拋光機磨頭磨塊座振動問題求解及實驗

徐 斌 邵俊鵬 劉 嘉

哈爾濱理工大學，哈爾濱，150080

0 引言

陶瓷拋光磚是現代建筑裝修工程中應用最為廣泛的陶瓷制品之一。審美要求的日益提高，對陶瓷磚的表面加工質量提出了更高的要求。文獻[1-8]通過試驗得出了拋光瓷磚在拋光過程中表面粗糙度的變化規律，認為拋光瓷磚氣孔的減少對機械加工的難度有很大的影響。李松等[9]通過試驗得出瓷磚的拋光軌跡以及磨頭轉速對瓷磚拋光質量的影響規律。目前應用最為廣泛的是擺動式瓷磚拋光機，但是該拋光機在拋光過程中出現了表面粗糙度不均勻、瓷磚震碎、瓷磚崩角等問題。針對這些問題，湯迎紅等[10]優化了拋光盤的凸輪曲線，解決了柔性沖擊問題。吳南星等[11]用加水法來控制噪聲。瓷磚在生產加工過程中，磨頭振動引起的碎磚問題一直存在，給企業的生產帶來損失，影響了拋光機的可靠性。近年來對瓷磚拋光機振動機理和減振措施的研究成為瓷磚生產企業和設備生產廠家要解決的重點問題。

筆者在前人研究的基礎上，以擺動式拋光機磨頭磨塊座為研究對象，利用差分法求解磨塊座的振動頻率，并進行實例計算和實驗。通過實驗來分析磨塊座的振動頻率對碎磚的影響，以及主軸頻率的合理控制范圍。

1 擺動式磨頭的工作原理

圖1為擺動式拋光磨頭工作原理圖，磨頭工作原理為：電機4驅動主動帶輪5，通過傳送帶又驅動從動帶輪3（從動帶輪3與磨頭主軸、磨頭殼體以及主動齒輪6剛性連接在一起）。從動帶輪3帶動磨頭殼體實現公轉，同時從動帶輪帶動主動齒輪6轉動。主動齒輪6驅動從動齒輪1、凸輪2旋轉（從動齒輪與凸輪2剛性連接在一起）。磨頭殼體在公轉的同時，通過差動（主動齒輪6與從動齒輪1相差兩齒）輪系，使凸輪2相對磨頭殼體產生一個相對轉動，凸輪2驅動主動擺桿13，主動擺桿又驅動從動擺桿7，使連接在擺桿上的磨塊座8、12做往復擺動。

圖1 擺動拋光磨頭原理示意圖

2 磨塊座的數學模型

磨頭由6個磨塊座（大小和形狀完全一樣，均勻分布在磨頭底部）支撐，故拿出一個磨塊座做具體的力學分析。根據磨頭的結構和運行情況，將磨塊座簡化為懸臂梁來建立力學模型。

2.1 磨塊座的橫向自由振動方程

將磨塊座簡化為一個懸臂梁，如圖2所示，圖中的w為格點處的橫向位移。等截面懸臂梁的橫向強迫振動方程[12]為

圖2 磨塊座實物及簡化模型圖

式中，u為單位梁長的自重；psinθt為作用在梁上的強迫振動載荷；E為磨塊座的彈性模量；I為磨塊座的截面慣性矩；θ為振動載荷頻率；p為振動載荷的幅值；t為時間。

懸臂梁上無載荷作用時，psinθt＝0。因此磨塊座的自由振動方程為

磨塊座的橫向位移U（x，t）為

式中，U（x）為磨塊座振動時的振幅；ω為磨塊橫向振動頻率；α為相位角。

2.2 磨塊座的橫向振動有限差分方程

有限差分法是一種直接從相應問題的微分方程出發的離散化方法。根據微分的原理以近似的有限差分式來代替微分方程及邊界條件，將微分方程變換成一組有限個線性代數方程，容易求解磨塊座簡化懸臂梁模型的固有振動頻率。

