空間站零燃料大角度最優(yōu)姿態(tài)機動路徑規(guī)劃

趙 乾 黃海兵 羅亞中 唐國金

（國防科學技術(shù)大學航天與材料工程學院）

1 引言

姿態(tài)機動控制對于空間站完成期望的飛行任務是至關(guān)重要的?？臻g站的姿態(tài)機動控制通常采用噴氣推力器執(zhí)行。由于空間站質(zhì)量大，采用這種方式進行一次大角度姿態(tài)機動需要耗費大量燃料。雖然控制力矩陀螺用于姿態(tài)控制可以減少空間站的燃料消耗，但是由于它產(chǎn)生的控制力矩較小、并存在角動量飽和問題，當將控制力矩陀螺應用于空間站大角度姿態(tài)機動、且采用傳統(tǒng)的控制算法和飛控軟件時，很容易出現(xiàn)飽和，一旦角動量飽和，控制力矩陀螺就失去了姿態(tài)控制能力，需要噴氣推力器工作進行卸載。由于空間站需要頻繁執(zhí)行包括姿態(tài)模式切換、大角度偏航等姿態(tài)機動，大量的燃料消耗給空間站的后勤補給帶來了較大的負擔。

在國際空間站建造和運營中，研究人員開展了使用控制力矩陀螺進行大角度姿態(tài)機動的可行性研究[1-2]。1996年，Draper實驗室的Bedrossian在集中動量管理概念研究中最早提出了零燃料姿態(tài)機動（Zero Propellant Maneuver，ZPM）[1]。2006年 11月 5日，首次在國際空間站上開展了ZPM技術(shù)的演示驗證試驗，在不消耗燃料的情況下，國際空間站在7200s內(nèi)機動了90°[3]。2007年3月3日，國際空間站又成功地使用控制力矩陀螺進行了不消耗燃料的180°姿態(tài)機動，而2007年1月2日國際空間站采用噴氣推力器完成180°姿態(tài)機動時則消耗了50.76kg燃料，使用角動量交換裝置實施一次國際空間站的180°姿態(tài)機動可節(jié)省成本約110萬美元[4]。

ZPM作為一類新穎的空間站大角度姿態(tài)機動，不同于現(xiàn)有的小衛(wèi)星使用角動量交換裝置的大角度姿態(tài)機動。對小衛(wèi)星的大角度姿態(tài)機動研究主要解決控制算法問題，采用合適的控制算法實現(xiàn)大角度姿態(tài)機動，包括切換控制算法[5]、逐次逼近控制算法[7]以及遞階飽和控制算法[8]等，且機動的路徑都是沿歐拉軸的最短路徑實施，一般只對機動過程中的控制力矩實施飽和限定，以避免角動量交換裝置產(chǎn)生飽和。而ZPM主要解決機動路徑規(guī)劃的問題，通過規(guī)劃出合理的姿態(tài)運動軌跡，并在機動過程中實施動量管理，只需要采用簡單的姿態(tài)控制算法，就可以實現(xiàn)只采用角動量交換裝置進行的大角度姿態(tài)機動。

本文對采用控制力矩陀螺的空間站零燃料大角度姿態(tài)機動路徑規(guī)劃開展研究，采用四元數(shù)建立了姿態(tài)動力學模型，姿態(tài)機動控制算法采用星上常用的PD控制算法；建立了路徑規(guī)劃模型，設計變量選取為機動路徑，優(yōu)化指標為機動過程中的角動量峰值，約束條件為初值終端狀態(tài)參數(shù)，采用直接打靶法對機動路徑進行優(yōu)化，相比Bedrossian等學者在ZPM研究中采用的路徑規(guī)劃算法[3]，直接打靶法更具直觀性，優(yōu)化變量只需選取機動過程控制變量；仿真分析對比了沿規(guī)劃路徑與沿歐拉軸機動的結(jié)果，仿真結(jié)果表明路徑規(guī)劃可以使空間站的控制力矩陀螺在大角度姿態(tài)機動過程中遠離飽和，實現(xiàn)了零燃料大角度姿態(tài)機動。

2 姿態(tài)動力學與控制模型

2.1 動力學模型

在研究大角度姿態(tài)機動控制時，用歐拉角作狀態(tài)變量就很不方便，因為歐拉方程的奇點會給問題的研究帶來困難。歐拉四元數(shù)也可以用來描述角位置，而且四元數(shù)表示的運動方程不存在奇點的問題，方程的形式也較為簡單，因此用四元數(shù)研究大角度姿態(tài)機動較為方便。建立姿態(tài)運動學方程為

