壓電夾層梁的分岔、混沌及主動控制

張 鵬， 賈中印

(河北建材職業技術學院 信息機電系，秦皇島 066004)

柔性結構的振動主動控制研究已成為當前動力學領域的前沿課題，壓電材料由于具有良好的機電耦合性能，廣泛應用于結構主動控制系統中。壓電梁結構簡單，且有著廣泛的工程背景，人們對這種結構的動力穩定性、振動控制、分岔與混沌等問題進行了許多研究。

Sun 和 Huang［1，2]討論了壓電復合結構的控制問題，建立了含有壓電層的三階剪切變形層合梁模型，并給出了近似解。Chen等人［3]對軸向力作用下壓電復合梁的動力穩定性和反饋控制進行了分析。Gao和Shen［4]采用增量有限元方法分析了粘貼有壓電作動層的層合板的幾何非線性瞬態振動，并應用負速度自反饋控制策略進行主動控制。Moita等人［5]對幾何非線性壓電復合結構進行了分析。董興建和孟光［6]基于一階剪切變形理論，在壓電懸臂梁應變最大處配置致動器和傳感器，實現了低階系統的主動控制。Akl［7]將可變形機翼簡化為層合梁，建立了非線性有限元控制方程。李鳳明、孫家春等人［8]研究了參數激勵壓電梁的動力穩定性，分析了軸向力、電壓、非線性阻尼等因素對穩定性的影響。傅衣銘、阮建力［9]基于高階剪切變形理論，采用耦合正、逆壓電效應的負速度反饋控制原理，分析了具損傷壓電智能層合板的非線性主動控制和損傷監測。Belouettar等人［10]研究了壓電夾層梁非線性振動的主動控制，討論了夾層梁大幅振動和小幅振動對反饋控制的影響。近些時候，姚志剛、張偉等［11]研究了壓電復合材料層合梁的分岔和混沌動力學響應，并分析了壓電激勵控制混沌的可行性。高美娟、張偉［12]等基于三階剪切變形理論，采用能量相位法和數值模擬對壓電復合材料層合板的混沌動力學進行研究。

本文研究了軸向激勵作用下簡支壓電夾層梁的混沌動力學響應，采用工程當中易于實現的比例微分反饋控制方法將夾層梁整體組成一個閉環控制系統，結果表明，通過調節比例控制增益和微分控制增益都可以抑制系統通過倍周期分岔進入混沌運動，把系統控制到不同的穩定極限環上，保持系統運動的穩定性與可控性，且該方法簡單有效。

1 反饋控制策略

考慮圖1所示矩形截面細長夾層梁，它由上下兩層壓電材料和中間彈性層構成。上表面為壓電傳感層，下表面為壓電作動層，它們之間通過一控制器相聯系。該夾層梁長度為L，其它幾何尺寸如圖所示。其邊界為左端簡支滑動且受軸向力作用，右端簡支不可移動。

圖1 壓電夾層梁模型Fig.1 The model of piezoelectric-elasticpiezoelectric sandwich beam

根據 Euler-Bernoulli梁理論，梁的位移場假設如下:

式中，u(x，z，t)、w(x，z，t)分別為沿 x 和 z方向梁內任一時刻的位移。

對應式(1)的von Karman幾何非線性應變位移關系為:

上下兩層壓電材料的本構關系為:

式中，σ1、D3、E3分別為 x方向的應力和 z方向的電位移和電場強度，c11、e31和k33分別為壓電材料的彈性常數、壓電常數和介電常數。

假定彈性層和壓電層完全粘結，不發生任何滑動，根據靜電平衡方程有自由體電荷密度=0，結合電位移邊界條件可得:

將式(4)代入式(3)中，結合式(2)可得到壓電層電場強度和位移的關系:

根據電場強度和電勢之間的關系E3=，壓電層上下表面電勢差可寫為:

其中:φ表示電勢，下標S表示壓電傳感層，A表示壓電作動層。將式(6)代入式(5)中得到:

考慮到夾層梁的中間彈性層為一等勢體，不失一般性，假設其電勢為0，則夾層梁上表面的電勢為:

為了實現對夾層梁振動的主動控制，必須將傳感層和作動層組成一個整體以形成一個閉環控制系統，本文采用以下控制策略:

其中Gp表示電勢比例增益，Gd表示電勢微分增益。

聯立式(7)～式(9)可以得到傳感層和作動層的電場強度:

上式中 zS=(hC+hS)/2，zA=(hC+hA)/2。

2 動力學方程的建立

Hamilton原理可以表示為:

式中，δ為變分符號，T和U分別為整體結構的動能和勢能，W為外力功。整體結構的勢能變分表示為:

式中:

整體結構的動能變分表示為:

式中，ρS=ρSSS+ρCSC+ ρASA。

整體結構的外力功變分表示為

式中，p表示夾層梁左端所受的軸向力。

將式(12)、式(13)、式(14)代入式(11)中，不計軸向變形的影響，經過一系列變分運算并略去高階微量，得到夾層梁整體結構的運動方程:

研究中只考慮夾層梁的一階橫向振動模態，可將w0表示成如下形式:

將式(16)代入式(15)中，并引入軸向力 p=p0+，進行Galerkin積分得到:

