基于Logistic映射和Arnold置亂的數字水印算法

張釘銘，雷仲魁

（南京航空航天大學 電子信息工程學院，江蘇 南京 210016）

隨著計算機網絡和通信技術的飛速發展，數字媒體（包括數字圖像、數字視頻、數字音頻）已得到了廣泛的應用，隨之而來的數字媒體的信息安全、知識產權保護和認證等問題也變得日益突出。傳統的加密系統在數據傳輸過程中可以起到保護作用，但數據一旦被接收并解密，其保護作用也隨之消失，數字水印作為傳統加密方法的有效補充手段，是一種可以在開放的網絡環境下保護版權和認證來源及完整性的技術，近年來已引起了人們的高度重視[1]。

數字水印算法按照水印的嵌入位置可以分為空間域和變換域兩類。變換域方法是通過改變變換域系數嵌入水印，包括離散傅里葉變換，離散余弦變換，離散小波變換等。空間域水印算法具有復雜度低、實時性好等特色，但是魯棒性較差，主要用于設計脆弱水印和半脆弱水印；變換域水印算法的魯棒性較強且容量較大，主要用于設計魯棒水印。由于數字水印的嵌入和提取算法對水印信息的影響非常大，一旦嵌入和提取算法被破解，攻擊者很容易實現對水印信息破壞、篡改、移除或者利用偽造水印進行盜版[2]。另外，有意義水印的相關性很高，不適合直接嵌入，且隱蔽性較差。因而在水印信息嵌入前的置亂，不但可以提高水印信息的安全性，同時可以去除水印信息的相關性，增強水印的魯棒性[3]。基于上述考慮，提出了一種基于Logistic映射和Arnold變換的DCT域數字水印算法，通過Arnold變換對水印信息進行置亂處理，同時利用Logistic映射選擇水印的嵌入位置，并利用了變換域方法的魯棒性。通過實驗證明，該算法不僅具有較好的隱蔽性，同時也具有較強的魯棒性。

1 Logistic映射

混沌現象是在非線性動態系統中出現的確定性、類隨機的過程，這種過程非周期、不收斂但有界，并且對初始值有及其敏感的依賴性。利用這一性質，混沌映射可提供數量眾多、非相關、類隨機而又確定，易于產生和再生的信號。

Logistic映射是一類簡單卻被廣泛研究的混沌動力系統。用非線性差分方程描述：

其中 0≤u≤4 為分支系數，x（n）∈（0，1）。 當 3.569 945 6 ＜u≤4時，Logistic映射工作于混沌狀態[4]。理論上已經證明了由兩個不同初值 x0和y0生成的兩個混沌序列 x0，x1，...，xn和y0，y1，...yn的互相關為零，這體現了Logistic混沌映射對初值的極度敏感性。

2 Arnold變換

Arnold變換（Cat mapping）是在遍歷理論研究中提出的一種變換。對于數字圖像來說，可以將其看成是一個函數在離散網格點處的采樣值，這樣可以得到一個表示圖像的矩陣。矩陣中對應點處得灰度值或RGB顏色分量值。令數字圖像的像素坐標 x，y∈{0，1，2，...，N－1}，于是 Arnold 變換為[5]：

N代表數字圖像的寬度和高度。經過Arnold變換后的圖像會變得混亂不堪，然而繼續使用Arnold變換，將會出現一幅與原圖相同的圖像，即Arnold變換具有周期性。這樣利用Arnold變換實現了信息的初步隱藏，從而增強了系統的安全性和保密性，同時該算法實現了隨機置亂的不可恢復性[6]。

3 DCT域數字水印算法

3.1 利用Arnold對圖像進行置亂

這里的水印圖像使用64×64的二值圖像，如圖1所示。利用Arnold變換對圖像進行置亂，使用置亂的次數N（14）除以100作為生成混沌序列的種子。置亂后的圖像如圖2所示，同時，進一步實驗證明，對于64×64的二值圖像，經過48次Arnold變換后恢復原圖像。該置亂圖像經過34次變換后恢復原圖。

圖1 水印圖像Fig.1 Watermark image

圖2 置亂后的圖像Fig.2 Scrambling image

3.2 水印嵌入過程

水印嵌入的基本思想是通過調整圖像塊消息中兩對4個DCT系數的相對大小來對水印信息進行編碼。用（u1，v1），（u2，v2），（u3，v3）（u4，v4）來表示這兩對系數的索引，算法描述如下：首先利用一個閾值將生成的混沌序列變為二值序列，對于每一個DCT系數塊，如果生成的混沌序列值為1時，若嵌入二值圖像為 1，則（u1，v1）＞（u2，v2）；否則，（u1，v1）＜（u2，v2）；如果生成的混沌序列值為0時，若嵌入二值圖像為1，則（u3，v3）＞（u4，v4）；否則，（u3，v3）＜（u4，v4）。

為與JPEG壓縮方案一致，選擇8×8的圖像塊。對于塊中4個系數的選擇，應該選擇使得相應的系數在圖像經過處理后保持不變。同時由于人眼對低頻區比較敏感，對高頻區雖然不敏感，將水印信息嵌入到圖像的高頻分量中，能保證水印的不可見性，但各種圖像處理操作對圖像高頻部分的損壞比較大，魯棒性較差。綜合以上因素。把水印嵌入到圖像DCT域的中頻分量中，以期能平衡水印的不可見性和魯棒性。 綜合上述考慮，選擇（5，2），（4，3）和（2，3），（4，1）這兩對系數。

