基于主分量子空間的設備狀態診斷研究

劉永斌，何清波，吳 強，李 鵬，胡 飛，孔凡讓

(中國科學技術大學 精密機械與精密儀器系，合肥 230026)

機械設備如齒輪箱、軸承、發動機等在工業應用中扮演著非常重要的角色。設備狀態診斷可以及時有效地辨識設備狀態，減少設備停機，保證設備高效運行。振動信號蘊含著豐富的設備狀態信息，適合于提取可靠的特征進行狀態識別［1]。目前振動信號的時域、頻域和時頻域特征提取技術得到了很大發展，研究者總希望提取更多的有效特征參數進行故障分類和診斷。但是采用特征參數太多會影響模式分類的計算代價甚至分類精度［2]。而且它們所反映的狀態規律性、敏感性，和模式聚類性、可分性并不相同，在特征分析基礎上提取規律性好、敏感性強的特征表示非常需要且極具挑戰性［2，3]。

主分量分析(Principal component analysis，PCA)是一種通用的多元統計方法，在信息壓縮和數據相關性消除方面非常有效，被廣泛用于人臉、字符等特征提取中［4，5]。PCA的這些優點也被引入設備狀態監測與診斷中。Malhi［2]基于PCA提出一種特征抽取方案以保證從多個原始特征中選擇最有效的特征來進行軸承狀態分類。Baydar［6]運用基于PCA的多元統計方法建立了一個正常狀態模型進行齒輪箱狀態監測。He［7]探討了設備狀態監測中主分量特征的有效選取。同時，子空間法模式識別也具有很多優點，它可以將特征提取和模式分類兩步合在一步內完成，計算方便快捷［8]。本文結合PCA和子空間法研究基于主分量子空間的設備狀態診斷，探討兩種主分量子空間結構來表達和分類設備的狀態。在齒輪箱診斷應用的實驗表明，所提出的設備狀態診斷方法非常有效，且計算方便。

1 PCA特征提取

PCA的基本思想是尋找高維數據的一些主分量表示，這些分量具有最大方差，用它們表示原始數據具有最小的均方誤差。

設有模式向量矩陣X，其列向量xi為某一狀態樣本對應的d維模式向量，則可以得到該矩陣的協方差矩陣為:

對RX做特征值分析，通過求解下式:

其中λ和v分別是RX的特征值和特征向量，得到d個特征值 λi(i=1，2，…，d)，且 λ1＞λ2＞… ＞ λd，以及對應的特征向量vi(i=1，2，…，d)。樣本x投影到特征向量vi上得到相應的主分量特征:

模式向量X投影到所有特征向量張成的d維正交空間得到d維主分量特征。原始數據的絕大部分信息通常保留在前面少數幾個主分量中，因而可以僅用m(m＜d)個特征向量組成一個正交特征子空間。該特征子空間相比原始模式空間具有降維的優勢，可以近似表示原始數據結構，且不會影響分類的精度。

2 主分量子空間結構

子空間可以看作是由一些特征矢量作為坐標軸的模式點集。子空間法模式識別被廣泛應用于語音［8]、人臉［9]、字符［10]、系統辨識［11]等模式識別研究中。下面探討兩種用于設備狀態監測和診斷的主分量子空間結構。

2.1 壓縮子空間結構

用原始模式空間中包含所有類別的樣本訓練來構造的子空間稱為壓縮子空間。該結構壓縮了樣本集的絕大部分變化信息，表達了類別之間的本質區別，不同類別的樣本形成一個聚類并占據著子空間中不同的區域。

設訓練模式矩陣X中的d維模式向量xi分屬于q個類別j=1，…，q}，則對于樣本集1，…，N}(ci表示模式 xi的類別)，其模式均值為:

協方差矩陣為:

其中N是訓練樣本數。通過(3)式求得R的特征值和特征向量。主特征矢量表示為i=1，…，m}(m＜d)，作為坐標軸展開子空間，樣本投影到特征矢量上得到相應的主分量特征。這種PCA特征記作PCA1。同類別樣本的PCA1特征具有一定的聚類特性，每種狀態類的聚類中心采用模糊c均值聚類分析［10](FCMC)來計算。這些聚類中心用于輸入測試樣本的分類。

測試時，模式x首先投影到訓練好的壓縮子空間上得到其PCA1特征表示，然后計算它與各類別之間的相似度。相似度用下面的余弦距離來測量:

其中Ftest和Ftrain分別是測試樣本和訓練類中心的PCA1特征，測試模式被分到具有最大相似度的類。

2.2 類屬子空間結構

用每類訓練樣本分別建立一個子空間，對某個類別的子空間，該類樣本分布在子空間原點附近形成聚類，其它類樣本則會偏離原點，且分布聚類性和規律性也沒有保障，故稱其為類屬子空間結構。

同樣對上述訓練模式矩陣X，摘取類Cj的樣本集i=1，…，Nj}(ci表示模式 xi的類別，Nj是該類樣本數)，則Cj類屬子空間可以由下面的協方差矩陣得到:

其中:

是Cj類屬模式均值。通過(3)式求得Rj的特征值和特征向量。選取m(m＜d)個主特征矢量i=1，…，m}，反映了Cj類數據的分布規律，用來作為該類屬子空間的坐標軸系。把樣本投影到某類屬子空間主特征矢量上得到該子空間的主分量特征，記作PCA2。

測試時，樣本x依次投影到訓練好的每個類屬子空間上，得到其PCA2特征表示，然后分別計算在每個子空間上的投影距離:

由于屬于某類的樣本與該類通常距離很小，而不屬于該類的樣本則與該類距離較大，測試模式被分到具有最小投影距離的類。

3 實例分析

采用某汽車變速齒輪箱為研究對象獲得振動數據，振動信號由安裝在三檔齒輪箱外殼上的加速度傳感器獲取，經放大后，由A/D卡采集并存儲到計算機，采樣頻率為3 000 Hz。設定轉速為1 600 r/min，三檔齒輪的嚙合頻率經計算為500 Hz。施加負載255 N·m，對該齒輪箱進行了疲勞試驗，共進行了六個循環，三檔齒輪經過了正常、輕微磨損、嚴重磨損并發生斷齒故障。分別抽取齒輪正常、輕微磨損和嚴重磨損階段振動信號各80組進行分析，其中50組用于訓練，30組用于測試。樣本集與其所屬的齒輪狀態的對比關系見表1所示。

表1 樣本與齒輪狀態的對應關系Tab.1 Corresponding relations between samples and gearbox conditions

3.1 振動信號模式特征

齒輪箱振動是一種復雜的隨機過程，很難用確定的時間函數表達，對其狀態監測和診斷時需要進行特征分析，提取能夠反映狀態信息的模式特征。較常用且有效的特征是時域和頻域的統計特征。

為了消除操作環境及傳感器因素對數據的影響，使信號分析結果有一個客觀、公正的標準，對所測振動信號進行了均值—方差標準化預處理。預處理后的信號具有零均值和單位方差。三種齒輪狀態的典型振動信號如圖1所示，從圖中并看不出它們之間的區別。而從圖2所示的頻率圖上來看，齒輪嚙合頻率500 Hz附近的能量反映狀態差異的規律不明顯，250 Hz～300 Hz附近的能量分布則呈現出逐步遞增的趨勢。頻譜上的變化可以在一定程度上反映出不同階段磨損的特征。

據以上分析，本文提取振動信號的時域和頻域統計特征來全面表達齒輪狀態的模式特征。①時域統計特征。因為標準化后的時域信號對不同狀態的反映不明顯，首先采用非平穩信號分析工具小波包變換來對280 Hz所在的小波包系數進行重構，以消減背景噪聲、得到敏感的狀態特征信息。然后提取絕對均值、最大峰值、有效值、方根幅值、方差、峭度、峰值因子、波形因子、脈沖因子、裕度因子等10個時域統計參數［1]。②頻域統計特征。均值—方差標準化的信號變換到頻域，分成8個頻帶分別計算各頻帶的功率譜能量。在頻域提取各頻帶的功率譜能量以及它們的均值、頻率重心、譜方差、譜峰、譜峭度等13個統計特征［3]。這樣總共提取出23個特征指標表示振動信號的模式特征。這些特征表達齒輪狀態的規律性和敏感性都不相同，同時也具有一定的冗余性。主分量子空間技術正是從這些原始特征中消除相關和冗余、提取更加敏感和穩定的特征來表達齒輪箱狀態。