式中:

式中:

3 數值仿真

針對壓電夾層梁的無量綱動力學方程(18)，利用四階龍格庫塔法對其模擬分析，得到系統的非線性動力學響應。所取夾層梁的物理參數和幾何參數見表1。

表1 壓電夾層梁的幾何尺寸與材料物理性質Tab.1 Geometrical material properties of the piezoeletric sandwich beams

圖2 軸向激勵分岔圖Fig.2 The bifurcation for the axial load of pt

圖2 是系統響應隨著軸向激勵變化的分岔圖，其中靜態軸向力 p0=400 N，Gd=0.001 s，Gp=0.1。圖3～圖5各自分別給出了系統不同響應狀態下的時間歷程圖(a)，相圖(b)和Poincare映射圖(c)。從圖2中可看出，隨著軸向激勵的增大，系統經歷了從周期→倍周期→混沌的分岔運動過程。改變圖2中外激勵pt，其他條件不變，當pt=350 N時，系統表現為周期運動如圖3所示。當增大軸向激勵為pt=380 N，系統由周期運動變為二倍周期運動，如圖4所示。繼續增大軸向激勵，從圖2中可看出系統經倍周期分岔發生混沌運動，如圖5所示，其中(c)圖的Poincare映射表現出明顯的混沌特征。

為了研究壓電層的振動控制，圖6和圖7分別給出了閉環狀態下電勢微分增益Gd和電勢比例增益Gp的分岔圖，其中軸向激勵pt=480 N，系統發生混沌響應。從圖6中可以看出，隨著電勢微分增益的增大，系統經歷了混沌→倍周期→周期的過程，可阻止系統通過倍周期分岔進入混沌運動，保持了系統的穩定性有著明顯的控制效果。圖7顯示了電勢比例增益Gp對夾層梁混沌運動的控制效果。電勢比例增益Gp的增大可以抑制系統發生混沌運動，使系統發生倍周期或周期響應，控制效果也十分明顯，保持了系統的穩定性與可控性。

圖6 電勢微分增益Gd的分岔圖Fig.6 The bifurcation for the gain derivative potential Gd

圖7 電勢比例增益Gd的分岔圖Fig.7 The bifurcation for the gain proportional potential Gp

4 結論

以簡支壓電夾層梁為研究對象，研究了在軸向參數激勵下夾層梁的非線性橫向振動。基于von Karman理論和比例微分控制策略，運用Hamilton原理推導出了壓電夾層梁的動力學方程。用數值方法研究了壓電夾層梁的非線性動力學、混沌動力學響應。

通過時間歷程圖、相圖、Poincare映射圖和分岔圖分析了壓電夾層梁的非線性振動響應、動態分岔參數值以及壓電控制效果，系統的響應經歷了周期、倍周期、混沌的過程。結果表明，在一定參數范圍內，系統的響應為周期運動。當系統發生混沌響應時，通過改變電勢比例增益和電勢微分增益，均可控制壓電夾層梁的振動從混沌→倍周期→周期，控制系統產生倍周期分岔解，阻止系統通過倍周期分岔進入混沌運動，保持了系統的穩定性與可控性。

［1] Sun B，Huang D.On the feedback control gain of smart laminated beams，plates and shells［J] .The 6th international Conference on Composite Engineering(ICEE/6)，1999，859－860.

［2] Huang D，Sun B.Approximate analytical solutions of smart composite mindlin beams［J] . Journal of Sound and Vibration，2001，244(3):379－394.

［3] Chen L W，Lin C Y，Wang C C.Dynamic stability analysis and control of a composite beam with piezoelectric layers［J] .Composite and Structures，2002，56(1):97 －109.

［4] Gao JX，Shen Y P.Active control of geometrically nonlinear transient vibration of composite plates with piezoelectric actuators［J] . Journal of Sound and Vibration，2003，264(4):911－928.

［5] Moita J M S，Soares C M M，Soares C A M.Geometrically nonlinear analysis of composite structures with integrated piezoelectric sensors and actuators［J] .Composite and Structures 2002，57(1－4):253－261.

［6] 董興建，孟 光.壓電懸臂梁的動力學建模與主動控制［J] .振動與沖擊，2005，24(6):54－57.

［7] Akl W，Poh S，Baz A.Wireless and distributed sensing of the shape of morphing structures［J] .Sensors and Actuators，2007，140(1):94－102.

［8] 李鳳明，孫家春，王毅澤，等.參數激勵非線性壓電梁的振動穩定性［J] .振動工程學報，2008，21(5):441－455.

［9] 傅衣銘，阮建力.具損傷壓電智能層合板的非線性主動控制和損傷監測［J] .應用數學和力學，2008，29(4):379－392.

［10] Belouettar S，Azrar L，Daya E M，et al.Active control of nonlinear vibration of sandwich piezoelectric beams:A simplified approach［J] .Computers and Structures，2008，86(3－5):386－397.

［11] 姚志剛，張 偉，陳麗華.壓電復合材料層合梁的分岔、混沌動力學與控制［J] .力學學報，2009，41(1):130－140.

［12] 高美娟，張 偉，姚明輝，等.壓電復合材料層和板的混沌動力學研究［J] .振動與沖擊，2009，28(6):82－85.