Step1.對水印圖像W進行N次Arnold變換，得到嵌入水印圖像W′；

Step2.對載體圖像進行8×8的分塊，對每一個分塊進行二維DCT變換；

Step3.利用N/100做為初值，用Logistic映射生成一維的混沌序列 xi，i=1，2，3...M；

Step4.選取一個合適的值作為分界，使得所得到的混沌序列變為一個二值序列。

Step5.對于第 i個8×8的 DCT系數塊，如果 xi=1，若對應的二值圖像值為 1，則使得塊中的（5，2）＞（4，3），否則（5，2）＜（4，3）； 如果 xi=0； 若對應的二值圖像為 1， 則使得 （2，3）＞（4，1），否則使得（2，3）＜（4，1）；

Step（6）.對嵌入水印的每一個DCT塊做二維DCT反變換得到嵌入水印后的圖像。

3.3 水印提取過程

Step1.對帶有水印的圖像進行8×8分塊，對每一個分塊進行二維DCT反變換

Step2.利用N作為初值，用Logistic映射生成一維的混沌序列 xi，i=1，2，3...M；

Step3.利用N/100做為初值，用Logistic映射生成一維的混沌序列 xi，i=1，2，3...M；

Step4.如果 xi=1，若（5，2）＞（4，3），則相應的水印值為1，否則為 0；如果 xi=0，若（2，3）＞（4，1），則相應的水印值為1，否則為 0；

Setp5.對提取出的圖像進行48－N次arnold變換，最終得到水印圖像。

3.4 實驗仿真結果

使用512×512的lena圖像作為載體進行水印信息的嵌入。原始圖像、嵌入水印后的圖3所示。對嵌入水印后的圖像進行剪裁、中值濾波、加高斯白噪聲、以及JPEG壓縮后等常規的水印攻擊后，提取出來得水印的水印結果如圖4所示，其中中值濾波采用3×3的中值濾波器，高斯噪聲均值為0，方差為0.01.由實驗可見，提取出來的二值水印圖像仍然清晰可見。

圖3 無水印攻擊情況下的實驗結果Fig.3 Experimental result while there is no watermark attack

水印算法的評價包括隱蔽性和魯棒性評價兩部分。通常采用峰值信噪PSNT比客觀地評價隱蔽性，一般認為PSNT值越大，水印保真度越高。魯棒性評價一般由原始水印與提取水印間的差異（相似度）來衡量。采用歸一化相似度NC作為評價參數，NC的值在0，1之間，值越大，原始水印與提取出來的水印相似性就越好。實驗結果如表1所示。

圖4 水印攻擊情況下的實驗結果Fig.4 Experimental result while there is watermark attack

表1 抗攻擊結果Tab.1 Result against attack

4 結 論

提出了一種基于Logistic映射和Arnold變換的圖像盲水印算法，實現了對二值水印圖像的嵌入。該算法利用混沌序列非周期、類隨機的特性，提高了水印嵌入算法的魯棒性。同時利用Arnold變換對水印信息進行置亂，提高了算法的安全性。通過實驗仿真驗證了該算法的有隱蔽性，同時通過大量的水印攻擊實驗可以表明，該算法同時具有很好的魯棒性。且由于水印的盲提取，具有很好的應用價值。

[1]李趙紅，侯建軍 基于Logistic混沌映射的DCT域脆弱數字水印算法[J].電子學報 2006，34（12）：2134-2137.

LI Zhao-hong， HOU Jian-jun. DCT-Domain fragile watermarking algorithm based on logistic maps[J].Acta Electronica Sinica，2006，34（12）：2137-2137.

[2]張有礦，楊峰.一種基于混沌映射與SVD的數字水印算法[J].信息技術與信息化，2010（6）：46-48.

ZHANG You-kuang，YANG Feng.A digital watermarking algorithm based on chaos and SVD[J].Information Technology&Information 2010（6）：46-48.

[3]劉方.變換域加密圖像數字水印算法研究[D].濟南：山東師范大學，2009：1-65.

[4]許憲東，季振洲.DCT水印中拉伸系數與嵌入位置的選擇[J].計算機應用于軟件，2006，23（9）：124-127.

XU Xian-dong，JI Zhen-zhou. The choice of scaling parameterαand embedding position in DCT watermark[J].Computer Application and software，2006，23（9）：124-127.

[5]倪蓉蓉，阮秋琦.利用Arnold對稱性變換的圖像信息隱藏算法[J].北方交通大學學報，2002，26（2）：25-28.

NI Rong-rong，RUAN Qiu-qi.A digital imagehiding algorithm using Arnold transform [J].Journal of Northern Jiaotong University，2002，26（2）：25-28.

[6]丁瑋，閆偉齊，齊東旭.基于Arnold變換的數字圖像置亂技術 [J].計算機輔助設計與圖形學學報，2001，13（4）：338-341.

DING Wei， YAN Wei-qi， QI Dong-xu.Digital image scrambling technology based on Arnold transformation[J].Journal ofComputer-Aided Design&ComputerGraphics，2001，13（4）：338-341.