帶撓性附件的航天器結構-姿態耦合動力學

王 欽,何星星,文援蘭

(1.國防科學技術大學 航天與材料工程學院,湖南 長沙 410073;2.上海衛星工程研究所,上海 200240)

0 引言

當前,航天領域中大型撓性航天器所受的關注越來越廣泛,撓性附件的復雜度也越來越高,在精確控制星體姿態的同時有效抑制柔性附件的振動,成為目前研究的重要方向[1]。撓性附件的運動需用無限自由度的分布參數描述,而撓性運動和剛體的姿態運動相互耦合,用常微分方程和偏微分方程共同描述的是非線性、非定常系統。特別是當附件結構非常復雜時,求解更難。柔性航天器動力學建模中,合理選擇航天器數學建模方法和原理可簡化推導過程并有助于提高模型的工程實用性,常用方法有離散坐標法、分布參數法、混合坐標法和正則模態法等[2]。工程中常用的參數法或有限元法,都是將無限自由度的系統轉為有限自由度系統,再行求解[3]。

相關領域的研究取得了大量成果[4、5]。特別是隨著計算機性能的提升,采用混合坐標系方法建立由剛體姿態坐標描述中心剛體的運動以及由離散模態坐標描述撓性附件的運動,截去高階模態對姿態控制系統的影響,即可轉化為有限自由度對系統的描述,這既能準確描述系統運動及動力學特性,又便于設計與分析控制系統。本文基于結構動力學及剛體運動學和動力學,建立多平臺聯合仿真系統,對航天器結構-姿態全系統進行性能了分析及評估。

1 理論建模

1.1 撓性附件振動特性

對航天器撓性附件結構動力學系統,由有限元方法的基本格式,可得系統的求解方程為

對式(1)的大型特征值問題,用有限元法求解時,常見的解法有矩陣反迭代法、子空間迭代法、里茲向量直接疊加法和Lanczos向量的直接疊加法等,可解得方程的特征值ωi及特征向量φi。在此基礎上,將主坐標轉化為模態坐標,即引入a(t)=Φx(t)=。此處：Φ為標準模態;n為模態階次;x(t)為模態坐標,且x(t)=[x1… xn]T。由此可得模態坐標的動力學方程為

式中：Ω=diag[(ω1)2(ω2)2… (ωn)2];R(t)為模態坐標下的廣義力。對應的初始條件轉為：x0=ΦTMa0,。此處：a0為a的初值。

一般工程結構可視為結構型阻尼,根據Φ的正交性,有

式中;ξi為結構阻尼比。因此,此時原動力學方程可變為互相不耦合的二階常微分方程

式中：i=1,2,…,n。求解式(4)即可獲得每個振型的響應,將其疊加后,則每個節點的位移響應為

1.2 撓性附件-航天器姿態耦合動力學

對復雜的撓性附件結構,本文建立集中參數模型,用有限元法對系統進行離散化,建立有限自由度的動力學模型。

1.2.1 衛星運動線動量方程

設衛星由1個本體結構B和N個撓性附件組成,其中第i個撓性附件為Bi,如圖1所示。建立慣性坐標系O1-x1y1z1。令衛星未變形時的整星質心位于點O,在點O處建立本體坐標系O-xyz;第i個撓性附件與衛星本體的連接點位于點Oi,在點Oi處建立撓性附件坐標系Oi-xiyizi,點Oi在O-xyz系的矢量為lpi。對第i個附件的任一質量元(點K)mik,在Oi-xiyizi系中的矢量位置為rik,衛星變形后的位移為uik。則第i個附件的任一質量元mik在O1-x1y1z1系中的線速度可表示為

式中：wik為O-xyz系中衛星變形后點K的矢量坐標;ω為衛星的絕對速度。

圖1 衛星撓性附件結構Fig.1 Flexible appendages structure of satellite

設撓性變形為小量,變形后的位移函數亦為一階小量,并作部分線性化處理,有wik=lpi+rik+uik,。

令VT=,則整星系統的線動量

式中：mT為整星系統質量。因點O為未變形前整星的質心,則=0,故P=mTVT+。

根據Newton第二定律,衛星運動的線動量方程為

式中：F為作用于衛星的外力。

在撓性附件的有限元計算中,令求解得到的撓性附件坐標系的結構振型為Φik=[φi1(rik) φi2(rik) … φin(rik)],k=1,2,…,n;固有頻率為ωi1,ωi2,…,ωin。根據式(5),uik=Φikqi(t)。此處：qi(t)為附件結構離散的模態坐標,且qi(t)=[qi1(t) qi2(t) … qin(t)]。

設Oi-xiyizi系至O-xyz系的轉換陣為TSiB,則線動量方程可改為

令BTrani為第i個撓性附件在O-xyz系中的平動耦合系數,且(此處BTrani為3×N維矩陣)。則

1.2.2 衛星角動量方程

設系統相對點O的絕對角動量為L,系統相對點O的力矩為MSat,則根據角動量定律,有

式中：IT為衛星未變形時的慣量陣。

將有限元法所得的振型函數代入式(11),并統一轉為O-xyz系,即

1.2.3 撓性附件運動方程

式中：Ψ(VT,ω)為僅含VT,ω的項。

仍用FEA結果uik=Φikq(t),并轉為O-xyz系,再由振型函數的歸一化性質,即(Φik)T(TSiB)TTSiBΦik=IN(此處：IN為單元陣),以及B Rot i,(B Rot i)T,附件動能可簡化為

