一種三自由度運(yùn)動(dòng)平臺(tái)機(jī)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)

羅文豹 李維嘉 汪 瀟 高 巖 吳金波

1.華中科技大學(xué),武漢,430074 2.公安部交通管理科學(xué)研究所,無錫,214151

0 引言

Stewart運(yùn)動(dòng)平臺(tái)已廣泛運(yùn)用于運(yùn)動(dòng)仿真領(lǐng)域[1-2]。在保證平臺(tái)仿真效果的同時(shí),為了進(jìn)一步降低硬件成本,國(guó)內(nèi)外已經(jīng)研發(fā)了多款三自由度運(yùn)動(dòng)平臺(tái)。但是這幾款運(yùn)動(dòng)平臺(tái)尚有一些不足,例如,平臺(tái)機(jī)構(gòu)空間尺寸較大,而所對(duì)應(yīng)的工作空間較小;平臺(tái)機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)和運(yùn)動(dòng)副選用不夠合理,短時(shí)間運(yùn)行后出現(xiàn)磨損,影響了平臺(tái)工作精度。

本文以一款應(yīng)用較多的三自由度運(yùn)動(dòng)平臺(tái)[3]為例,基于平臺(tái)可控性能和平臺(tái)機(jī)構(gòu)尺寸加權(quán)最優(yōu)的思想,采用加速遺傳算法[4-6],對(duì)平臺(tái)進(jìn)行了機(jī)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì),并將其應(yīng)用到某型汽車駕駛模擬器的設(shè)計(jì)中,取得了良好的效果。

1 三自由度平臺(tái)運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)介

圖1是一款應(yīng)用較多的三自由度運(yùn)動(dòng)平臺(tái)整體設(shè)計(jì)模型圖,圖2是其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖。該平臺(tái)已在飛行模擬器和汽車模擬器上使用。平臺(tái)主要由下平臺(tái)(固定平臺(tái))、上平臺(tái)(運(yùn)動(dòng)平臺(tái))、3個(gè)電動(dòng)缸、連接電動(dòng)缸與上下平臺(tái)的十字鉸鏈,以及3只防扭臂組成。通過協(xié)調(diào)控制3個(gè)電動(dòng)缸的伸縮運(yùn)動(dòng),從而實(shí)現(xiàn)上平臺(tái)繞X軸和Y軸的轉(zhuǎn)動(dòng),以及沿Z軸的平動(dòng)。

圖1 平臺(tái)整體設(shè)計(jì)模型

圖2 平臺(tái)機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖

根據(jù)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的對(duì)稱性運(yùn)動(dòng)要求,電動(dòng)缸上下十字鉸鏈分別呈等腰三角形分布于上平臺(tái)和下平臺(tái);X方向上的一對(duì)防扭臂位于等腰三角形高的中垂線上,等距分布在高的兩側(cè);Y方向上的一只防扭臂位于等腰三角形的高上;電動(dòng)缸與下平臺(tái)呈一定的傾角布置。

3只防扭臂的設(shè)計(jì)是為了實(shí)現(xiàn)自由度的約束,X方向上的一對(duì)防扭臂用于約束平臺(tái)Y方向平動(dòng),Y方向上的一只防扭臂用于約束平臺(tái)X方向平動(dòng),3只防扭臂共同約束平臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)。需要指出的是,X方向上的一對(duì)防扭臂的結(jié)構(gòu)與作用完全相同,理論上一只就能夠約束平臺(tái)Y方向上的運(yùn)動(dòng),本文選用一對(duì)的目的是為了改善防扭臂的受力狀況,提高機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)剛度。根據(jù)空間運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)的理論,可以得出空間運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)自由度的計(jì)算公式:

式中,F為自由度數(shù);N為機(jī)構(gòu)的構(gòu)件總數(shù);Ui為第i個(gè)運(yùn)動(dòng)副的約束;g為物體之間的運(yùn)動(dòng)副數(shù)目。

進(jìn)一步可得出該平臺(tái)的自由度為3。

2 平臺(tái)機(jī)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)

