展。Edghill等[4]將目標庫存水平(固定值)拓展為與需求相關的變動值,建立了一個VIOBPCS(variable inventory and order based production control system)模型,并比較分析了不同環境下IOBPCS和VIOBPCS兩個模型的系統表現。Simon等[1]在IOBPCS模型中加入了在制品(work in process,WIP)庫存反饋控制機制,從而將IOBPCS模型拓展到APIOBPCS模型,APIOBPCS生產控制模型如圖 1所示。隨后,Mason-Jones等[5]通過比較IOBPCS和APIOBPCS兩種模型的系統表現,總結分析了WIP庫存反饋控制機制在模型中的作用。Dejonckhere等[6]將目標庫存補貨策略(order-up-to,OUT)引入到 APIOBPCS模型中,構建了APVIOBPCS模型。經過諸多學者對IOBPCS模型的拓展,現在已經形成基于系統動力學的PCS模型族。該模型主要由以下五個部分組成:①需求預測機制;②目標庫存水平設置;③庫存水平反饋機制;④在制品庫存水平反饋機制;⑤生產延遲。其模型如圖2所示。

圖1 APIOBPCS生產控制模型

圖2 基于系統動力學的PCS模型

1.2 模型構建

表1是文中用到的有關量符號的含義。

表1 符號含義

圖3是APIOBPCS模型在復頻域(s域)的方塊圖,系統設置如下。

圖3 APIOBPCS方塊圖

(1)預測機制。采用一次指數平滑,其s域傳遞函數Ga(s)為

(2)目標庫存設置。STINV=0

(3)生產過程。采用一階延遲,其s域傳遞函數Gp(s)為

為了得到系統的生產波動和庫存變化情況,我們從APIOBPCS的方塊圖中可以得到以下兩個重要傳遞方程:

1.3 APIOBPCS庫存偏差

根據上文中建立的模型,以下將分析APIOBPCS系統在各種需求環境下的生產與庫存變化情況。

1.3.1 階躍需求環境階躍需求方程為

其拉普拉斯變換函數為 PCON(s)=1/s,結合式(3),根據終值定理,可以得到穩態的生產訂單率ηFORT1為

結合式(4),同樣可以得到穩態的庫存水平SFINV1為

1.3.2 線性需求環境

線性需求量是時間的線性函數,為了簡化分析,假設需求函數為PCONt=t,其拉普拉斯變換函數為 PCON(s)=1/s2。

同理,結合式(3)和式(4),根據終值定理,可以得到穩態下的生產訂單率和庫存水平分別為

由式(8)可得,生產訂單率不可能達到穩態,這是因為需求是時間的增函數。當 T=Tp時,穩態的庫存水平SFINV2＜0,這說明庫存水平始終會出現負偏差,缺貨一直存在;當 T≠Tp時,庫存不會到達穩態,而會逐漸增加(或者逐漸降低)。很明顯,APIOBPCS系統在線性需求環境下會出現永久缺貨或者無限庫存,無法達到目標庫存水平。Disney等[7]通過在在制品反饋環中修正生產時間估計值,從而有效地消除了階躍需求下的庫存偏差。與文獻[7]不同,本文通過在庫存反饋環中采用一種新的控制機制來消除或者降低以上庫存偏差。

2 基于APIOBPCS的庫存偏差消除策略

2.1 PI-APIOBPCS模型

在庫存反饋環中采用 PI(proportional plus integral)控制機制,構建PI-APIOBPCS模型,其方塊圖如圖4所示。

圖4 PI-APIOBPCS模型方塊圖

從PI-APIOBPCS方塊圖中可以得到:

式中,k1為PI控制機制中的增益系數。

在階躍需求下,可以得到穩態庫存水平為

由式(10)可知,在階躍需求下的PIAPIOBPCS生產系統可以完全消除生產時間估計誤差帶來的負面影響,能夠使系統穩態庫存最終恢復到目標庫存水平。

在線性需求下,可以得到穩態庫存水平為

由式(11)可知,在線性需求下,與APIOBPCS系統相比較,PI-APIOBPCS生產系統可以大大減小生產時間估計誤差對庫存的影響。當T=Tp時,PI-APIOBPCS系統能夠消除庫存偏差,當 T≠Tp時,庫存偏差不會逐漸增大,而是保持在一定的水平上,且庫存偏差與PI增益系數成反比。

根據Routh-Hurwitz穩定性定理,可以得到PI-APIOBPCS生產系統必須滿足以下條件:

化簡可得,k1＜(Tw+Tp)/(TiTwTp),將其代入式(11)可得,在存在生產時間估計誤差情況下,庫存偏差大于

2.2 PID-APIOBPCS模型

在線性需求下,當存在生產時間估計誤差時,PI-APIOBPCS生產控制系統不能消除庫存偏差,基于此,以下在生產訂單策略中增加一個PD(proportional plus derivative)控制機制,其方塊圖如5所示。

圖5 PID-APIOBPCS模型方塊圖

從PID-APIOBPCS模型方塊圖中可以得到:

式中,k2為PD控制機制中的增益系數。

在線性需求下,可以得到穩態庫存水平為

當存在生產時間估計誤差時,與PIAPIOBPCS相同,PID-APIOBPCS系統中存在穩態庫存偏差,且與PI控制機制中的增益系數成反比。

根據Routh-Hurwitz穩定性定理,可以得到PID-APIOBPCS必須滿足以下條件:

由式(15)可得,當PD增益系數滿足k2＞Tp時,PID-APIOBPCS系統一定會保持穩定,因此,當存在生產時間估計誤差時,可以大幅增加PD增益系數k2,消除穩態庫存偏差。

3 模擬分析

Disney等[8]采用遺傳算法對APIOBPCS系統進行優化,得出庫存調整時間應略小于生產時間,需求平滑時間應為生產時間的兩倍,在制品庫存偏差調整時間應該略大于生產時間的三倍。參照文獻[8]的參數設置,假設 Tp=8d,Ti=7d,Ta=16d,Tw=25d。假設兩個控制器的增益系數分別為k1=0.01,k2=25?？紤]兩種需求函數:階躍函數和線性函數,假設PCONt=0.1t(t)。模擬時間為500個時間單位(d)。

3.1 階躍需求下系統表現

圖6 T=Tp時,三個模型在階躍需求下的系統表現

圖7 T≠Tp時,三個模型在階躍需求下的系統表現

3.2 線性需求下的系統表現

線性需求下,當生產時間不存在估計誤差時,即 T=Tp時,三個模型的系統表現如圖8所示。圖8a為生產率的變化曲線圖,從圖8a可以看出,三個模型的生產率變化曲線基本保持一致,即穩定增長;圖8b是庫存水平的變化曲線圖,從圖8b可以看出,APIOBPCS模型的庫存水平逐漸降低,且存在較大的庫存偏差(為負值),而兩個改進的模型能夠消除原模型中的庫存偏差,其中PIDAPIOBPCS模型的庫存波動最小,且最快到達穩定狀態。

圖8 T=Tp時,三個模型在線性需求下的系統表現

線性需求下,當生產時間存在估計誤差時,三個模型的庫存水平變化情況如圖9所示。其中,圖9a是 T=5d條件下庫存水平的變化曲線圖,從圖9a可以看出,APIOBPCS模型中的庫存水平逐漸降低;圖9b是T=10d條件下庫存水平的變化曲線圖,從圖9b可以看出,APIOBPCS模型中庫存水平經過一段時間降低后會逐漸增加,經過改進的兩個模型(PI-APIOBPCS和 PIDAPIOBPCS)均能夠有效地降低原模型中的庫存水平偏差,且均可以到達某一個穩定狀態,其中,PID-APIOBPCS模型中的庫存水平波動較小,到達穩定狀態的時間較短。

圖9 T≠Tp時,三個模型在線性需求下的系統表現

4 結語

當需求為階躍函數時,APIOBPCS模型中的生產控制策略不能夠消除生產時間估計誤差所造成的庫存偏差,而且在線性需求下,該庫存偏差會無限增大。通過在庫存反饋中加入PI控制機制,建立PI-APIOBPCS模型可以完全地消除階躍需求下系統的庫存偏差,但是在線性需求下依然存在一定的庫存偏差,且生產率和庫存水平波動比較大。在PI-APIOBPCS模型的基礎上,通過在生產過程中加入PD控制機制建立了PID-APIOBPCS模型,與PI-APIOBPCS模型相比,PID-APIOBPCS模型減小并消除了生產時間估計誤差所造成的庫存偏差,而且能夠大幅降低生產率和庫存水平的波動,較快到達穩定狀態。

由于在APIOBPCS模型中,需求預測和庫存反饋中僅僅采用了增益控制器,即按照固定比例調整庫存偏差,當外界需求環境變化時,這種固定比例的調節控制策略沒有考慮庫存偏差增長的態勢,因此不能完全消除庫存偏差。在PID-APIOBPCS模型中,采用PID控制器,不僅考慮了外界需求預測,而且跟蹤了庫存偏差的增長狀態,能夠有效消除庫存偏差。因此,在實踐生產中,當外界需求比較穩定時,根據需求預測和庫存偏差,可以采用簡單控制策略,調節生產節奏。當外界需求波動較大時,要充分利用庫存偏差的動態信息,主要包括庫存偏差現狀和發展趨勢,調整生產節奏。

[1]Simon J,Naim M M,Towill D R.Dynamic Analysis of a WIP Compensated Decision Support System[J].International Journal of Manufacturing System Design,1994,1:283-297.

[2]Forrester J W.Industrial Dynamics[M].Cambridge,MA:Productivity Press,1961.

[3]Towill D R.Dynamic Analysis of an Inventory and Orderbased Production Control System[J].International Journal of Production Research,1982,20:671-687.

[4]Edghill J,Towill D R.Assessing Manufacturing System Performance:Frequency Response Revisited[J].Engineering Costs and Production Economics,1990,19:319-326.

[5]Mason-Jones R,Naim M M,Towill D R.The Impact of Pipeline Control on Supply Chain Dynamics[J].The International Journal of Logistics Management,1997,8:47-62.

[6]Dejonckhere J,Disney S M,Lambrecht M R,et al.Measuring and Avoidingthe Bullwhip Effect:a Control Theoretic Approach[J].European Journal of Operations Research,2003,147:567-590.

[7]Disney S M,Towill D R.Eliminating Drift in Inventory and Order Based Production Control Systems[J].International Journal of Production Economics,2005,93/94(8):331-344.

[8]Disney S M,Naim M M,Towill D R.Genetic Algorithm Optimization of a Class of Inventory Control Systems[J].InternationalJournal of Production Economics,2000,68:259-278.