其中，q描述了空間站體坐標系相對于軌道坐標系的姿態(tài)四元數(shù)，ω為空間站的絕對角速度在體坐標系中表示，ω0（q）為軌道角速度在空間站體坐標系中的表示，Ω表示為

在體坐標系中建立形式如下的歐拉動力學方程

其中，J為轉(zhuǎn)動慣量，τgg為重力梯度力矩，τa為氣動力矩，w為除重力梯度力矩和氣動力矩外的干擾力矩，h為控制力矩陀螺的角動量。

2.2 控制器模型

采用PD控制器實現(xiàn)姿態(tài)機動控制。假設qc和ωc為航天器的目標姿態(tài)和目標角速度，q和ω為航天器現(xiàn)有的姿態(tài)和角速度，則姿態(tài)誤差和角速度誤差為：

其中，ωc=ωo（qc），設計 PD 姿態(tài)控制器。

（3）對環(huán)境的威脅。部分基因改良品種中含有從桿菌中提取的細菌基因，對部分昆蟲以及害蟲會產(chǎn)生危害，造成其死亡或者不正常發(fā)育。

其中，KP和KD分別為比例和微分控制器參數(shù)。該控制器的比例項可以有效地將空間站的姿態(tài)控制到目標姿態(tài)，微分項可以使空間站在軌道系中的角速度趨近于零。

控制力矩陀螺如果要產(chǎn)生上述的控制力矩，其動力學方程為：

3 路徑規(guī)劃問題的描述

由于空間站受到干擾力矩的影響，即使是初始、終端狀態(tài)和機動時間相同的兩條不同路徑，在姿態(tài)機動過程中控制力矩陀螺的角動量累積也會不一樣。路徑規(guī)劃的目的就是通過設計姿態(tài)機動過程中路徑，使用控制力矩陀螺實現(xiàn)空間站實現(xiàn)大角度姿態(tài)機動，同時使整個機動過程中控制力矩陀螺角動量盡量遠離飽和，從而達到零燃料姿態(tài)機動的目的。

3.1 設計變量

設計變量為在規(guī)定的姿態(tài)機動時間內(nèi)的目標姿態(tài)路徑。目標姿態(tài)路徑為隨時間變化的連續(xù)函數(shù)，可表示為：

對于PD控制器，某一時刻的目標姿態(tài)與空間站的狀態(tài)參數(shù)決定了這一時刻的控制力矩，因此，目標姿態(tài)路徑qc可以看作控制參數(shù)。

3.2 約束條件

約束條件包括邊界條件約束與過程約束。邊界條件約束為初始與終端時刻空間站的狀態(tài)，包括姿態(tài)角與角速度，為了保證在機動前與機動后空間站穩(wěn)定運行，初始與終端時刻姿態(tài)一般為力矩平衡姿態(tài)（Torque Equilibrium Attitude，TEA），相應地，此時空間站相對于軌道系保持靜止，空間站的旋轉(zhuǎn)角速度即為軌道角速度，可得邊界條件約束為：

過程約束為四元數(shù)單位范化特性約束，即要滿足:

3.3 優(yōu)化目標

路徑規(guī)劃的目的是要使完成整個姿態(tài)機動的過程中控制力矩陀螺遠離飽和，因此，優(yōu)化問題的目標函數(shù)可取為姿態(tài)機動過程中控制力矩陀螺角動量二范數(shù)的峰值，優(yōu)化的目標是使其最小化，即

4 優(yōu)化問題數(shù)值求解

采用直接打靶法研究零燃料姿態(tài)機動路徑規(guī)劃的最優(yōu)控制問題，用離散變量來代替原模型中的連續(xù)變量，以使原問題變成一個參數(shù)優(yōu)化問題。

首先要將整個機動時間分為N個時間段，這些時間段之間的節(jié)點處的時間為:

其中，tN就是終端時間tf，設節(jié)點tk上的控制參數(shù)為qck，將未知參數(shù)寫成一個矢量：

知道了每個節(jié)點的控制參數(shù)后，通過對節(jié)點處的控制參數(shù)插值就可以得到整個機動過程的控制，將控制參數(shù)qck轉(zhuǎn)化成歐拉角θck以便于差值，采用Lagrange差值多項式擬合整個機動過程的控制參數(shù)：