根據文獻[13-14]利用式（4），將式（3）轉化為任意節點的有限差分方程：

式中，λ為節點的格距，λ＝l／n；n為格點數。

代入式（5）整理得磨塊座橫向振動有限差分方程：

將式（7）的格點和系數繪制成網格，如圖3所示。

2.3 磨塊座模型的格點劃分

為了便于計算，分析時將磨塊座簡化的懸臂梁模型等分成n段，每段的長λ＝l／n。以各段的分界點為節點，它們連同兩端的節點的編號為0，1，…，n。依格點劃分布局，如圖3所示。從磨塊座有限差分方程的網格圖可以看出，每個節點的差分方程包含零點及與零點相鄰的點。因為懸臂梁為自由邊界，因此磨塊座模型的節點劃分就包含著虛格點n＋1、n＋2，還有－1格點。

圖3 磨塊座結點有限差分方程網格圖

2.4 磨塊座的邊界條件及其差分方程

磨塊座簡化為懸臂梁，一端固定，另一端自由。固定端處（x＝0）的邊界條件為

根據式（8）得出

根據式（9）得出，w1＝w－1。固定端邊界處的w＝0。

自由端（x＝b）的邊界條件為

由式（10）可以得出

磨塊座簡化為懸臂梁模型，x＝b端為自由端。端點的w也需要取為未知值，并為此節點列出差分方程（式（7））。這些方程中將包含邊界外兩行虛節點處的w。但是，可以利用自由邊界條件，列出虛節點的關系式，把虛節點處的w用邊界上以及邊界內節點處的w表示。自由端外的第1個和第2個虛節點要用邊界條件（式（11））來計算。

2.5 磨塊座橫向振動頻率方程

根據任意節點處的差分公式（式（7））以及邊界條件（式（9）～ 式（11）），可求解出K。差分的誤差值和格點的疏密有關系，n的數值越大，得出的結果就精確。但是在求取的K值中必然存在著誤差，為了得出精確的數值，用李卻德孫外推法[14]進行數值修正：

式中，Ka，b為修正后的系數；Ka、Kb為系數；下標a、b為分段數，a，b＝1，2，…，n，且a＜b。

根據式（12）和式（6）得出磨塊座橫向振動頻率：

3 計算實例

拋光機在加工瓷磚時，磨頭氣缸對磨頭施加恒定壓力，氣缸工作壓力為0.05～2MPa；磨頭底面由6個磨塊座支撐，磨塊座擺動中心到底面的距離l＝90mm；座長165mm，寬65mm，高12mm；磨塊材料——鑄鐵的彈性模量E＝160GPa，慣性矩I＝9.36×10－8m4，重1.3kg。

當n＝2，3，4，5，6時分別求解K 值，并用李卻德孫外推法（式（11））依次修正K后得出表1。

經李卻德孫外推法修正后，得出比較精確的結果K＝12.59。將其代入磨塊座橫行振動頻率公式（式（13））得出磨塊座的橫向自由振動頻率ω＝5.68Hz。

4 實驗

4.1 實驗裝置和參數

實驗所用的拋光機為SD－281型12磨頭的瓷磚拋光機，應用其中的1個磨頭進行實驗。瓷磚規格是800mm×800mm，共16塊。測振儀型號為TV100。實驗裝置如圖4a所示。每個實驗用時11min。振動測試設備如圖4b所示。拋光機磨頭根據實驗的要求在加工過程中由導軌10帶動滾輪往復運動。實驗時應用測振儀11測試磨頭上3個方向的測點，分別是X方向測點4、Y方向測點3、Z方向測點9。

圖4 實驗裝置和振動測試設備

4.2 實驗結果與分析

按照表2所示的參數進行了16組實驗。實驗結果如圖5所示。

表2 磨頭振動加速度實驗參數

通過分析圖5中3個方向的振動加速度得出，Z方向的磨頭振動加速度要遠大于X、Y方向的磨頭振動加速度，磨頭垂直方向的振動為主要振動。同時還看出，在Z方向的磨頭振動加速度呈正弦波周期性變化。造成這一變化規律的原因是磨頭凸輪2的正弦波形面驅動主動擺桿13繞著主動擺桿軸擺動（圖1），凸輪2每轉過一個波峰，主動擺桿就擺動一個來回。擺動時，波峰的2個面交替驅動主動擺桿13，在交替驅動過程中，凸輪2的正弦波工作面會對主動擺桿產生沖擊振動。