本文所分析的三自由度平臺(tái)在使用過程中有兩個(gè)指標(biāo)特別需要關(guān)注,即可控性指標(biāo)和平臺(tái)的整體尺寸指標(biāo)。為了實(shí)現(xiàn)良好的運(yùn)動(dòng)仿真效果,必須在有足夠的運(yùn)動(dòng)空間的同時(shí),使運(yùn)動(dòng)平臺(tái)具有良好的可控性能;為了適應(yīng)模擬器小型化的要求,必須盡量減小平臺(tái)尺寸。基于上述思想,我們提出的優(yōu)化目標(biāo)是在保證平臺(tái)一定運(yùn)動(dòng)空間的基礎(chǔ)上,實(shí)現(xiàn)平臺(tái)可控性和平臺(tái)尺寸的加權(quán)綜合最優(yōu)。

2.1 優(yōu)化數(shù)學(xué)模型

2.1.1 設(shè)計(jì)變量

平臺(tái)機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)變量為

式中,d為3個(gè)電動(dòng)缸上鉸鏈軸中心構(gòu)成的等腰Δabc的高;D為3個(gè)電動(dòng)缸下鉸鏈軸中心構(gòu)成的等腰ΔABC的高;p為Δabc底邊bc和ΔABC底邊BC的長(zhǎng)度;l為電動(dòng)缸的行程。

2.1.2 目標(biāo)函數(shù)

平臺(tái)機(jī)構(gòu)的目標(biāo)函數(shù)如下:

式中,c1、c2為權(quán)重系數(shù),可根據(jù)平臺(tái)設(shè)計(jì)需要選取;η(X)為平臺(tái)全域條件數(shù),表示平臺(tái)在工作空間內(nèi)的總體運(yùn)動(dòng)性能;m(X)為平臺(tái)整體結(jié)構(gòu)尺寸的衡量指標(biāo);w表示平臺(tái)工作空間;k(J)為機(jī)構(gòu)局部條件數(shù);J為平臺(tái)雅可比矩陣,可由平臺(tái)運(yùn)動(dòng)方程求取。

η(X)為平臺(tái)在工作空間內(nèi),速度、力傳遞性能指標(biāo)。η(X)越大,速度、力從平臺(tái)驅(qū)動(dòng)輸入端到平臺(tái)輸出端的傳遞越均勻,平臺(tái)可控性越好。

m(X)為平臺(tái)整體結(jié)構(gòu)尺寸的衡量指標(biāo),本文分析的平臺(tái)對(duì)平臺(tái)高度特別關(guān)注,令

式中,H為平臺(tái)高度。

2.1.3 約束條件

平臺(tái)運(yùn)動(dòng)范圍的約束:最大縱傾角度θrmax,18°≤θrmax ≤25°;最大橫搖角 θpmax,15°≤θpmax ≤18°;最大升降高度hmax＞0.23m。

電動(dòng)缸上下鉸鏈軸中心距長(zhǎng)度L的變化范圍約束:lmin+l≤L≤lmin+2l。其中,lmin為電動(dòng)缸行程設(shè)計(jì)為零時(shí),電動(dòng)缸上下鉸鏈軸中心距的固有長(zhǎng)度,lmin=0.38m。