第i個撓性附件的應變能為

式中：Kik為第k個節點的剛度陣;(Λi)2=diag[(ωi1)2(ωi2)2… (ωiN)2]。

式中：i=1,2,…,k。

1.3 解耦分析

聯立式(10)、(13)、(17),可得經線性化處理的衛星動力學方程組。若推廣為更一般情況,即

a)考慮撓性附件的結構阻尼ζ=[ζ1ζ2…ζn]T時,式(17)應為

b)衛星帶角動量為h的偏置動量輪時,式(13)應為

式中：

其中：IB-C1(mB)-1C2為等效慣量陣。式(21)表明：角加速度項已與線加速度項解耦。

2 聯合仿真方法

衛星在軌運行過程中,大型撓性附件振動會使姿態動力學與結構動力學形成較緊密的耦合。大型撓性結構如太陽翼、天線、機械臂等會因衛星調姿引起激烈振動,姿控系統的活動部件如飛輪等在起動、停止和反向等過程中會對結構產生擾動,而這些振動又會影響衛星姿態。傳統衛星設計方法中往往忽略姿態動力學與結構動力學的耦合效應,單獨針對衛星姿態動力學與結構動力學進行分析和設計,故由此獲得的方案在實際應用時的結果常與設計預期不符。

本文基于結構動力學平臺和姿態動力學開發平臺,實現對全系統進行聯合仿真研究,其總體方案如圖2所示。撓性附件的振動與衛星姿態系統的耦合主要通過撓性附件振動特性、衛星本體的姿態調整時產生的加速度和推力力矩形成耦合效應。此外,姿態調整時坐標系的變化會改變附件振型和耦合系數,增大了求解難度。為此,本文用數值模擬方法實現姿態控制系統與撓性附件結構動力學的同步仿真,姿態控制系統將姿態角、加速度和推力力矩等數據送至附件振動特性的計算;結構動力學分析將算得的附件結構固有頻率、振型等數據送至姿態控制仿真系統,循環直至整個姿態系統穩定。

圖2 聯合仿真方案Fig.2 Co-simulation program

通過結構動力學平臺ANSYS提供的APDL標量參數和數組參數可方便地實現有限元分析全過程的參數化,形成參數化的批處理文件,完成各種參數化分析,并可極大地提高分析效率。基于多剛體系統的衛星姿態動力學建模技術已相對成熟。在考慮撓性附件時,常采用混合坐標法建立撓性附件的振動方程和中心剛體的動力學方程,聯合仿真程序流程如圖3所示。

圖3 聯合仿真程序流程Fig.3 Program process of co-simulation

3 仿真結果與分析

3.1 撓性附件振動特性

以某雙自旋衛星為例,以其中一星載天線作為衛星附件結構,如圖4所示。該天線結構主要包括與衛星本體焊接的支撐板、半球柱網面結構體、信號發射外伸端及螺釘等附屬構件。有限元建模時,忽略螺帽、螺釘等小型構件,對模型作部分簡化。因支撐板與衛星本體相連,在分析星載天線的振動特性時,可視之為固支結構。

圖4 天線結構Fig.4 Antenna structure

對天線結構進行模態分析,所得1～6階的固有頻率相應為11.37,14.81,21.26,21.37,28.94,29.24 Hz,其中前4階模態振型如圖5所示。

圖5 天線結構1～4階振型Fig.5 First 4 modes of antenna structure

3.2 附件振動與姿態動力學耦合算例

仍以某雙自旋衛星為研究對象,建立其姿態動力學模型,其中包括姿態控制模塊、球-管式章動阻尼器模塊,以及噴氣推力器模塊等。設初始時刻,平臺相對衛星質心慣性系姿態[ψ θ φ]=[0° 30° 30°],平臺角速率在O-xyz系中角速率ω=[0 0 0]rad/s,輸入附件天線結構的振動特性,聯合仿真所得衛星本體姿態角及角速率變化分別如圖6、7所示。在姿態控制系統的作用下,自旋軸方向單位矢量端點在質心慣性系中投影的變化軌跡如圖8所示。

仿真結果表明：在噴氣姿態控制和被動章動阻尼控制下,衛星平臺姿態角趨于目標姿態角,角速率趨于零。星載天線結構作高頻微幅振動,自由端最大振幅約10-6m量級,其振動響應對衛星本體的影響較小。另由圖8可知：在姿態機動和附件結構振動相互耦合的影響下,衛星姿態控制系統仍能保持穩定。

圖6 衛星姿態角變化過程Fig.6 Variation of satellite attitudeangle

圖7 衛星角速率變化過程Fig.7 Variation of satelliteangular rate

圖8 自旋軸方向端點在質心慣性系中投影Fig.8 Projection with direction of spin axis on barycentric inertia coordinates

4 結束語

本文以某雙自旋衛星星載天線為撓性附件,建立了基于有限元方法和剛體動力學結合的航天器姿態動力學模型,并實現了航天器結構-姿態的動力聯合仿真。研究結果表明：通過此聯合仿真方法能實現航天器姿態控制全系統的性能分析和評估,在工程應用中有一定的參考價值。

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