從圖5可得出：在相同的主軸頻率下，磨塊粒度越小，Z方向磨頭振動加速度就越大。在相同磨塊粒度下，主軸的頻率越大，Z方向磨頭振動加速度也就越大。但磨塊粒度大于1000＃ 時，主軸的頻率、壓力、擺動速度的變化對Z方向磨頭振動加速度的影響很小。當磨頭的擺動頻率為0時，Z方向磨頭振動加速度為最大。因此磨頭在擺動到瓷磚的兩端時停留的時間不可以超過20s。

按照實驗編號為12的參數進行實驗時，磨頭振動很大，磨頭運行60s后，磨頭產生共振，瓷磚碎裂。磨頭振動加速度如圖5l所示。從圖5l可以看出，Z方向的磨頭振動加速度為16個實驗中最大的。磨頭共振后的實物和碎磚如圖6所示。這一實驗中，主軸的頻率為7.11Hz，與通過實例中得出的磨塊座的橫向自由振動頻率5.68Hz相近，產生了共振。磨頭的劇烈振動將瓷磚振碎。

通過圖5的實驗數據分析可知，若將主軸頻率控制在8.7Hz時，磨頭在Z方向的振動加速度就會很小。

還用實驗編號為12的參數，把擺動頻率改為2Hz，即按照實驗編號為13的進行實驗，實驗后得出的結果如圖5m所示。從圖5m中可以看出，X、Y、Z三個方向的振動加速度很小，頻率改變可以削弱磨頭共振。

5 結論

（1）由理論分析得出磨塊座的橫向自由振動頻率為5.68Hz。

（2）由實驗得出磨頭垂直方向振動加速度呈正弦波規律變化。

（3）加工過程中，磨塊的粒度越小，磨頭振動越大。

（4）磨頭的擺動有利于減小磨頭共振，磨頭在擺動到瓷磚兩端時，停留時間不可以超過20s。

（5）主軸頻率與磨塊座頻率共振是碎磚的主要因素。

圖5 實驗測得的3個方向振動加速度

[1]Orts M J，Sanchez E，Gareia－Ten，et al.PorcelainTile Behavior during Polishing[J].Bol.delaSoe.EsP.de Ceramicay Vidrio，2001，40：447-455.

[2]Hutchings I M，Xu Y，Sanchez E，et al.Porcelain Tile Microstructure：Implications for Polishability[J].Journal of the European Ceramic Society，2006，26（6）：1035－1042.

[3]Sanchez E，Ibanez M J，Garcia－Ten J，et al.Porcelain Tile Microstructure：Implications for Polished Tile Properties[J].Journal of the European Ceramic Society，2006，26（13）：2533－2540.

[4]Sousa F J P，Aurich J C，Weingeartner L，et al.Kinematics of a Single Abrasive Particle during the Industrial Polishing Process of Porcelain Stoneware Tiles[J].Journal of the European Ceramic Society，2007，27（10）：3183－3190.

[5]Xu X P，Huang H，Gao Y，et al.Processes for the Generation of Glossiness on Ground Granites and Ceramics[J].Key Engineering Materials，2003，238（2）：99－104.

[6]Wang C Y，Kang T C，Qin Z，et al.How Abrasive Machining Affects Surface Characteristics of Vitreous Ceramic Tile [J].American Ceramic Society Bulletin，2003，82（10）：9201－9208.

[7]Tucci A，Esposito L，Malmusi L，et al.Wear Resistance and Stain Resistance of Porcelain Stoneware Tiles[J].Key Engineering Materials，2002，206（2）：1759－1762.

[8]Braganca S R，Bergmann C P.A View of Whitewares Mechanical Strength and Microstructure[J].Ceramics Intenational，2003，29：801－806.

[9]李松，鄭超.拋光磚面磨拋均勻性淺析 [J].陶瓷，2005（7）：19-21.

[10]湯迎紅，吳運新，周鵬.陶瓷拋光機拋光盤凸輪的改進設計[J].機械設計，2006（3）：58－60.

[11]吳南星，朱金貴，肖任賢.陶瓷用拋光機磨頭聲－結構分析及噪聲控制[J].陶瓷學報，2009，30（1）：101－105.

[12]程耀東.機械振動學（非線性系統.彈性體）[M].杭州：浙江大學出版社，1990.

[13]曹志遠.板殼振動理論[M].北京：中國鐵道出版社，1989.

[14]曹國雄.彈性矩形薄板振動[M].北京：中國建筑工業出版社，1983.