那么整個過程的控制參數(shù)可寫成:

整個過程的控制參數(shù)狀態(tài)方程可以從t0積分到tf得到整個過程的狀態(tài)，進而目標函數(shù)可寫成:

從而可以將最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為非線性參數(shù)優(yōu)化問題。進一步地，可以采用序列二次規(guī)劃算法對非線性參數(shù)優(yōu)化問題求解。

由于采用直接打靶法得到的結(jié)果為離散值，因此倘若節(jié)點選取較少，則得到結(jié)果精度較差，但是可以通過其了解最優(yōu)姿態(tài)機動路徑的趨勢。若直接選取較多的節(jié)點進行計算，會導致設計變量的數(shù)目就會較為龐大，從而使問題本身維度過高，而造成計算無法收斂到最優(yōu)解。針對這一問題，本文采用逐次增加節(jié)點數(shù)目的方法求得最優(yōu)姿態(tài)機動路徑。

5 仿真算例

設空間站所在軌道為圓軌道，軌道高度為380km，軌道傾角為36.5°，空間站的質(zhì)量特性取值如下:

姿態(tài)機動的初始終端狀態(tài)為力矩平衡姿態(tài)，表示為3-2-1順序下的歐拉角

那么初始初始狀態(tài)參數(shù)為:

控制力矩陀螺的最大角動量與最大角動量變化率分別為：

以沿歐拉軸的機動路徑為初值，采用本文的求解策略，可以得到節(jié)點數(shù)取12時的路徑規(guī)劃結(jié)果，各參數(shù)的變化曲線如圖1-5所示，從=4000s開始實施姿態(tài)機動，至=12000s機動結(jié)束。

圖1 姿態(tài)角變化曲線

圖6為沿歐拉軸最短路徑實施大角度姿態(tài)機動的控制力矩陀螺角動量幅值變化曲線，角動量的峰值為2.10×104（Nms），遠遠超出了角動量最大值，需要在機動過程中進行飽和卸載。

圖5為沿最優(yōu)路徑實施大角度姿態(tài)機動的控制力矩陀螺角動量幅值變化曲線，角動量峰值僅為6.29×103（Nms），僅為角動量最大允許值的39.3%，可見，最優(yōu)姿態(tài)機動路徑有效地抑制了姿態(tài)機動過程中的控制力矩陀螺角動量飽和，實現(xiàn)了零燃料的大角度姿態(tài)機動。

圖4 角動量變化曲線

圖5 角動量幅值變化曲線

圖6 角動量幅值變化曲線（沿歐拉軸機動）

6 結(jié)論

針對空間站大角度的姿態(tài)過程，姿態(tài)機動路徑實施規(guī)劃，得到最優(yōu)姿態(tài)機動路徑，使控制力矩陀螺的角動量遠離飽和值，并達到最小，這樣就避免了進行控制力矩陀螺角動量卸載，整個姿態(tài)機動過程不需要消耗燃料。 ◇

［1］Bedrossian N，Metzinger R，Adams N.Centralized Momentum Management［R］.Draper Lab Presentation，1996.

［2］Pietz J，Bedrossian N.Momentum Dumping Using Only CMGs［C］.AIAA Paper 2003.

［3］Bedrossian N，Bhatt S.First Ever Flight Demonstration of Zero Propellant Maneuver Attitude Control Concept ［C］.2007 AIAA GN&C Conference，AIAA Paper 2007-6734.

［4］Kang W，Bedrossian N.Pseudospectral Optimal Control Theory Makes Debut Flight Saves NASA$1 M in Under Three Hours［J］.SIAM News，2007，40（7）.

［5］徐開，金光，陳娟，陳長春.敏捷小衛(wèi)星姿態(tài)機動切換算法［J］.光學精密工程，2008，16（18）：1528-1532

［6］Sungyung，L.，New quaternion feedback control for efficient large angle maneuvers［C］.AIAA Paper 2001-4211，2001

［7］王峰，曹喜濱，張世杰.小衛(wèi)星模型獨立大角度姿態(tài)機動半實物仿真［J］.系統(tǒng)仿真學報，2006，18（9）：2389-2392.

［8］李俊峰，林原.重力梯度衛(wèi)星大角度姿態(tài)機動的變結(jié)構(gòu)控制［J］.動力學與控制學報，2003，1（1）：66-69.