電動(dòng)缸行程約束:l≤0.23m。

下平臺(tái)允許的最大臺(tái)面面積約束:1.5m×1.5m。

上平臺(tái)允許的最大臺(tái)面面積約束:1.0m×1.0m。

Δabc底邊bc、ΔABC底邊BC的長(zhǎng)度p的變化范圍約束:0.4m≤p≤1.0m。

3個(gè)電動(dòng)缸下鉸鏈軸中心構(gòu)成的等腰ΔABC的高D的變化范圍約束:0.4m≤D≤1.5m。

3個(gè)電動(dòng)缸上鉸鏈軸中心構(gòu)成的等腰Δ abc的高d的變化范圍約束:0.4m≤d≤1.0m。

2.2 優(yōu)化過程及結(jié)果

根據(jù)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型,平臺(tái)機(jī)構(gòu)優(yōu)化是一個(gè)典型的多變量非線性有約束的優(yōu)化問題。本文選用加速遺傳算法進(jìn)行優(yōu)化。加速遺傳算法是為了克服標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法易早熟收斂、計(jì)算量大、計(jì)算速度慢等缺點(diǎn),在標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法基礎(chǔ)上,利用標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法解出的優(yōu)秀個(gè)體這一子群體來逐步調(diào)整變量的搜索空間,從而壓縮解空間、加速循環(huán)的一種算法。算法的詳細(xì)實(shí)現(xiàn)過程參見文獻(xiàn)[4]。

算法控制參數(shù)設(shè)定如下:編碼長(zhǎng)度e=10,變異率Pm=1.0,群體規(guī)模數(shù)n=500,優(yōu)秀個(gè)體數(shù)s=3;目標(biāo)函數(shù)權(quán)重系數(shù)c1=c2=0.5。優(yōu)化后所得到的最優(yōu)機(jī)構(gòu)參數(shù)結(jié)果如表1所示,平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)范圍見表2。

表1 優(yōu)化結(jié)果 m

表2 平臺(tái)運(yùn)動(dòng)范圍

2.3 優(yōu)化結(jié)果分析

平臺(tái)機(jī)構(gòu)參數(shù)的最終確定,是以最優(yōu)參數(shù)為依據(jù),在充分考慮機(jī)構(gòu)的具體布置,以及平臺(tái)個(gè)性化設(shè)計(jì)要求的基礎(chǔ)上完成的。為此,本文根據(jù)優(yōu)化結(jié)果,設(shè)定部分相關(guān)聯(lián)的機(jī)構(gòu)參數(shù)為常量,然后以余下參數(shù)為變量,求出使平臺(tái)綜合性能優(yōu)良的變量集合,為平臺(tái)機(jī)構(gòu)參數(shù)整定提供解空間。

由平臺(tái)結(jié)構(gòu)可知,當(dāng)電動(dòng)缸行程l一定時(shí),平臺(tái)高度、平臺(tái)最大縱傾角度和最大升降高度由d、D決定,平臺(tái)最大橫搖角主要由p決定。

設(shè)定p=0.8085m,l=0.2182m,在給定的約束條件下,目標(biāo)函數(shù)隨d、D的變化如圖3所示,淺灰色平面區(qū)域?yàn)闊o效區(qū)域,即無法滿足平臺(tái)運(yùn)動(dòng)范圍要求或平臺(tái)的雅可比矩陣為奇異矩陣。顏色由淺至深的曲面區(qū)域?yàn)橛行^(qū)域,曲面上顏色越深,目標(biāo)函數(shù)值越大,平臺(tái)綜合性能越好。由圖3可以看出,d在0.7～0.8m、D在1.3～1.5m區(qū)間時(shí),平臺(tái)具有較佳的綜合性能。

圖3 目標(biāo)函數(shù)隨d、D的變化曲面

設(shè)定d=0.8015m,D =1.50m,l=0.2182m,在給定的約束條件下,目標(biāo)函數(shù)隨p的變化如圖4所示,隨著p的增大,目標(biāo)函數(shù)值增大,當(dāng)p＞0.75m時(shí),目標(biāo)函數(shù)值的增大速度減慢,平臺(tái)綜合性能趨于穩(wěn)定。

圖4 目標(biāo)函數(shù)隨p的變化曲線

設(shè)定d=0.8015m,D=1.50m,p=0.8085m,在給定的約束條件下,目標(biāo)函數(shù)隨l的變化如圖5所示,隨著l的增大,目標(biāo)函數(shù)值減小,因此機(jī)構(gòu)參數(shù)整定時(shí),應(yīng)先確定其他參數(shù),最后在滿足平臺(tái)約束的條件下,選取最短行程。