3.2 狀態診斷:應用主分量壓縮子空間法

如前所述，用含三種狀態的所有訓練樣本來建立一個壓縮子空間。為了使結果可視化，我們提取了兩維子空間結構，用對應兩個最大特征值的特征向量來展開。計算顯示，這兩個特征值占有了所有特征值的83.3%比例。所有訓練樣本投影到該子空間上得到兩維PCA1特征，如圖3(a)所示。可以看出，每個類都有明顯的聚類，并占據了子空間的不同的區域。這顯示了PCA具有優越的特征提取能力，用壓縮子空間法提取的子空間很好地表達了各個狀態的本質特征。

用FCMC技術計算對應三個狀態的聚類均值，如圖3(a)所示。三個聚類中心有效表示了三個狀態類別的均值，可以代表每個類用于測試樣本的狀態分類。

圖3 訓練樣本和測試樣本分別在兩維壓縮子空間上的投影Fig.3 Projection on two-dimensional compression subspace of(a)training and(b)testing samples

現在用已得到的子空間來監測測試樣本的狀態。首先測試樣本用訓練樣本的均值和方差進行標定，然后投影到建立好的子空間上，得到兩維PCA1特征表示，如圖3(b)所示。圖中的三個均值與圖3(a)的相同，從圖3(b)中可見，不同狀態測試樣本的投影分別聚集在相應的三個狀態的均值附近，這說明了PCA1子空間對類別表達的有效性。

下面用余弦距離來計算測試樣本與三個聚類中心的相似度，圖4是結果的柱狀圖表示。從圖4中可見，正常狀態樣本與正常狀態類別的余弦相似度最大，其它兩類樣本也都與各自類別的余弦相似度最大，而且它們的值都接近為1，其它情況的余弦值基本都是負的。經過診斷，測試樣本得到了正確的分類結果，所以壓縮子空間可以非常有效的用于齒輪狀態的識別和分類中。

3.3 狀態診斷:應用主分量類屬子空間法

如前所述，分別用每種狀態的訓練樣本來建立一個該類別的類屬子空間。對每個狀態類都提取了兩維子空間結構，用對應兩個最大特征值的特征向量來展開。所有訓練樣本投影到每個子空間上得到其兩維PCA2特征，如圖5左側所示。從圖中可以看到，每個狀態的類屬子空間中，該狀態樣本都聚集在子空間原點附近，兩維特征均具有零均值;其它兩類則沒有這樣的性質。這說明類屬子空間可以有效表達類別的特征。

用上面得到的三個類屬子空間來診斷測試樣本的狀態。首先測試樣本分別用每個子空間所屬類的訓練樣本的均值和方差進行標定，然后投影到該子空間上得到兩維PCA2特征表示，如圖5右側所示。從圖5中可見，測試樣本和訓練樣本在每個子空間都有著一致的分布。這說明了PCA2子空間對類別表達的有效性。

用類屬子空間上的投影距離進一步診斷測試樣本的類別。圖6是測試樣本在各個子空間上的投影距離的柱狀圖表示，從中可以看出，每個狀態類樣本都與各自類別子空間的投影距離最小，而且它們的值都比較穩定，其它情況的投影距離則都較大。根據投影距離越小相似度越大的準則，測試樣本得到了正確的分類結果，所以類屬子空間也可以非常有效地用于齒輪狀態診斷中。

圖6 測試樣本與三個類屬子空間的投影距離Fig.6 Projection distances of testing samples onto three class-specific subspaces

4 結論

本文結合PCA和子空間法研究了基于主分量子空間的設備狀態診斷，探討了壓縮子空間和類屬子空間兩種主分量子空間結構來表達和分類設備的狀態。所提出的設備狀態診斷方法具有兩個優點:①能夠提取穩定有效的設備狀態低維特征表示，②能夠以低代價有效進行狀態監測和診斷。針對某一汽車變速齒輪箱的實例分析表明，兩種主分量子空間法都獲得了良好的結果，可以有效用于齒輪箱的狀態診斷中。兩種方法比較起來，壓縮子空間的訓練代價比類屬子空間大。當監測中增加類別數時，前者需要重新對所有樣本進行訓練，而后者只需要對新類別的樣本數據來訓練一個新的子空間。所以類屬子空間比較適合動態的狀態監測與診斷。本文方法具有一定的通用性，也適用于軸承等其它部件或噪聲等其它采集信號的狀態診斷中。

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