圖5 目標(biāo)函數(shù)隨l的變化曲線

3 平臺(tái)實(shí)例

根據(jù)平臺(tái)機(jī)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果,在充分考慮實(shí)際工作要求及防扭臂、鉸支座等機(jī)構(gòu)的布置與設(shè)計(jì)后,確定平臺(tái)機(jī)構(gòu)的尺寸分別如下:d=0.75m,D=1.38m,l=0.215m,p=0.8m。此時(shí),平臺(tái)具有的運(yùn)動(dòng)范圍:θrmax=19.2°,θpmax=17.6°,hmax=0.241m,H=0.505m 。根據(jù)以上參數(shù)所研制的平臺(tái)如圖6所示,其缸體部分與Stewart平臺(tái)相似,與地面呈一定的傾角。這種結(jié)構(gòu)形式的優(yōu)點(diǎn)是,在降低平臺(tái)高度和增加平臺(tái)運(yùn)動(dòng)范圍的同時(shí),增大了平臺(tái)的整體結(jié)構(gòu)剛度。

圖6 平臺(tái)實(shí)圖

電動(dòng)缸上下鉸鏈都采用剛度好、承載能力強(qiáng)的萬向節(jié)鉸鏈(圖7),上下支座與水平面成一定傾角布置,改善了支座的受力性能。

圖7 電動(dòng)缸上下鉸鏈圖

圖8 防扭臂上臂和下臂

為實(shí)現(xiàn)三自由度運(yùn)動(dòng),平臺(tái)在機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)上必須能有效約束平臺(tái)X方向、Y方向的平動(dòng)和繞Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。在汲取前人設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上,本文3只防扭臂及其運(yùn)動(dòng)副采用如下設(shè)計(jì):3只防扭臂完全相同,每只防扭臂由上臂和下臂組成,為了保證防扭臂的剛度,上下臂皆采用鋼結(jié)構(gòu)焊接而成,如圖8所示;下臂與下平臺(tái)、下臂與上臂之間均采用普通鉸鏈連接;X方向的一對(duì)防扭臂與上平臺(tái)通過十字鉸鏈相連接;Y方向的防扭臂與上平臺(tái)通過十字復(fù)合鉸鏈相連接,如圖9所示。復(fù)合鉸鏈?zhǔn)窃谄胀ㄣq鏈軸上安裝一個(gè)關(guān)節(jié)軸承而實(shí)現(xiàn)的,具有3個(gè)自由度。3只防扭臂采用連桿結(jié)構(gòu),實(shí)現(xiàn)了復(fù)雜的自由度約束,結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單,工作可靠;防扭臂呈等腰三角形布置,承載能力強(qiáng),整體剛度好。此外,機(jī)構(gòu)的零部件簡(jiǎn)潔,3只防扭臂的主要尺寸相同,加工成本較低。實(shí)際檢驗(yàn)結(jié)果表明,平臺(tái)長(zhǎng)時(shí)間工作后,機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)副無形變、無磨損,平臺(tái)運(yùn)行穩(wěn)定、可靠。

圖9 Y軸方向防扭臂上鉸鏈及支座

4 結(jié)語

本文通過分析一款三自由度運(yùn)動(dòng)平臺(tái)機(jī)構(gòu)特點(diǎn),并針對(duì)平臺(tái)自身特點(diǎn)和要求,在保證平臺(tái)較大工作空間和較小尺寸的基礎(chǔ)上,以平臺(tái)全域條件數(shù)和平臺(tái)機(jī)構(gòu)尺寸加權(quán)最優(yōu)作為目標(biāo)函數(shù),采用加速遺傳算法,對(duì)三自由度平臺(tái)進(jìn)行了機(jī)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化;并且對(duì)三自由度平臺(tái)的防扭臂運(yùn)動(dòng)副進(jìn)行了改進(jìn)設(shè)計(jì),最后把優(yōu)化得到的機(jī)構(gòu)參數(shù),應(yīng)用到某型汽車駕駛模擬機(jī)的運(yùn)動(dòng)平臺(tái)設(shè)計(jì)中,取得了良好的效果。

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